利用有效增設(shè)探尋證明思路

摘要：為了探尋“勾股定理的逆定理”的證明思路，本文中設(shè)計(jì)了“盤點(diǎn)邊角關(guān)系，剖析有效增設(shè)的產(chǎn)生背景”“組織動(dòng)態(tài)構(gòu)圖，感悟有效增設(shè)的等價(jià)條件”“重復(fù)等價(jià)條件，生成有效增設(shè)的具體路徑”“辨識(shí)不同證法，欣賞有效增設(shè)的建構(gòu)特點(diǎn)”等遞進(jìn)教學(xué)環(huán)節(jié)，體現(xiàn)有效增設(shè)的創(chuàng)建過程，突出有效增設(shè)的思維立意，彰顯有效增設(shè)的優(yōu)越價(jià)值.

關(guān)鍵詞：勾股定理的逆定理；證明；有效增設(shè)；等價(jià)條件

在學(xué)習(xí)人教版八年級(jí)下冊(cè)第十七章“勾股定理”時(shí)，聽了幾節(jié)“勾股定理的逆定理”示范課.對(duì)“勾股定理的逆定理”的證明，執(zhí)教教師無一例外地采取了直接呈現(xiàn)的方式，幾乎沒有給學(xué)生前置的思考時(shí)間，教師只是匆忙地單純復(fù)述解釋課本上提供的“證明”，之后便轉(zhuǎn)入定理的應(yīng)用環(huán)節(jié).整個(gè)探究活動(dòng)將本應(yīng)思考設(shè)計(jì)、觀點(diǎn)碰撞、研究?jī)?yōu)化的過程，變成了單一的對(duì)已有“證明”的解讀，這如同在解題時(shí)僅僅要求學(xué)生能“看懂答案”一樣，問題啟發(fā)思維的作用、價(jià)值引領(lǐng)的功能將難以發(fā)揮出來.課下交流時(shí)，幾位執(zhí)教教師提到，主要是迫于該定理證明方法的特殊性，覺得難以進(jìn)行再設(shè)計(jì)，只好暫且如此.這令筆者陷入了深深的思考.盡管受學(xué)生認(rèn)知水平的制約，受證明方法特殊性的局限，但若省略探究直接告訴學(xué)生結(jié)果，似有遺憾.因此，筆者嘗試找到一種設(shè)計(jì)，讓“證明”發(fā)揮出應(yīng)有的育人價(jià)值.

1 課本“證明”再現(xiàn)

在圖1中，已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足a2+b2=c2，要證△ABC是直角三角形，我們可以先畫一個(gè)兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b的直角三角形，如果△ABC與這個(gè)直角三角形全等，那么△ABC就是一個(gè)直角三角形.

2 教學(xué)實(shí)踐

2.1 盤點(diǎn)邊角關(guān)系，剖析有效增設(shè)的產(chǎn)生背景

問題1你能說出我們學(xué)過的三角形的邊角關(guān)系有哪些嗎？

師生活動(dòng)：師生共同回顧學(xué)過的有關(guān)三角形的邊角關(guān)系，必要時(shí)教師給予提示和補(bǔ)充.相關(guān)內(nèi)容有大邊對(duì)大角；大角對(duì)大邊；等邊對(duì)等角；等角對(duì)等邊；直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°；勾股定理；等等.

問題2這些邊角關(guān)系各是用什么方法證明的？

師生活動(dòng)：學(xué)生先小組合作交流，之后推選代表發(fā)言.證明“大邊對(duì)大角”用的是在三角形內(nèi)部構(gòu)造等腰三角形的方法，如圖3，在長(zhǎng)邊AB上截取AD=AC，連接CD；證明“等邊對(duì)等角”及其逆定理用的是構(gòu)造全等三角形的方法，如圖4，作底邊BC上的高AD；證明“直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”采取的是構(gòu)造等邊三角形的方法，如圖5，延長(zhǎng)BC到D，使CD=BC，連接AD；證明“勾股定理”用的是面積法，如圖6，以Rt△ABC三邊為邊長(zhǎng)，分別向三角形外作正方形，通過割補(bǔ)法證明S1+S2=S3，從而得AC2+BC2=AB2；等等.

追問：對(duì)所面臨的問題，在不改變題意的前提下，增加一點(diǎn)條件使得問題更容易求解，叫做有效增設(shè)·[1·].那么在上述各邊角關(guān)系的證明中，是如何實(shí)現(xiàn)有效增設(shè)的呢？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生概括各種邊角關(guān)系的證明方法，意在突出思考有效增設(shè)增的是什么“條件”，該“條件”起到了什么作用，力爭(zhēng)上升到策略運(yùn)用的層面.通過交流與學(xué)生達(dá)成共識(shí)，對(duì)于一些不易直接證明的問題，往往通過作輔助線（或引入輔助量）來設(shè)計(jì)，或割補(bǔ)變換，或等量替代，或數(shù)形轉(zhuǎn)化，或設(shè)參輔助，或逆向設(shè)計(jì)，等等.學(xué)生會(huì)隱約感受到等價(jià)條件的出現(xiàn)和應(yīng)用，如圖3中求證∠ACB＞∠B，也就是證明∠ACB＞ADC，且∠ADC＞∠B；圖5中求證BC=12AB，也就是證明BD=AB（因?yàn)锽D=2BC）；等等.

設(shè)計(jì)說明：“邊”與“角”屬于不同類別的量，跨“類”聯(lián)絡(luò)，往往需要有效增設(shè).問題1的盤點(diǎn)回顧，讓學(xué)生感受到一個(gè)看似“簡(jiǎn)單”的三角形，蘊(yùn)含著怎樣豐富的邊角關(guān)系.問題2對(duì)證明思路進(jìn)行說明，讓學(xué)生進(jìn)一步感知新穎多樣的“增設(shè)”方法，充滿創(chuàng)意的“增設(shè)”思路.而“追問”則要求說明有效增設(shè)是如何創(chuàng)立條件繼而整合條件促使問題解決的，突出有效增設(shè)的作用與功能.問題背景在多層級(jí)的分析和反思中越加明朗，學(xué)生對(duì)各邊角關(guān)系“證明”的認(rèn)識(shí)也將不斷深化，“等價(jià)條件”這一核心要素漸漸浮出水面.

2.2 組織動(dòng)態(tài)構(gòu)圖，感悟有效增設(shè)的等價(jià)條件

問題3如圖7，兩個(gè)同心圓中，半徑CA為3 cm，CB為4 cm，若△ABC的邊AB大于4 cm，試探究△ABC的形狀與AB長(zhǎng)的關(guān)系.

師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試在同心圓中構(gòu)圖，探究發(fā)現(xiàn)需要分情況討論，分類標(biāo)準(zhǔn)本質(zhì)是提供了一個(gè)可以使用的條件，分情況的“標(biāo)準(zhǔn)”就是有效增設(shè).因?yàn)椤鰽BC的三邊不相等，根據(jù)所學(xué)知識(shí)，判斷三角形的形狀當(dāng)前只能從角上考慮，又因?yàn)锳B是最長(zhǎng)邊，所以△ABC的形狀最終取決于∠C的大小.如圖8，當(dāng)∠C=90°時(shí)，△ABC是直角三角形，此時(shí)AB為5 cm；如圖9，當(dāng)∠Cgt;90°時(shí)，△ABC是鈍角三角形，此時(shí)5＜AB＜7；如圖9，當(dāng)∠Clt;90°時(shí)，△ABC是銳角三角形，此時(shí)4＜AB＜5.

追問：反過來思考，在問題3的條件下，AB的長(zhǎng)度也決定∠C的大小嗎？

師生活動(dòng)：以直觀感知為主，意在引發(fā)學(xué)生對(duì)三角形中邊與角大小關(guān)聯(lián)性的雙向思考.

問題4作△ABC，使AC=3 cm，BC=4 cm，AB=5 cm.

追問1：作△ABC除了用三邊長(zhǎng)直接畫圖外，還有其他畫法嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生自主畫圖，教師鼓勵(lì)學(xué)生設(shè)計(jì)出不同的畫圖方法，并收集匯總.有直接利用三邊長(zhǎng)畫圖的，也有利用勾股定理間接畫圖的，比如作∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm的三角形或∠C=90°，BC=4 cm，AB=5 cm的三角形等.

追問2：不同的畫法得出的三角形都符合要求嗎？為什么？

師生活動(dòng)：師生共同推敲不同作圖方法的合理性，加深對(duì)“殊途同歸”的認(rèn)知.作圖就是做“條件”，如作“Rt△ABC，使∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm”，利用勾股定理可求出斜邊AB=5 cm，這與直接作出“AC=3 cm，BC=4 cm，AB=5 cm的三角形”結(jié)果一樣（因三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等）.“AB=5 cm”與“∠C=90°”在此背景下實(shí)現(xiàn)了條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化，這為后續(xù)實(shí)施有效增設(shè)作了技術(shù)上的鋪墊.

設(shè)計(jì)說明：本環(huán)節(jié)試圖解開有效增設(shè)的運(yùn)行機(jī)理.學(xué)生在問題3構(gòu)圖的動(dòng)態(tài)變化中，直觀感知三角形中最長(zhǎng)邊的取值范圍與其對(duì)角大小（直角、銳角、鈍角）的對(duì)應(yīng)關(guān)系；問題4的畫圖對(duì)比更是讓等價(jià)條件從“隱性”狀態(tài)變?yōu)椤帮@性”狀態(tài).此時(shí)，學(xué)生將形成清晰和可利用的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，該“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”因其較高的概括性而初步擁有了遷移的能力.

2.3 重復(fù)等價(jià)條件，生成有效增設(shè)的具體路徑

問題5如果△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3 cm，4 cm，5 cm，那么△ABC是直角三角形嗎？為什么？

師生活動(dòng)：根據(jù)已知條件，能確定△ABC是直角三角形，但直接證明有困難.教師引導(dǎo)學(xué)生利用等價(jià)條件轉(zhuǎn)化，將邊長(zhǎng)分別是3 cm，4 cm，5 cm中的任一邊與∠C=90°交換（提醒：∠C的對(duì)邊須是△ABC中最長(zhǎng)邊），按等價(jià)條件另作一個(gè)Rt△A′B′C′，如作一個(gè)∠C′=90°，B′C′=3 cm，A′C′=4 cm的三角形，利用勾股定理求出A′B′=5 cm，再證明△ABC≌△A′B′C′，從而∠C=∠C′=90°.

問題6已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足a2+b2=c2，求證：△ABC是直角三角形.

師生活動(dòng)：比較問題6與問題5的異同，類比設(shè)計(jì)證明路徑.

設(shè)計(jì)說明：簡(jiǎn)單重復(fù)通常不產(chǎn)生新的條件，但重復(fù)等價(jià)條件，并分別看成是不同的存在形式，則能產(chǎn)生新的情境，出現(xiàn)“有效增設(shè)”·[1·].問題5、問題6一脈相承，學(xué)習(xí)過程實(shí)現(xiàn)了兩次升級(jí)轉(zhuǎn)型.一是由問題4的作圖過渡到問題5的證明，同中有異，抽象程度增加；二是由問題5的“特例”過渡到問題6的“一般情況”，類比演進(jìn)，更具普適性.這些轉(zhuǎn)型問題的設(shè)置，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，將帶動(dòng)學(xué)生產(chǎn)生順應(yīng)性知識(shí)遷移，思考內(nèi)容逐步得到“精加工”，有效增設(shè)的優(yōu)勢(shì)也將進(jìn)一步凸顯.

2.4 辨識(shí)不同證法，欣賞有效增設(shè)的建構(gòu)特點(diǎn)

問題7閱讀下面的材料，請(qǐng)結(jié)合證明過程談一談“有效增設(shè)”的應(yīng)用.

師生活動(dòng)：師生共同分析證明過程，在交流合作中抽象出有效增設(shè)的實(shí)施路徑.

設(shè)計(jì)說明：現(xiàn)階段，學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)反證法，但是基于認(rèn)知基礎(chǔ)和同伴互助，學(xué)生是能夠理解證明過程的.問題7的材料證明中設(shè)計(jì)了三次有效增設(shè).第一次是“△ABC中，求證∠C=90°”的等價(jià)條件是“求證∠C不是銳角也不是鈍角”；第二次是“∠C不是銳角”的等價(jià)條件是“假設(shè)∠C＜90°時(shí)，不成立”，“∠C不是鈍角”的等價(jià)條件是“假設(shè)∠C＞90°時(shí)，不成立”；第三次是“假設(shè)∠C＞90°或∠C＜90°時(shí)”，才“作AD⊥BC”，讓勾股定理參與進(jìn)來.正是在這連續(xù)的增設(shè)轉(zhuǎn)化中，問題變得越來越具體和單一，易于畫圖和求證，從而迎來證明的轉(zhuǎn)機(jī).

3 教學(xué)思考

3.1 教學(xué)要體現(xiàn)有效增設(shè)的創(chuàng)建過程

章建躍教授提到，沒有“過程”的教學(xué)將“思維的體操”降格為“刺激—反應(yīng)”的訓(xùn)練·[2·].而這種降格的教學(xué)呈短期效應(yīng)，無益于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).本文中“勾股定理的逆定理”的證明所采用的有效增設(shè)法從引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探索特征，再到應(yīng)用經(jīng)歷了多次孕育，拉長(zhǎng)了思維鏈條，體現(xiàn)了有效增設(shè)不是憑空產(chǎn)生，也不會(huì)一蹴而就的應(yīng)有規(guī)律.因此本文中詳細(xì)設(shè)計(jì)了“盤點(diǎn)邊角關(guān)系，剖析有效增設(shè)的產(chǎn)生背景”“組織動(dòng)態(tài)構(gòu)圖，感悟有效增設(shè)的等價(jià)條件”“重復(fù)等價(jià)條件，生成有效增設(shè)的具體路徑”“辨識(shí)不同證法，欣賞有效增設(shè)的建構(gòu)特點(diǎn)”等遞進(jìn)教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)，在經(jīng)歷中領(lǐng)悟.其“增設(shè)”的必要性、有效性、優(yōu)越性等隱性價(jià)值在“過程”中融合展現(xiàn)，持續(xù)施加影響，與知識(shí)內(nèi)容一并轉(zhuǎn)化為學(xué)生穩(wěn)定的、可遷移的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

3.2 教學(xué)要突出有效增設(shè)的思維立意

突出教學(xué)的思維立意，是提高教學(xué)質(zhì)量的必經(jīng)之路，也是提升學(xué)生素養(yǎng)的必然要求.為什么要進(jìn)行有效增設(shè)？增設(shè)的“有效性”怎么體現(xiàn)？增設(shè)的路徑如何設(shè)置？這些融入情境中的問題，對(duì)學(xué)生而言具有較高的思維含量.“任何數(shù)學(xué)問題的解決過程，都是由未知向已知的轉(zhuǎn)化過程，是等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程.”·[3·]“等價(jià)轉(zhuǎn)化”能實(shí)現(xiàn)條件向結(jié)論的自然延伸，這是許多數(shù)學(xué)問題的解決之道.師生正是由于發(fā)現(xiàn)了“等價(jià)條件”這一抓手，思維的閘門才得以打開，思維活動(dòng)才做到具體而深入.“增設(shè)”要增的是有效的等價(jià)條件，基于這樣的認(rèn)知，醞釀等價(jià)條件、利用等價(jià)條件成為學(xué)生的思維指向和動(dòng)力源.值得一提的是，勾股定理逆定理的尋證過程，沒有局限于定理本身，而是將其置于更寬闊的視野中，看作是有效增設(shè)統(tǒng)領(lǐng)下的一個(gè)具體問題，隨著“證明”的完成，取得了以點(diǎn)帶面的效果，可以說，思維立意放大了探究?jī)r(jià)值.

3.3 教學(xué)要彰顯有效增設(shè)的優(yōu)越價(jià)值

“增設(shè)”的目的在于突破，“有效”的關(guān)鍵在于銜接，而彰顯的優(yōu)越性可增加認(rèn)同感和向心力.首先通過“盤點(diǎn)邊角關(guān)系”，將三角形中眾多邊角關(guān)系集中起來，進(jìn)行證法的有效增設(shè)分析，使學(xué)生感受到有效增設(shè)的多樣性、新穎性、創(chuàng)新性等優(yōu)越價(jià)值，體驗(yàn)加深，激起進(jìn)一步探索的興趣.“組織動(dòng)態(tài)構(gòu)圖”環(huán)節(jié)看似自然、平常，實(shí)則平中見奇，隨著“等價(jià)條件”浮出水面，簡(jiǎn)單的構(gòu)圖瞬間變得深刻，這一“發(fā)現(xiàn)”拉近了與有效增設(shè)的距離，再回看有效增設(shè)就變得“親切”了.到“重復(fù)等價(jià)條件”環(huán)節(jié)，學(xué)生基本是自覺和有意識(shí)的行為，過程也更加規(guī)范和高效，水到渠成，學(xué)生將獲得成功應(yīng)用的滿足感.“辨識(shí)不同證法”環(huán)節(jié)，欣賞不同的證明設(shè)計(jì)，反向強(qiáng)化了對(duì)有效增設(shè)優(yōu)越性的認(rèn)識(shí).一句話概括，不同的造設(shè)“美景”，皆因出自同一“巧匠”之手.

參考文獻(xiàn)：

·[1·]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論·[M·].2版.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2001：308，313.

·[2·]章建躍.章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄·[M·].杭州：浙江教育出版社，2017.

·[3·]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)·[M·].3版.北京：北京師范大學(xué)出版社，2017：196.