基于過(guò)程生長(zhǎng)下的概念教學(xué)

摘要：在銳角三角函數(shù)概念的教學(xué)中，利用過(guò)程生長(zhǎng)概念教學(xué)模式，從學(xué)生本位和“素養(yǎng)本位”出發(fā)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，整合優(yōu)化教學(xué)資源，著力“單元概念，聚焦問(wèn)題解決”“同類比較，明晰知識(shí)結(jié)構(gòu)”“增設(shè)探究，突出學(xué)習(xí)重點(diǎn)”“適度遷移，緊扣目標(biāo)應(yīng)用”“歸納小結(jié)，反思提高創(chuàng)新”五大環(huán)節(jié).環(huán)環(huán)相扣，不斷遞進(jìn)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)概念的同時(shí)促進(jìn)對(duì)知識(shí)的理解，培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力，從而提升思維水平.

關(guān)鍵詞：概念教學(xué)；抽象能力；過(guò)程生長(zhǎng)

1 “過(guò)程生長(zhǎng)下概念教學(xué)”的內(nèi)涵和意義

章建躍教授指出：注重概念生成的教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力與創(chuàng)新意識(shí).因?yàn)閿?shù)學(xué)概念的形成過(guò)程中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)家的思維方式，即數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)事物的方法.概念的形成過(guò)程是最好的創(chuàng)新教育載體.學(xué)生在概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中所養(yǎng)成的思維方式最牢固，最有效.所以數(shù)學(xué)概念的教學(xué)意義不單單是讓學(xué)生掌握知識(shí)，最重要的是讓學(xué)生從這樣的生長(zhǎng)過(guò)程中重走數(shù)學(xué)家走過(guò)的路，體驗(yàn)數(shù)學(xué)家在現(xiàn)實(shí)中抽象出數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)，從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)用概念思維，促進(jìn)學(xué)生智力的發(fā)展、能力的提升［1］.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版））強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，關(guān)注數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)背景，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu).因此，在日常的教學(xué)中，應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)概念的生成，合理設(shè)計(jì)情境讓學(xué)生充分經(jīng)歷概念的生成過(guò)程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力［2］.

基于過(guò)程生長(zhǎng)教學(xué)模式的理論依據(jù)是五星教學(xué)模式［3］.五星教學(xué)模式也稱“首要教學(xué)原理”或“五星教學(xué)設(shè)計(jì)”，其核心是聚焦問(wèn)題的解決.“五星”主要指五個(gè)環(huán)節(jié)：當(dāng)學(xué)習(xí)者聚焦問(wèn)題解決時(shí)，學(xué)習(xí)有了核心；當(dāng)學(xué)習(xí)者回顧原有知識(shí)、明晰知識(shí)結(jié)構(gòu)時(shí)，學(xué)習(xí)有了方向；當(dāng)向?qū)W習(xí)者精心提供指導(dǎo)時(shí)，學(xué)習(xí)突出了重點(diǎn)；當(dāng)學(xué)習(xí)者緊扣目標(biāo)應(yīng)用時(shí)，學(xué)習(xí)得到了促進(jìn)；當(dāng)學(xué)習(xí)者反思提高創(chuàng)新時(shí)，學(xué)習(xí)得以升華.五星教學(xué)原理以問(wèn)題解決為特征，在問(wèn)題解決中深化對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用，與核心素養(yǎng)理念高度吻合.根據(jù)五星教學(xué)原理的教學(xué)原則并結(jié)合初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的特點(diǎn)，我們凝練出初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)基本流程，稱之為基于過(guò)程生長(zhǎng)教學(xué)法.就是聚焦五個(gè)環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣，步步深入，不斷遞進(jìn)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)概念的同時(shí)促進(jìn)對(duì)知識(shí)的理解，培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力，從而提升思維水平.

本文中以浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第一章“解直角三角形”第1節(jié)“銳角三角函數(shù)”內(nèi)容為例，對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究，現(xiàn)予以闡述.

2 基于“過(guò)程生長(zhǎng)”的概念教學(xué)案例設(shè)計(jì)

2.1 內(nèi)容和內(nèi)容解析

在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一般三角形、特殊三角形、全等三角形、相似三角形和一次函數(shù)的概念，知道了直線的傾斜程度和比例系數(shù)k值有關(guān)，|k|直觀表現(xiàn)為一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)與x軸構(gòu)成的直角三角形兩直角邊的比值.通過(guò)本課時(shí)的學(xué)習(xí)，掌握直角三角形的組成要素（邊、角）之間的關(guān)系，進(jìn)一步培養(yǎng)抽象能力、推理能力和數(shù)學(xué)建模能力，同時(shí)為高中數(shù)學(xué)中任意角三角函數(shù)等知識(shí)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.

2.2 目標(biāo)建構(gòu)與難點(diǎn)分析

2.2.1 目標(biāo)和目標(biāo)解析

基于課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）要求，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：

（1）借助相似直角三角形探究邊與角的關(guān)系的過(guò)程形成正切的概念，理解正切的意義，體會(huì)它形成的合理性.

（2）類比正切的概念，遷移獲得正弦、余弦概念，掌握正弦、余弦、正切的符號(hào)，會(huì)用符號(hào)表示銳角三角函數(shù).

（3）了解銳角三角函數(shù)值都是正實(shí)數(shù)，會(huì)根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求銳角三角函數(shù)值.

（4）經(jīng)歷三角函數(shù)概念的形成過(guò)程，體會(huì)從特殊到一般的研究思路，發(fā)展抽象能力.

達(dá)成目標(biāo)（1）（2）的標(biāo)志：借助相似直角三角形探究邊與角的關(guān)系的過(guò)程形成正切的概念，遷移獲得正弦、余弦的概念，會(huì)用符號(hào)表示銳角三角函數(shù).

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志：會(huì)根據(jù)定義求銳角三角函數(shù)值，并發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.

達(dá)成目標(biāo)（4）的標(biāo)志：能通過(guò)正切概念的獲得過(guò)程，類比、遷移獲得正弦、余弦的概念.

2.2.2 教學(xué)問(wèn)題診斷分析及解決策略

本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一般三角形、特殊三角形、全等三角形、相似三角形和一次函數(shù)的概念的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的.已知一般三角形和等腰三角形的邊角關(guān)系后，根據(jù)數(shù)學(xué)研究的通性，學(xué)生猜想直角三角形的邊角應(yīng)該也有關(guān)系［4］.但一般三角形和等腰三角形的邊角關(guān)系只需在一個(gè)三角形內(nèi)完成研究，而直角三角形的邊角關(guān)系需要一直角三角形，從變化中尋找不變性，這樣的跨越對(duì)學(xué)生而言難度太大.因此，尋找一個(gè)既能激發(fā)學(xué)生興趣又能實(shí)現(xiàn)這樣的跨越的生活實(shí)例是關(guān)鍵.基于此，確定了本節(jié)課的難點(diǎn)是抽象三角函數(shù)的概念，只要突破這一難點(diǎn)，其他內(nèi)容都將水到渠成.

2.3 教學(xué)流程

環(huán)節(jié)一：?jiǎn)卧拍?，聚焦?wèn)題解決.

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形的研究?jī)?nèi)容，畫出研究?jī)?nèi)容框架圖（如圖1），進(jìn)一步將知識(shí)方法系統(tǒng)化，進(jìn)而提出接下來(lái)研究的問(wèn)題——直角三角形的邊角關(guān)系［5］.

設(shè)計(jì)意圖：從數(shù)學(xué)內(nèi)部出發(fā)，通過(guò)回顧已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，從系統(tǒng)上發(fā)現(xiàn)本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容，理解本節(jié)課的研究?jī)r(jià)值，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究思路.

環(huán)節(jié)二：同類比較，明晰知識(shí)結(jié)構(gòu).

問(wèn)題1數(shù)學(xué)課上老師組織同學(xué)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)測(cè)量校園里的銀杏樹(shù)、旗桿、教學(xué)樓的高，小明和小亮合作用一塊含45°角的直角三角板快速地測(cè)完了三個(gè)實(shí)物的高度.他們的測(cè)量方法如圖2所示：

3 教學(xué)反思

3.1 整體構(gòu)建，把握數(shù)學(xué)內(nèi)部聯(lián)系，一以貫之

章建躍教授強(qiáng)調(diào)過(guò)數(shù)學(xué)“一般從生活的現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)兩方面來(lái)說(shuō)明引人新知的必要性”.本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)注重學(xué)習(xí)內(nèi)容與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和生活現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系.先通過(guò)復(fù)習(xí)回顧引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)接下來(lái)要研究的內(nèi)容，這有利于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，將數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化;再根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)貼近學(xué)生生活現(xiàn)實(shí)的例子，提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)問(wèn)題的解決來(lái)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)變化中的不變性，抓住不變的規(guī)律，歸納概念.讓學(xué)生切實(shí)體驗(yàn)生活現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.

3.2 讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)概念的生成、生長(zhǎng)過(guò)程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力李邦和院士說(shuō)：數(shù)學(xué)本質(zhì)上是玩概念的.課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）要求：通過(guò)經(jīng)歷獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)基本概念和法則的發(fā)生與發(fā)展，以及數(shù)學(xué)基本概念之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系.“基于過(guò)程生長(zhǎng)”教學(xué)法不是“死教”概念，而是通過(guò)揭示概念形成的必要性、必然性和合理性進(jìn)行教學(xué).本堂課根據(jù)課標(biāo)要求，結(jié)合學(xué)生心理特征和認(rèn)知規(guī)律，以概念形成方式安排學(xué)習(xí)過(guò)程.通過(guò)前三個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)過(guò)程，學(xué)生在構(gòu)建、觀察、分離、歸納與概括中經(jīng)歷概念的抽象過(guò)程，從心里自然“生長(zhǎng)”出概念，在全身心參與的學(xué)習(xí)中感受數(shù)學(xué)的魅力和價(jià)值.

3.3 注重創(chuàng)設(shè)情境，滲透數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)民族自豪感

本節(jié)課緊緊圍繞教學(xué)任務(wù)，選擇了貼近學(xué)生學(xué)習(xí)、生活經(jīng)驗(yàn)，符合學(xué)生年齡特點(diǎn)和認(rèn)知特點(diǎn)的引例.環(huán)節(jié)三中巧妙地安排了僧一行《大行歷》中有關(guān)三角函數(shù)的內(nèi)容，注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透，幫助學(xué)生了解我國(guó)古代人民的智慧，增強(qiáng)了學(xué)生的民族自豪感.

參考文獻(xiàn)：

·[1·]章建躍.章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄：下卷［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.

·[2·]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）·[S·].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

·[3·]M.戴維·5梅里爾.首要教學(xué)原理［M］.盛群力，鐘麗佳，譯.福州：福建教育出版社，2016.

·[4·]金紅江.緊抓要素之間關(guān)聯(lián) 促進(jìn)知識(shí)體系建構(gòu)——“三角形相關(guān)概念復(fù)習(xí)”設(shè)計(jì)與思考［J］.中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2020（8）：34-38.

·[5·]章建躍.研究三角形的數(shù)學(xué)思維方式［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（4）：1-10.