輸入受限乘波體飛行器非脆弱預(yù)設(shè)性能神經(jīng)控制

卜祥偉，姜寶續(xù)

(1.空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，西安 710051；2.空軍工程大學(xué) 研究生院，西安 710051)

0 引 言

乘波體飛行器(Waverider Vehicle, WV)飛行速度快、探測(cè)難度大、突防能力強(qiáng)，被認(rèn)為是打破傳統(tǒng)空天防御模式的顛覆性武器[1-4]?？刂葡到y(tǒng)是WV的“神經(jīng)中樞”，對(duì)于保障其安全飛行和順利完成任務(wù)使命至關(guān)重要。控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度則是保證WV大機(jī)動(dòng)飛行以及打破傳統(tǒng)導(dǎo)彈突防與攔截防御模式的關(guān)鍵[5-6]。

預(yù)設(shè)性能控制[5-8](Prescribed Performance Control, PPC)被認(rèn)為是一種能夠在控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度之間進(jìn)行折中平衡的新理論，一經(jīng)提出，便受到國際控制學(xué)界的廣泛關(guān)注。鑒于PPC能夠很好地保證WV大機(jī)動(dòng)飛行時(shí)其控制系統(tǒng)所急需的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度，近年來，國內(nèi)外科技人員對(duì)WV的PPC技術(shù)開展了系統(tǒng)而深入的研究。文獻(xiàn)[9-10]針對(duì)傳統(tǒng)PPC方法需要事先獲取誤差精確初值的苛刻條件，通過引入雙曲余割函數(shù)構(gòu)造了一種新型性能函數(shù)，為WV提出了一種新型PPC方法；進(jìn)一步，引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)WV的未知模態(tài)進(jìn)行在線逼近，保證了控制魯棒性。針對(duì)存在不確定參數(shù)的WV，文獻(xiàn)[11]采用反演方法設(shè)計(jì)了具有預(yù)設(shè)性能的虛擬控制律與實(shí)際控制律，并采用自適應(yīng)投影算法保證了控制系統(tǒng)對(duì)不確定參數(shù)的魯棒性。雖然該方法能夠保證跟蹤誤差滿意的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)精度，但是在線調(diào)整參數(shù)過多，算法的在線學(xué)習(xí)量有待進(jìn)一步降低。文獻(xiàn)[12]為WV提出了一種固定收斂時(shí)間PPC方法，可以定量地設(shè)置跟蹤誤差的收斂時(shí)間，提高了PPC方法的實(shí)用性。進(jìn)一步，文獻(xiàn)[6]將文獻(xiàn)[12]方法改進(jìn)為有限時(shí)間小超調(diào)PPC，仿真結(jié)果表明，該方法可以保證WV速度跟蹤誤差與高度跟蹤誤差任意定量的預(yù)設(shè)性能。上述PPC方法的有效性雖已得到驗(yàn)證，但忽略了由輸入受限導(dǎo)致的PPC脆弱性問題。所謂脆弱性問題，是指輸入受限將導(dǎo)致誤差短時(shí)間內(nèi)顯著增加，當(dāng)誤差增加幅度足夠大時(shí)，有可能導(dǎo)致誤差過分接近甚至到達(dá)PPC的約束包絡(luò)，進(jìn)而導(dǎo)致控制奇異[5, 13-14]?？紤]到WV飛行高度大，大氣密度降低導(dǎo)致氣動(dòng)舵執(zhí)行效率明顯下降，極易造成控制執(zhí)行器飽和。因此，PPC的脆弱性缺陷已經(jīng)成為制約WV飛行控制研究的瓶頸難題。此外，現(xiàn)有基于反演設(shè)計(jì)[11-13]的WV控制策略帶來了極其復(fù)雜的回饋遞推設(shè)計(jì)過程，并產(chǎn)生一系列的中間虛擬控制律，控制復(fù)雜度還有待進(jìn)一步降低。

基于以上分析，本文提出輸入受限WV非脆弱PPC新方法，為WV的速度動(dòng)態(tài)與高度動(dòng)態(tài)分別設(shè)計(jì)具有再調(diào)整約束包絡(luò)的新型非脆弱PPC，彌補(bǔ)現(xiàn)有PPC方法的脆弱性缺陷。為了保證控制魯棒性，引入徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Radial Basis Function Neural Network, RBFNN)對(duì)WV歸一化的未知模態(tài)進(jìn)行在線逼近，并避免復(fù)雜的反演設(shè)計(jì)過程，控制復(fù)雜度得到顯著降低。最后，通過數(shù)值仿真驗(yàn)證所提方法的效果與優(yōu)勢(shì)。

1 WV模型

本文采用美國NASA代號(hào)為X-43的典型WV，Bolender與Parker等學(xué)者[3-4]為其建立了在國際上被廣泛采用的縱向運(yùn)動(dòng)模型：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：V∈R>0，h∈R>0，γ∈R，θ∈R，Q∈R為剛體狀態(tài)；η1∈R，η2∈R為彈性狀態(tài)；Φ∈R>0，δe∈R為控制輸入；κV∈R>0，κγ∈R>0，κQ∈R>0為常數(shù)；ΞV∈R，Ξγ∈R，ΞQ∈R為非線性連續(xù)可微函數(shù)[6, 15]，即

WV的幾何外形與受力情況如圖1所示，模型參數(shù)的詳細(xì)定義如表1所示。由于WV的彈性狀態(tài)無法測(cè)量，因此僅采用其5個(gè)剛體狀態(tài)進(jìn)行狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)，并利用控制魯棒性對(duì)彈性狀態(tài)進(jìn)行被動(dòng)抑制。

圖1 WV幾何外形與受力示意圖

表1 參數(shù)定義

控制目標(biāo)是：在假設(shè)ΞV，Ξγ，ΞQ為完全未知的情況下，通過為Φ，δe設(shè)計(jì)合適的受限控制律，使得速度V和高度h穩(wěn)定跟蹤其參考指令Vd∈R>0，hd∈R>0，并且跟蹤誤差滿足期望的預(yù)設(shè)性能。這里，Vd∈R>0和hd∈R>0及其一階導(dǎo)數(shù)均有界。

2 控制器設(shè)計(jì)

為了便于控制器設(shè)計(jì)，通常將WV的運(yùn)動(dòng)模型在形式上分解為速度子系統(tǒng)(即式(1))與高度子系統(tǒng)(即式(2)～(5))[9-12]。然后，分別為兩個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)基于神經(jīng)逼近的非脆弱PPC。

2.1 速度控制器設(shè)計(jì)

假設(shè)速度控制輸入Φ受到如下飽和約束：

(8)

定義速度跟蹤誤差eV=V-Vd，并為eV設(shè)計(jì)如下改進(jìn)預(yù)設(shè)性能：

-σV(t)-?V(t)

(9)

式中：

?V(t)=bΦtanh(|xΦ|)。

其中，aV>1，σ0，VσV(0)∈R>0，σ0，V>σTs，V∈R>0，Ts，V∈R>0，bΦ∈R>0為待設(shè)計(jì)參數(shù)；xΦ∈R為補(bǔ)償系統(tǒng)的狀態(tài)。

注釋2：通過為Φr設(shè)計(jì)合適的反饋控制律使得eV始終位于約束包絡(luò)(即式(9))內(nèi)，則為σV(t)∈R>0，?V(t)∈R≥0選取合適的設(shè)計(jì)參數(shù)，能夠保證eV收斂過程具備滿意的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能。σV(t)為傳統(tǒng)的有限時(shí)間收斂性能函數(shù)[12]，可以確保eV在時(shí)間Ts，V內(nèi)收斂到穩(wěn)態(tài)。?V(t)為新設(shè)計(jì)的自適應(yīng)調(diào)整項(xiàng)，能夠根據(jù)Φ的飽和情況自適應(yīng)調(diào)整約束包絡(luò)的形狀，使得當(dāng)執(zhí)行器飽和時(shí)eV始終位于約束包絡(luò)之內(nèi)，從而避免傳統(tǒng)PPC可能導(dǎo)致的控制奇異問題。

鑒于式(9)不便于控制器設(shè)計(jì)，定義轉(zhuǎn)換誤差：

(10)

式中：φV(t)∈R。

對(duì)式(10)求導(dǎo)并代入式(1)，可得

(11)

式中：

rV=1/[2σV(t)+2?V(t)]×(1/{eV/[σV(t)+?V(t)]+1}-1/{eV/[σV(t)+?V(t)]-1})>0；

為了處理速度控制輸入飽和問題，設(shè)計(jì)補(bǔ)償系統(tǒng)：

(12)

式中：aΦ∈R>0；δV∈R>0。

利用xΦ對(duì)φV(t)進(jìn)行修正，得到修正誤差：

ψV=φV(t)-xΦ

(13)

式中：ψV∈R。對(duì)式(13)求導(dǎo)，代入式(11)與式(12)并利用ΔΦ=Φ-Φr，可得

(14)

對(duì)于未知函數(shù)ΞV，引入RBFNN對(duì)其逼近：

(15)

將Φr設(shè)計(jì)為

(16)

(17)

式中：λV∈R>0。

下面，分析速度子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(18)

定義Lyapunov函數(shù)：

(19)

對(duì)式(19)求導(dǎo)并代入式(17)～(18)，可得

(20)

考慮到

則有

(21)

定義緊集:

2.2 高度控制器設(shè)計(jì)

定義高度誤差eh=h-hd。為eh設(shè)計(jì)如下改進(jìn)預(yù)設(shè)性能：

-σh(t)-?h(t)

(22)

式中：

?h(t)=bδetanh(|xδe, 1|+|xδe, 2|+|xδe, 3|)。

其中：ah>1，σ0, hσh(0)∈R>0，σ0, h>σTs, h∈R>0，Ts, h∈R>0，bδe∈R>0為設(shè)計(jì)參數(shù)；xδe, 1∈R，xδe, 2∈R，xδe, 3∈R為輔助系統(tǒng)的狀態(tài)。

定義轉(zhuǎn)換誤差：

(23)

對(duì)式(23)求導(dǎo)并代入式(2)，可得

(24)

式中：

rh=1/[2σh(t)+2?h(t)]×(1/{eh/[σh(t)+?h(t)]+1}-1/{eh/[σh(t)+?h(t)]-1})>0;

將航跡角參考指令選為

(25)

式中：lh, 1∈R>0，lh, 2∈R>0為待設(shè)計(jì)參數(shù)。

式(3)～(5)為嚴(yán)格反饋形式，傳統(tǒng)方法是采用反演策略設(shè)計(jì)控制律。但是，反演控制的回饋遞推設(shè)計(jì)過程非常復(fù)雜，且存在微分項(xiàng)膨脹問題[11, 15]。為了避免繁雜的反演設(shè)計(jì)過程，將式(3)～(5)等價(jià)變換為[6, 16]

(26)

式中：x1=γ∈R；x2∈R；x3∈R；Fh為未知的連續(xù)可微函數(shù)；κδ>?Fh/(2?δe)為常數(shù)。

注釋3：經(jīng)過模型等價(jià)變換，式(3)～(5)的未知函數(shù)Ξγ與ΞQ被歸一化為一個(gè)總的未知函數(shù)Fh，這樣僅需要一個(gè)RBFNN對(duì)Fh進(jìn)行逼近，降低了神經(jīng)逼近計(jì)算量。

假設(shè)高度控制輸入δe受到如下約束：

(27)

設(shè)計(jì)新型輔助系統(tǒng)對(duì)高度子系統(tǒng)的控制飽和度進(jìn)行補(bǔ)償：

(28)

式中：xδe, 1∈R，xδe, 2∈R，xδe, 3∈R為輔助系統(tǒng)的狀態(tài)；δh∈R>0，aδe, 1∈R>0，aδe, 2∈R>0，aδe, 3∈R>0為待設(shè)計(jì)參數(shù)。

定義跟蹤誤差：

sγ=γ-γd=x1-γd

(29)

利用輔助系統(tǒng)的狀態(tài)xδe, 1∈R, 對(duì)跟蹤誤差sγ進(jìn)行修正：

eγ=sγ-xδe, 1

(30)

定義誤差函數(shù)：

(31)

式中：μh∈R>0。

對(duì)式(31)求導(dǎo)并代入式(26)、式(28)～(30)，得

(32)

對(duì)于未知函數(shù)Fh，引入RBFNN對(duì)其逼近：

(33)

將δe, r設(shè)計(jì)為

(34)

(35)

式中：λh∈R>0。

下面，分析高度子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(36)

定義Lyapunov函數(shù)：

(37)

對(duì)式(37)求導(dǎo)并代入式(35)～(36)，可得

(38)

考慮到

則式(38)變?yōu)?/p>

(39)

定義緊集:

注釋4：傳統(tǒng)PPC[6-10]的約束包絡(luò)不具備再調(diào)整能力，當(dāng)控制飽和導(dǎo)致足夠幅度的誤差波動(dòng)時(shí)，極易導(dǎo)致控制奇異，表現(xiàn)出明顯的脆弱性缺陷。本文提出的改進(jìn)約束包絡(luò)含有兩個(gè)再調(diào)整項(xiàng)?V(t)與?h(t)，使得約束包絡(luò)能夠根據(jù)誤差波動(dòng)情況自適應(yīng)調(diào)整其形狀(增加上包絡(luò)，減小下包絡(luò))，從而避免了控制奇異問題，克服了傳統(tǒng)PPC的脆弱性缺陷。

3 數(shù)值仿真與分析

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制律、補(bǔ)償系統(tǒng)以及自適應(yīng)律的效果及相對(duì)于現(xiàn)有方法[14, 17]的優(yōu)勢(shì)，以式(1)～(7)作為被控對(duì)象，采用MATLAB/Simulink軟件進(jìn)行數(shù)值對(duì)比仿真。仿真采用四階龍格-庫塔法進(jìn)行解算，仿真步長(zhǎng)為0.01 s。設(shè)計(jì)參數(shù)取值為：aV=2，σ0, V=5，σTs, V=0.5，Ts, V=5，bΦ=2.5，aΦ=1.5，δV=0.8，lV, 1=0.2，lV, 2=0.8，λV=0.05，ah=2，σ0, h=3，σTs, h=0.5，Ts, h=2，bδe=1 000，lh, 1=2，lh, 2=0.8，δh=0.8，aδe, 1=0.5，aδe, 2=1，aδe, 3=1，μh=7，lh=50，λh=0.05，κV=1.2，κδ=1.1。

仿真過程中，假定系統(tǒng)參數(shù)隨時(shí)間攝動(dòng)±30%，并取典型變化規(guī)律為sin(0.1πt)。假定控制輸入受到如下約束：Φ∈[0.05, 0.85]，δe∈[-18.5°, 18.5°]。分別在以下三種情景進(jìn)行仿真。

情景1：采用所提方法進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果如圖2～6所示。圖2～3表明，所提方法能夠?qū)⑺俣雀櫿`差與高度跟蹤誤差限定在預(yù)設(shè)的約束包絡(luò)內(nèi)，速度跟蹤誤差與高度跟蹤誤差均滿足期望的動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能。進(jìn)一步，當(dāng)控制輸入處于飽和狀態(tài)時(shí)(見圖4)，速度跟蹤誤差與高度跟蹤誤差均有所增加(見圖2～3)，所提PPC方法的約束包絡(luò)能夠準(zhǔn)確感知跟蹤誤差的增加態(tài)勢(shì)并及時(shí)調(diào)整約束包絡(luò)的形狀(增加上包絡(luò)并減小下包絡(luò))，從而避免了控制奇異。圖5～6表明，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值估計(jì)參數(shù)與轉(zhuǎn)換誤差均有界。由此可見，仿真結(jié)果證明了所提方法的有效性。

圖2 所提方法的速度跟蹤效果

圖3 所提方法的高度跟蹤效果

圖4 所提方法的控制輸入

圖5 所提方法的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)取值估計(jì)參數(shù)

情景2：只考慮速度控制輸入飽和，并取Φ∈[0.05, 0.85]；其他條件與情景1完全相同。采用文獻(xiàn)[14]的傳統(tǒng)PPC約束包絡(luò)，仿真結(jié)果如圖7～10所示。由仿真結(jié)果可見，速度執(zhí)行器飽和導(dǎo)致速度跟蹤誤差增加(見圖7、圖9)，由于文獻(xiàn)[14]的傳統(tǒng)PPC約束包絡(luò)沒有再調(diào)整功能，導(dǎo)致速度跟蹤誤差因?yàn)樽陨碓黾佣竭_(dá)了預(yù)設(shè)包絡(luò)(見圖7)，速度子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換誤差急劇發(fā)散(見圖10)，最終造成控制奇異，控制系統(tǒng)失效。從而證明了所提方法相對(duì)于文獻(xiàn)[14]方法的優(yōu)越性。

圖6 所提方法的轉(zhuǎn)換誤差

圖7 文獻(xiàn)[14]方法的速度跟蹤效果

圖8 文獻(xiàn)[14]方法的高度跟蹤效果

圖9 文獻(xiàn)[14]方法的控制輸入

圖10 文獻(xiàn)[14]方法的轉(zhuǎn)換誤差

情景3：在不考慮輸入受限的情況，將本文所提方法與文獻(xiàn)[17]的傳統(tǒng)神經(jīng)控制方法進(jìn)行對(duì)比。仿真結(jié)果如圖11～12所示，兩種方法的穩(wěn)態(tài)精度基本相當(dāng)。由圖11可見，相對(duì)于文獻(xiàn)[17]方法，所提方法的速度誤差的超調(diào)量雖有所增加，但仍然滿足期望的預(yù)設(shè)性能。但是，在高度跟蹤方面，所提方法保證了高度跟蹤誤差更小的超調(diào)量(見圖12)。進(jìn)一步，所提方法相對(duì)于文獻(xiàn)[17]方法 在算法計(jì)算量方面的優(yōu)勢(shì)具體如表2所示。由表2可見，當(dāng)兩種方法的仿真時(shí)間都設(shè)置為50 s時(shí)，文獻(xiàn)[17]方法需要大約44 s的時(shí)間才能完成仿真程序的運(yùn)行，而本文方法完成程序運(yùn)行只需要大約12 s的時(shí)間。

圖11 速度跟蹤誤差對(duì)比

圖12 高度跟蹤誤差對(duì)比

表2 仿真時(shí)間對(duì)比

4 結(jié) 論

針對(duì)WV輸入受限條件下的跟蹤控制問題，提出了非脆弱神經(jīng)PPC新方法。將神經(jīng)逼近與模型變換相結(jié)合，避免了傳統(tǒng)反演控制的回饋遞推設(shè)計(jì)過程，并降低了控制復(fù)雜度與在線學(xué)習(xí)量。為了處理控制輸入問題，設(shè)計(jì)了新型補(bǔ)償系統(tǒng)對(duì)控制輸入飽和度進(jìn)行補(bǔ)償。利用補(bǔ)償系統(tǒng)的狀態(tài)對(duì)傳統(tǒng)PPC的約束包絡(luò)進(jìn)行改進(jìn)，進(jìn)而為WV的速度跟蹤誤差與高度跟蹤誤差設(shè)計(jì)了新型非脆弱約束包絡(luò)。仿真結(jié)果表明，存在輸入受限條件下，所提方法仍能保證跟蹤誤差期望的預(yù)設(shè)性能，并能克服傳統(tǒng)PPC的脆弱性缺陷。鑒于在仿真初始階段存在較大的控制輸入，后續(xù)研究將在借鑒文獻(xiàn)[18-20]研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，深入研究對(duì)數(shù)函數(shù)與控制輸入速率約束等因素對(duì)控制輸入初值的影響問題。