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    讓推理意識無痕發(fā)展

    2022-12-28 05:29:07楊慧
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)概念

    楊慧

    【摘? ?要】發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。教學(xué)“三角形按角分類”時,教師引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷概念產(chǎn)生、完善以及概念體系形成的過程,使學(xué)生在深刻理解數(shù)學(xué)知識的同時,獲得推理意識的錘煉,實現(xiàn)核心素養(yǎng)的提升。

    【關(guān)鍵詞】三角形分類;數(shù)學(xué)概念;推理意識

    《三角形的分類》是人教版教材四年級下冊的教學(xué)內(nèi)容,旨在讓學(xué)生通過操作、觀察、比較、歸類等活動,經(jīng)歷給三角形分類的過程,辨認(rèn)和識別銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形,知道這些三角形的特點。其中,既包含圖形認(rèn)識和概念建構(gòu)的雙基目標(biāo),又蘊含發(fā)展空間觀念的能力目標(biāo)。分類是一種科學(xué)的思維方法,根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)的不同,通??梢苑譃榛谛问降姆诸惻c基于性質(zhì)的分類。三角形按角分類,是基于顯性的外在形式的分類。本課的教學(xué)在學(xué)生初步掌握三角形內(nèi)角和是180度的基礎(chǔ)上,關(guān)注如何在分類過程中,引導(dǎo)學(xué)生理解三角形的內(nèi)在本質(zhì)。

    【教學(xué)目標(biāo)】

    (1)通過動手操作,經(jīng)歷給三角形分類的過程,辨認(rèn)和識別銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形,知道這些三角形的特點。

    (2)通過觀察、畫圖、計算等活動,培養(yǎng)空間觀念和歸納推理能力。

    (3)通過比較、歸類等活動,滲透分類思想和集合思想。

    【課堂實踐】

    一、分類交流,建構(gòu)概念

    理解三角形按角分類的分類結(jié)果不難,學(xué)生預(yù)學(xué)后就能大致明白。教學(xué)時,教師在學(xué)生暴露自身“原始概念”的基礎(chǔ)上,呈現(xiàn)教材上的“標(biāo)準(zhǔn)概念”,以此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,讓學(xué)生通過思考和分析,理解如此分類的原因,并建構(gòu)相關(guān)的概念,在感受數(shù)學(xué)語言嚴(yán)謹(jǐn)性的同時,錘煉推理意識。

    師:同學(xué)們,今天我們一起來研究三角形的分類,研究的內(nèi)容是按角分。昨天我們進(jìn)行了預(yù)學(xué),有關(guān)知識想必大家已經(jīng)知道了不少。現(xiàn)在黑板上有六個三角形(如圖1),哪位小老師能上臺來分一分、講一講?

    生:圖①和圖⑥是直角三角形,因為它們都有一個直角兩個銳角;圖③和圖⑤是鈍角三角形,因為它們都有一個鈍角兩個銳角;圖②和圖④是銳角三角形,因為它們的三個角都是銳角。

    (其他學(xué)生都表示同意)

    師:這名同學(xué)在表達(dá)的時候,既能說出結(jié)果,又能說出理由,非常棒。我現(xiàn)在把他說的寫在黑板上。(結(jié)合學(xué)生的分類,板書簡要記錄)

    師:我們來看看課本上是怎么描述這三類三角形的。(課件出示圖2)仔細(xì)觀察并比較,課本上說的和剛剛這個同學(xué)說的有什么不同?

    生:課本中銳角三角形的描述和同學(xué)說的一樣,但鈍角三角形和直角三角形,課本上只說了其中的一個角,沒有說兩個銳角。

    師:你們一定產(chǎn)生疑惑了吧。課本在直角三角形和鈍角三角形的概念中,為什么不說明它們都“有兩個銳角”?(學(xué)生安靜思考)

    生:三角形的內(nèi)角和是180°,直角是90°,那么直角三角形中另外兩個角的和也是90°,所以直角三角形中另外那兩個角肯定都是銳角。同樣,鈍角是大于90°的,三角形中如果有一個鈍角,那么另外兩個角的和就會小于90°,它們只能是銳角。既然都一定是銳角,也就不需要再特地說明了。

    (學(xué)生清晰的表達(dá),得到了同學(xué)們熱烈的掌聲)

    師:這名同學(xué)通過推理,分析了原因。同學(xué)們,數(shù)學(xué)表達(dá)就是要既嚴(yán)謹(jǐn)又簡潔。

    二、質(zhì)疑問難,說理求證

    在學(xué)生知道了銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的概念后,教師適時拋出“有沒有第四類三角形存在”這個問題,引導(dǎo)學(xué)生通過不同的方法來證明“三角形只有三類”這個結(jié)論的正確性。這個說理的過程,是學(xué)生數(shù)學(xué)思維不斷調(diào)整、完善的過程,也是其推理意識不斷增強(qiáng)、發(fā)展的過程。

    師:我們把三角形分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形三類,那么有沒有第四類三角形呢?

    生:沒有了。

    師:能用充分的理由來說明自己的觀點嗎?可以想一想,畫一畫,說一說。(組織同桌討論)

    生:老師,我到黑板上來畫一畫。如果三條線段組成兩個直角,是不可能圍成一個三角形的;組成一個直角、一個鈍角也不行;組成兩個鈍角就更不可能圍成三角形了。因此只有這三種情況(如圖3)。

    師:畫圖是個好方法,它讓大家非常直觀地理解你的觀點。

    生:我們也可以通過計算來證明,三角形內(nèi)角和是180°。如果三個角中有兩個角是直角,那第三個角就是0°了;如果有一個直角和一個鈍角,那第三個角就是負(fù)數(shù)了……

    師:你是通過計算進(jìn)行推理的,也非常不錯!所以,三角形按角分的確只有三種情況,我們可以用這樣的集合圖來表示。(課件出示圖4)

    三、利用“負(fù)遷移”,引發(fā)新思考

    教師利用學(xué)生思維的“負(fù)遷移”——有一個銳角的三角形叫銳角三角形,引導(dǎo)學(xué)生對三角形的角(尤其是銳角)展開更深入的思考。學(xué)生通過對三類三角形中各個角的對比分析和歸納,得出“三角形中至少有兩個銳角”,進(jìn)而形成確定三角形的類型“要看兩個銳角外第三個角”的經(jīng)驗。在這個過程中,學(xué)生發(fā)展了理性的思維方式。

    師:現(xiàn)在我們知道了有一個直角的三角形叫什么?

    生(齊答):直角三角形。

    師:有一個鈍角的三角形叫什么?

    生(齊答):鈍角三角形。

    師:有一個銳角的三角形叫什么?

    生(齊答):銳角三角形。

    (教師有意停頓,很多學(xué)生突然發(fā)現(xiàn)答案不對,紛紛舉起了手)

    師:怎么了,出什么問題了嗎?

    生:因為任意三角形中都有銳角,所以有一個銳角不能確定是什么三角形,有三個銳角才能確定是銳角三角形。

    師:這樣?。≌埓蠹矣^察板書,并比較,你們有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎?

    (教師組織學(xué)生觀察、討論和交流)

    生:每種三角形都至少有兩個銳角,判斷三角形時,光看兩個銳角還不夠,還要看第三個角,兩個銳角外的第三個是什么角就是什么三角形。

    (教師根據(jù)學(xué)生的回答,通過板書引導(dǎo)學(xué)生更清晰地理解分類標(biāo)準(zhǔn))

    師:現(xiàn)在,誰能完整地說說我們的發(fā)現(xiàn)。

    生:每種三角形至少有兩個銳角,所以要再看第三個角。第三個角是銳角的就是銳角三角形,第三個角是直角的就是直角三角形,第三個角是鈍角的就是鈍角三角形。

    四、利用幾何畫板,掌握新判斷方法

    從“需要知道三個角的度數(shù)”到“只需要知道一個角的度數(shù)”,再到“關(guān)鍵要看最大角的度數(shù)”,這是學(xué)生深刻理解三角形本質(zhì)、提升思維能力的過程。教師以幾何畫板為載體,引導(dǎo)學(xué)生觀察、想象、分析,直觀地感知三個角的內(nèi)在關(guān)聯(lián),使學(xué)生的推理意識和空間觀念得到同步發(fā)展。

    師:要判斷這是一個什么三角形,需要知道幾個角的度數(shù)?(課件出示圖5)

    生(齊呼):三個。

    (有學(xué)生大喊“看一個也行”)

    師:有人說看一個角也行,這有什么道理嗎?

    生:在這個三角形中,∠S最大,有點像直角,也有點像銳角,所以只要確定∠S就可以了。

    師:好,現(xiàn)在我們來測量一下∠S的度數(shù)。(課件顯示∠S=87°)它是什么三角形?

    生(齊答):銳角三角形。

    師:為什么?

    生:因為這個角最大,而且是銳角,那另外兩個角一定也是銳角,所以它是銳角三角形。

    師:想象一下,如果現(xiàn)在向右拖動S點,這個角會發(fā)生什么變化?

    生:∠S會變小。

    師:我們來試一下,看看是不是這樣。

    (課件動態(tài)演示過程,結(jié)果如圖6)

    師:現(xiàn)在是什么三角形?

    生:鈍角三角形。

    師:∠S明明只有19°了,這個三角形怎么會是鈍角三角形呢?

    生:因為∠R變成鈍角了。

    (課件分別顯示∠Q、∠R的度數(shù),其中∠R為101°)

    師:現(xiàn)在關(guān)于如何判斷一個三角形的類別,你們有什么新的想法?

    生:關(guān)鍵要看三角形中最大的那個角。如果最大的角是直角,它就是直角三角形;如果最大的角是鈍角,它就是鈍角三角形;如果最大的角是銳角,它就是銳角三角形。

    【教學(xué)反思】

    本設(shè)計的主要特點如下。

    (1)當(dāng)學(xué)生按角對三角形進(jìn)行分類時,教師設(shè)計了“有沒有第四類三角形存在”這個問題,讓學(xué)生用畫圖、計算等不同的方法來說明思考過程,引導(dǎo)學(xué)生理解概念本質(zhì),感悟分類思想。

    (2)學(xué)生在分類過程中,往往關(guān)注每類三角形的獨特之處,而忽視它們的共性部分。針對這一現(xiàn)象,教師設(shè)計了找一找“直角三角形的另外兩個角”“鈍角三角形的另外兩個角”等練習(xí),讓學(xué)生既對直觀的現(xiàn)象進(jìn)行觀察與歸納,又根據(jù)三角形的內(nèi)角和來分析和解釋。

    (3)發(fā)展學(xué)生的空間觀念,離不開動態(tài)想象。教師在學(xué)生對三角形進(jìn)行靜態(tài)探究時,運用幾何畫板,展示三角形的動態(tài)變化過程,讓“推理”和“驗證”結(jié)合,清晰呈現(xiàn)學(xué)生思維的發(fā)展變化。

    教學(xué)時,教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題的分析和解決過程,培養(yǎng)學(xué)生的推理意識。本課圍繞四個主題設(shè)計教學(xué)。前兩個主題是:“直角三角形和鈍角三角形的另外兩個角一定是銳角嗎?”與“除了這三類,還存在第四類三角形嗎?”這兩個主題的解決,其實都用到了推理。教師通過提問,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、討論,學(xué)生會主動地利用“三角形內(nèi)角和等于180°”進(jìn)行思考和說理。學(xué)生的說理過程實際上就是推理過程,在這個過程中,學(xué)生既解決了問題,又感受了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。第三個主題是:“一個三角形中至少有幾個銳角?”看似簡單的一個問題恰恰是本節(jié)課的難點。通過觀察、比較,學(xué)生感悟到三角形的分類由第三個角來確定,他們理解問題的方式也從直觀感知發(fā)展為抽象推理。第四個主題是:“判斷三角形的類型需要知道哪些角的度數(shù)?”從需要知道三個角到只需知道一個角,從看特殊角到看最大角,在教師的不斷追問下,學(xué)生的思考不斷深入,最終實現(xiàn)概念理解。在以上解決問題的過程中,通過多種方法的碰撞、多樣思維的分享,學(xué)生的推理意識在無形中得到發(fā)展。

    在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要特別注意挖掘數(shù)學(xué)知識點之間的邏輯關(guān)系,在此基礎(chǔ)上,精心設(shè)計教學(xué)的過程和形式,有意識地培養(yǎng)學(xué)生的推理意識,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效提升。

    參考文獻(xiàn):

    [1]顧文亞,嚴(yán)育洪.關(guān)注思維,向更深處漫溯:“三角形的分類”課堂實錄與評析[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(小學(xué)版),2021(7/8).

    [2]董連春,陳洪杰.國際小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)的研究進(jìn)展與啟示:基于ICME-14全體報告和邀請報告的述評[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師,2021(9).

    [3]劉偉.淺談通過問題設(shè)計培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理意識[J].試題與研究,2022(22).

    (浙江省舟山市普陀區(qū)教研室? ?316100)

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