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    初中學(xué)生數(shù)學(xué)解題錯誤的案例研究

    2022-12-27 16:40:20廣州市玉巖中學(xué)李小兵
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年22期
    關(guān)鍵詞:位線一元二次方程中點(diǎn)

    ?廣州市玉巖中學(xué) 李小兵

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確要求,教師要耐心地引導(dǎo)學(xué)生分析錯誤產(chǎn)生的原因,并鼓勵他們自己去改正,從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心.因此,關(guān)注初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問題,盡可能幫助學(xué)生避免或減少解題錯誤并予以糾正,能夠有效地提高初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量.

    1 知識性錯誤

    知識性錯誤是指對概念及定理的認(rèn)識模糊不清或錯誤運(yùn)用公式與法則導(dǎo)致的錯誤;基本技能不熟練,運(yùn)算基本功不扎實,遺漏或隨意添加條件導(dǎo)致的錯誤;等等.

    1.1 概念不清

    概念是學(xué)生思維的基本形式,也是解題的重要依據(jù).學(xué)生在解題過程中由于對概念、規(guī)律的內(nèi)容認(rèn)識不清或不能正確理解它們的確切含義而產(chǎn)生的一些錯誤就是概念性錯誤.

    例1下列方程哪些是一元二次方程?

    (1)ax2+bx+c=0;

    (2)x2=0;

    (4)2x2-x-1=0;

    (5)3x(x-1)=3x2+1;

    (6)(1-m)x2+mx-2=0.

    錯解:(1),(2),(3),(4),(5),(6).

    分析:例1中對一元二次方程概念的理解,特別容易忽視方程ax2+bx+c=0中系數(shù)a,b,c的限制條件.授新課時應(yīng)講明——(1)a≠0,b,c為常數(shù);(2)三種特殊形式,即ax2=0(a≠0),ax2+bx=0(a≠0,b為常數(shù)),ax2+c=0(a≠0,c為常數(shù));(3)方程要先化簡為一般形式,牢牢抓住二次項系數(shù)a≠0.

    1.2 法則不明

    初中代數(shù)法則多、公式多且易混、易錯.學(xué)生運(yùn)算出現(xiàn)問題往往是公式記憶錯誤,運(yùn)算法則混淆等.

    例2計算:(1)(-4)2=,-22=;(2)(3x-2)2=.

    錯解:(1)-8 ,4;(2)9x2-4

    分析:例2(1)錯解的原因是將乘方的運(yùn)算法則與數(shù)的運(yùn)算法則相混淆了.例2(2)中把乘法公式中完全平方公式和平方差公式記混淆了.

    2 邏輯性錯誤

    邏輯性錯誤主要表現(xiàn)為推理欠嚴(yán)密,條理不清,自相矛盾.有些學(xué)生思維發(fā)展水平低,推理能力弱,數(shù)學(xué)知識、能力、方法儲備不足,推理思路不明,從而得出不準(zhǔn)確的結(jié)論[1].

    2.1 變形不恒等

    把代數(shù)式當(dāng)?shù)仁絹碜冃巍⒒?

    錯解:原式=2(x-2)-2(x+2)=2x-4-2x-4=-8.

    分析:對于例3,學(xué)生在進(jìn)行分式計算時,易將代數(shù)式的變形與等式的變形混在一起,錯誤地將分式轉(zhuǎn)化為整式,從而違背恒等變形這個原則.

    2.2 混淆“或”與“且”

    “或”表示選擇的關(guān)系,二者必居其一.“且”表示同時滿足.在使用“且”和“或”時不能混為一談.

    x2+4x+3≠0.

    整理,得(x+3)(x+1)≠0.

    分析:例4中,當(dāng)x=-3或x=-1時,分母都等于零.要使分式中的分母不等于0,則x既不能等于-3也不能等于-1,兩者是一個并列的關(guān)系,所以應(yīng)該用“且”.

    2.3 偷換命題

    學(xué)生在運(yùn)用三角形中位線定理、等腰三角形三線合一性質(zhì)、垂徑定理解題時,往往將性質(zhì)或判定的題設(shè)和結(jié)論混淆,導(dǎo)致論題改變,發(fā)生錯誤.

    圖1

    例5如圖1,⊙O是Rt△ABC中以直角邊AB為直徑的圓,⊙O與斜邊AC交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作⊙O的切線DE交BC于點(diǎn)E.求證:OE是Rt△ABC的中位線.

    錯解:連結(jié)OD.

    ∵∠ABC=90°,AB為直徑,

    ∴EB是⊙O的切線.

    又∵DE是⊙O的切線,

    ∴∠BOE=∠DOE.

    ∴∠BOD=∠BOE+∠DOE=2∠BOE.

    又∠BOD=2∠A,

    ∴∠BOE=∠A.

    ∴OE∥AD.

    ∵O是AB的中點(diǎn),

    ∴OE是△ABC的中位線.

    分析:三角形中位線定理是由E是BC的中點(diǎn)和O是AB的中點(diǎn)得出OE∥AD.例5中由OE∥AD和O是AB的中點(diǎn)得出OE是△ABC的中位線,顯然是沒有正確認(rèn)識三角形中位線定理,但可進(jìn)一步由平行線分線段成比例定理得出E是BC的中點(diǎn).

    3 策略性錯誤

    策略性錯誤是指考慮不周全導(dǎo)致解題思路受阻或解題方向錯誤,或選擇非最優(yōu)解法明顯增加了解題的難度與出錯機(jī)會,使得問題最終得不到解決.

    3.1 忽視題目中的隱含條件

    解題時有些條件隱含于已知條件或圖形中,但由于學(xué)生馬虎大意,未深刻把握數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性要求,忽視題目中的隱含條件以致得出錯誤結(jié)論.

    例6已知關(guān)于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有兩個實數(shù)根x1,x2,且x1+x2=x1x2-1,求k的值.

    錯解:由題意可得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.

    所以-2(k-1)=k2-1.

    解得k1=1,k2=-3.

    分析:對于含字母系數(shù)的一元二次方程或二次函數(shù)的問題,學(xué)生往往忽略考慮二次項系數(shù)不為零、根的判別式Δ≥0等隱含條件,因考慮不周全出錯.例6中求k的值要進(jìn)一步檢驗根的判別式.

    3.2 忽視“分類思想”造成漏解或錯解

    解題時,如遇到等腰三角形、相似三角形或動點(diǎn)、動直線問題,常常要分類討論所有可能情況,否則答案不完整.

    例7在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P在x軸上,點(diǎn)A(1,1).若△AOP為等腰三角形,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

    錯解:滿足條件的等腰三角形AOP的點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,0)和(2,0).

    分析:應(yīng)分三種情況討論.

    (1)當(dāng)AO=AP時,以A為圓心,AO為半徑作圓與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P,則P(2,0);

    (2)當(dāng)OP=AP時,作OA的垂直平分線,交x軸的于點(diǎn)P,則P(1,0);

    3.3 解題方法繁瑣造成錯誤

    同一道題,不同的解題思路或輔助線作法對解題有不同的影響,有的會直接增加題目的計算量和難度,有的會導(dǎo)致思維障礙解不出來.

    例8如圖2,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F.求證:AE=EF.

    圖2

    圖3

    證法1:如圖3,取AB的中點(diǎn)M,連結(jié)EM.可證△AEM≌△EFC(ASA),從而得AE=EF.

    圖4

    分析:上述兩種方法雖然都通過作輔助線利用全等證出線段相等,但顯然證法1更簡單,證法2在尋找全等的條件時難度更大,實際操作中學(xué)生會因缺全等條件而半途而廢.

    4 心理性錯誤

    心理性錯誤主要表現(xiàn)為缺乏堅強(qiáng)的意志和信心,導(dǎo)致解題出錯的急躁心理現(xiàn)象.良好的心理素質(zhì),可以克服心理障礙而減少錯誤.

    4.1 解題思維定式,思維慣性

    有些數(shù)學(xué)題目在形式上相似,在解法上也雷同.學(xué)生解題時容易產(chǎn)生慣性思維,“先入為主”匆忙下結(jié)論,因負(fù)遷移而導(dǎo)致錯誤.

    例9解一元二次方程x(x+2)=3x.

    錯解:將方程兩邊除以x,得(x+2)=3.

    所以,此方程的解是x=1.

    分析:例9中方程兩邊同時除以x的前提條件是x≠0,而x=0恰好是此方程的一個解.憑經(jīng)驗約分造成漏解.

    4.2 思維抑制或情緒焦慮

    心理學(xué)的研究表明,考試中學(xué)生臨場過分焦慮,心理壓力過大以致于出現(xiàn)暫時性思維障礙,稱為思維抑制.考試中,遇到運(yùn)算數(shù)字較大的計算或不熟悉的題型一時找不到思路,就會產(chǎn)生焦慮,有時產(chǎn)生暫時的遺忘,干擾思維的正常運(yùn)行,導(dǎo)致會而不對,對而不全.

    例10已知二次函數(shù)y=mx2+(1-2m)x+1-3m與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A,B.

    (1)證明此二次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過一個定點(diǎn)P,并求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

    分析:例10證明過定點(diǎn)、求最值問題因不常見往往使學(xué)生望而卻步,心理上有思維障礙.

    4.3 審題馬虎、理解膚淺

    粗心大意源于不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣.審題是解題的關(guān)鍵,許多學(xué)生在審題時粗心大意,經(jīng)常看錯題或看漏條件,沒能正確地理解題意導(dǎo)致錯誤的產(chǎn)生.

    錯解:選A.

    德國哲學(xué)家黑格爾曾說過:“錯誤本身乃是達(dá)到真理的一個必然的環(huán)節(jié).”錯題,既是學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗和學(xué)習(xí)資料的寶庫,又是教師發(fā)現(xiàn)教學(xué)問題、改進(jìn)教法、及時調(diào)整教學(xué)策略的重要手段[2].因此,利用好錯題資源,分析產(chǎn)生錯誤的原因,總結(jié)解題經(jīng)驗,就一定能提高數(shù)學(xué)解題水平.

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