含參一元一次不等式(組)問題求解策略

?山東省廣饒縣英才中學(xué) 徐樹光

1 引言

若一個不等式中除了含有未知數(shù)以外，還含有其他字母，則稱這個不等式為含參數(shù)的不等式.一般解題策略是先把不等式化為一邊是未知數(shù)，另一邊是數(shù)字或含參數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)題目的其他條件對表達(dá)式的正負(fù)情況討論解答.下面以2020年中考題為例探求含參一元一次不等式(組)問題的求解策略[1].

2 直接使用口訣

由兩個一元一次不等式構(gòu)成的不等式組，共有四種情況.已知a

利用這個口訣，有時可以快速解題.

因此應(yīng)填：a≥1.

點(diǎn)評：用口訣解“不等式組有解或無解”問題比較方便，但需要注意解集中等號的取舍，這對初學(xué)不等式的學(xué)生是一個難點(diǎn).對此類問題還可以作以下變式：

3 分類討論

由于參數(shù)的存在，各不等式解集端點(diǎn)的值大小關(guān)系待定，用分類討論作答，可看出不同情況下的解集，符合題意的范圍即為要求的答案.

當(dāng)a=2時，原不等式組的解集是x>1；

當(dāng)a<2時，原不等式組的解集是x>1.

所以a的取值范圍是a≤2.

點(diǎn)評：分類討論將所求問題細(xì)化，多次使用口訣解答，找到滿足題意的參數(shù)的范圍；同時，也排除了不合題意的參數(shù)范圍.

4 數(shù)形結(jié)合

不等式中的參數(shù)問題本質(zhì)是在運(yùn)動與變化中尋找滿足題意的范圍，有時臨界點(diǎn)較多，利用數(shù)形結(jié)合可以使問題直觀形象，降低思維難度，尤其對等號的取舍有重要的支撐作用.

例3(2020年天水改編)若關(guān)于x的不等式3x+a<2的最大整數(shù)解為2，則a的取值范圍是.

圖1 圖2 圖3

因此，a的取值范圍是-7≤a<-4.

點(diǎn)評：數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的有力工具，利用數(shù)軸將不等式的解集直觀表示出來，可以快速準(zhǔn)確地建立含參不等式，對難于抉擇的端點(diǎn)也可一目了然.

5 補(bǔ)集思想

當(dāng)一個問題有多種可能性，或不易直接解答，可從問題的反面分析研究，即利用補(bǔ)集思想解決.

A.m>-1 B.m≥-1

C.m≤-1 D.m<-1

解析：解不等式組，得x>1，且x≤-m.考慮從反面出發(fā)，求原不等式組無解時，a的取值范圍.由前面的口訣，知-m≤1，即m≥-1時，原不等式組無解，即不等式有解的范圍是m<-1.故選：D.

點(diǎn)評：正難則反是一種重要的思維方式，巧妙運(yùn)用這個策略，適當(dāng)轉(zhuǎn)變思路，嘗試逆向思維對題目進(jìn)行分析，能夠降低思維難度，減少運(yùn)算量.

6 端點(diǎn)驗(yàn)證

不等式中有關(guān)取值范圍的問題，對端點(diǎn)的取舍容易出錯，因此對于一些選擇題，只需把端點(diǎn)處理好，采取端點(diǎn)驗(yàn)證法，可以減少運(yùn)算量.

A.0≤a≤2 B.0≤a<2

C.0

解：從選項(xiàng)中發(fā)現(xiàn)，解決本題的關(guān)鍵在于0和2是否可取.

由3x-5≥1，得x≥2.

當(dāng)a=0時，不等式組的解集是2≤x<4，有兩個整數(shù)解，不合題意，所以舍去a=0.排除A，B選項(xiàng).

當(dāng)a=2時，不等式組的解集為2≤x<5，有三個整數(shù)解，符合題意，所以a=2可取.

因此應(yīng)選：C.

點(diǎn)評：對于一個數(shù)學(xué)問題，能直接解答固然很好，而從不同角度思考問題，特別在考試的有限時間內(nèi)快速得出答案，既可節(jié)省時間，又可提高正確率，是非常有益可取的做法.

以上含參不等式的五種求解方法，要因題而異，根據(jù)題設(shè)靈活選用，尤其是等號的處理，要正確理解.下面讓我們運(yùn)用這幾種方法大顯身手吧！

A.a≥2 B.a<-2 C.a>2 D.a≤2

解析：解不等式組得x<2且x

解析：解不等式組，得x>2且x

解析：解不等式組，得x<4-a且x>-1.則不等式組有解時，滿足-1