例析二元一次方程(組)的應(yīng)用

?甘肅省武威市天祝藏族自治縣新華中學(xué) 陳永華

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的，在教學(xué)中教師要注重對學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的培養(yǎng).因此，在課堂教學(xué)中，教師要善于利用典型例題激發(fā)學(xué)生的思維.筆者借助二元一次方程(組)在解題中的應(yīng)用進行探究以供研討.

1 例題分析

例1若|x+y+1|與(x-y-3)2互為相反數(shù)，則(3x+y)3的值為( ).

A.-1 B.1 C.-27 D.27

分析：本題只給出一個條件“|x+y+1|與(x-y-3)2互為相反數(shù)”，學(xué)生要在充分理解“互為相反數(shù)”的前提下才能得到“|x+y+1|+(x-y-3)2=0”，進而根據(jù)非負性特點列方程并解出，最后才能求出(3x+y)3的值.

解：由|x+y+1|與(x-y-3)2互為相反數(shù)，得

|x+y+1|+(x-y-3)2=0.

又因為|x+y+1|≥0，(x-y-3)2≥0，所以x+y+1=0，x-y-3=0.

于是有

解之得

所以(3x+y)3=[3×1+(-2)]3=1.

故本題選：B.

點評：一個問題中出現(xiàn)了相等關(guān)系，而未知數(shù)難以直接求出，那么可以借助一元二次方程組解決[1].但是，這樣的解題方法常與相反數(shù)、絕對值、同類項等基礎(chǔ)知識結(jié)合在一起.這樣一來，很多學(xué)生在沒有牢固掌握這些基礎(chǔ)知識的前提下，順利解題的難度較大.因此，牢固掌握基礎(chǔ)知識非常關(guān)鍵.

分析：本題給出的方程組中有未知系數(shù)，所以直接解方程并不是最佳方法.不妨先將未知系數(shù)看成已知，按照常規(guī)方法解出方程，再根據(jù)題目給出的“有整數(shù)解”“正整數(shù)a”進行討論.

解：將兩個方程相減，得

(ax+2y)-(3x+2y)=10-0.

即(a-3)x=10.

因為方程組有整數(shù)解，且a是正整數(shù)，所以在滿足x為整數(shù)的前提下，a=1，2，4，5，8，13.

因為方程組的整數(shù)解指的是x，y同時是整數(shù)，所以a=2，4，8.

點評：分類討論多伴隨不定方程(組)而出現(xiàn)，這時需要根據(jù)一些限制條件對所有解的可能性進行分類討論，從而獲得滿足題意的可行性方案[2].當(dāng)給定的條件是自然數(shù)、非負整數(shù)等時，需要從0開始分析；當(dāng)給定的條件是正整數(shù)等時，那么就需要從1開始分析.

例3小明看中了一套新款春裝準備進貨，成本共500元，專賣店店員告訴他在上市時通常將上衣按百分之五十的利潤定價，褲子按百分之四十的利潤定價.由于新年將至，為吸引顧客，兩件衣服均按九折出售，這樣專賣店共獲利157元，但店員有事走開了，你能幫他算出每件上衣的成本嗎？

分析：本題是與實際生活高度結(jié)合的應(yīng)用題，數(shù)字較多，且它們之間的關(guān)系也比較復(fù)雜.面對這種問題，應(yīng)該將各種量及其數(shù)值用表格的方式列舉并對應(yīng)，從而幫助學(xué)生梳理題中信息.另外，不難從題中看出，共有兩條列方程的主線.其一是“成本共500元”；其二是“共獲利157元”.所以，只需根據(jù)這兩個條件，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)列出方程并解出即可.

解：能.設(shè)每件上衣成本為x元，每條褲子成本為y元，具體數(shù)據(jù)見下表.

上衣/件褲子/條成本/元xy定價/元(1+50%)x(1+40%)y售價/元0.9(1+50%)x0.9(1+40%)y利潤/元0.9(1+50%)x-x0.9(1+40%)y-y

依題意可得

解之得x=300.

答：每件上衣的成本是300元.

點評：像二元一次方程(組)的實際問題中往往有著層次分明的兩個條件，如“第一次運輸360噸化肥，裝載了6節(jié)火車車廂和15輛汽車”和“第二次運輸440噸化肥，裝載了8節(jié)火車車廂和10輛汽車”，有著非常明顯的兩層意思，而這就給解題者提供了“列一元二次方程(組)”解決問題的思路.

例4某化肥廠第一次運輸360噸化肥，裝載了6節(jié)火車車廂和15輛汽車；第二次運輸440噸化肥，裝載了8節(jié)火車車廂和10輛汽車.每節(jié)火車車廂與每輛汽車平均各裝多少噸化肥？

分析：本題是學(xué)生比較常見的一元二次方程(組)與實際問題相結(jié)合的問題.首先通過分析題意不難發(fā)現(xiàn)，題中有兩層信息“第一次運輸360噸化肥，裝載了6節(jié)火車車廂和15輛汽車”“第二次運輸440噸化肥，裝載了8節(jié)火車車廂和10輛汽車”.它們正好對應(yīng)了兩個方程.當(dāng)然，要列出這兩個方程，學(xué)生要有善于發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)品質(zhì).

解：設(shè)每節(jié)火車車廂平均裝x噸化肥，每輛汽車平均裝y噸化肥.

依題意可得

解之得

答：每節(jié)火車車廂平均裝50噸化肥，每輛汽車平均裝4噸化肥.

點評：本題需要學(xué)生用敏銳的數(shù)感去發(fā)覺題中所給出的兩層信息，而這些數(shù)感正是來源于生活感悟和解題訓(xùn)練.所以，日常的觀察、感悟及解題訓(xùn)練非常重要.

2 應(yīng)用策略說明

二元一次方程(組)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是考試中的高頻考點，其考查形式多種多樣，本文中研究的二元一次方程(組)的應(yīng)用就是其中之一.如何有效解決這一類問題，筆者就其策略提出如下幾點建議.

(1)分析題意，找出題中含有“兩層”意思的語句，用序號①②進行標注，培養(yǎng)學(xué)生抓住題中重要信息的能力.

(2)利用表格將題中分層的題意更直觀地體現(xiàn)出來，讓數(shù)據(jù)之間存在的數(shù)量關(guān)系更加明顯.

(3)按照解方程應(yīng)用題的設(shè)、解、答等步驟完成接下來的過程.

(4)分類討論是解決初中數(shù)學(xué)問題非常重要的方法，但是學(xué)生對這種方法的掌握情況不容樂觀[3].作為一線數(shù)學(xué)教師，不僅要注重發(fā)散思維的培養(yǎng)，讓學(xué)生多從幾個角度思考問題，而且要經(jīng)常性地利用練習(xí)訓(xùn)練學(xué)生的思維，讓學(xué)生認識到分類討論的重要性，繼而通過一步步訓(xùn)練提高他們的思維能力[4].

(5)教師在實際教學(xué)時應(yīng)靈活呈現(xiàn)各種類型的二元一次方程問題，為學(xué)生順利解題不斷積累經(jīng)驗.

(6)與二元一次方程(組)應(yīng)用結(jié)合的問題比較多，且大多內(nèi)容比較基礎(chǔ).所以，學(xué)生要想靈活解答這些問題，還必須牢固掌握與二元一次方程(組)有關(guān)的知識點.只有這樣，才能為分析和解決實際問題奠定基礎(chǔ).

教師不僅要注重學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握和基本技能的訓(xùn)練與提升，而且要幫助學(xué)生在學(xué)與練的過程中形成基本活動經(jīng)驗和獲得基本思想.所以，教師可以放手讓學(xué)生對常見題型及其變式進行歸類，從而讓他們在解題和應(yīng)用方面不斷靈活“切換”.