基于準(zhǔn)ARX 模型和SVR 算法的非線性系統(tǒng)切換控制*

王 蘭， 董宜平， 曹進(jìn)德

（1. 無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)課部，江蘇 無錫 214121；2. 中科芯集成電路有限公司，江蘇 無錫 214063；3. 東南大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，南京 211189）

引 言

非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制問題一直是控制領(lǐng)域的研究重點(diǎn). 部分研究者基于局部線性化的思想，即將非線性系統(tǒng)分解為線性系統(tǒng)，提出了非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制方法[1-5]. 然而，局部線性化的方法并不能很好地表達(dá)系統(tǒng)的非線性特性，因此該模型面臨著精確性問題. 近年來，機(jī)器學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)由于其可以無限逼近于非線性函數(shù)而吸引了越來越多的研究者關(guān)注[6-12]. 非參數(shù)化和參數(shù)化模型的界限一直比較模糊，機(jī)器學(xué)習(xí)的方法弱化了模型類型的區(qū)別，并作為一種基于輸入輸出數(shù)據(jù)的一般性學(xué)習(xí)算法在建模及參數(shù)估計(jì)方面得到了研究和發(fā)展，例如基于核函數(shù)的辨識(shí)方法[8]、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的辨識(shí)方法[7,12]、基于模糊邏輯[1,5]的辨識(shí)方法等. 然而，在設(shè)計(jì)和使用該類控制系統(tǒng)的過程中，必須充分考慮參數(shù)辨識(shí)、控制律推導(dǎo)以及控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性等問題.

為了解決這些問題，一種特殊的模塊化模型：含有外部輸入項(xiàng)的準(zhǔn)線性自回歸(autoregressive with eXogenous inputs, ARX) 模型被提出. 文獻(xiàn)[1]對(duì)該模型的建立和特點(diǎn)進(jìn)行了詳細(xì)說明. 近年來，該模型已成功應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)、真實(shí)系統(tǒng)的辨識(shí)與控制、時(shí)序預(yù)測(cè)等領(lǐng)域[5,8,13]. 準(zhǔn)ARX 模型通過模型的多模塊來實(shí)現(xiàn)不同功能并表達(dá)系統(tǒng)特性，主要優(yōu)勢(shì)在于將模型線性和非線性分離于不同模塊中，從而使得模型穩(wěn)定性可通過線性部分來確保. 因?yàn)榭梢酝ㄟ^切換機(jī)制提高線性控制的精度，同時(shí)又可以給非線性控制提供穩(wěn)定性保障，所以控制切換的思想在很多文獻(xiàn)中被采用[11,14-15]. 文獻(xiàn)[11]提出了一種包含切換機(jī)制的準(zhǔn)ARX 網(wǎng)絡(luò)模型，基于模型的線性部分和非線性部分的預(yù)測(cè)誤差，建立了切換判定函數(shù). 基于該模型的切換控制系統(tǒng)既可以保障控制的精度，又可以解決穩(wěn)定性問題.

然而，該控制系統(tǒng)仍然面臨三個(gè)挑戰(zhàn)：基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)ARX 模型的參數(shù)并沒有充分利用先驗(yàn)知識(shí)，其參數(shù)沒有可用的解釋；當(dāng)系統(tǒng)具有較大的擾動(dòng)時(shí)，原有的控制器設(shè)計(jì)方法并不具有很好的魯棒性；切換機(jī)制引入預(yù)測(cè)系統(tǒng)，基于預(yù)測(cè)模型設(shè)計(jì)的控制器還是多個(gè).

基于上述討論，本文采用徑向基函數(shù)(radial basis function, RBF) 網(wǎng)絡(luò)代替準(zhǔn)線性ARX 模型中非線性部分的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).RBF 網(wǎng)絡(luò)具有簡單的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和計(jì)算精度高等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛用于非線性系統(tǒng)控制.同時(shí)，采用近鄰傳播聚類(affinity propagation, AP)聚類方法生成系統(tǒng)的數(shù)據(jù)分布信息，每個(gè)RBF 網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)根據(jù)距離其他中心的距離來設(shè)置，從而為準(zhǔn)ARX 模型提供一種可解釋的辨識(shí)方法.引入切換機(jī)制，設(shè)計(jì)一個(gè)基于線性部分和非線性部分誤差的切換控制器，給出穩(wěn)定性說明.支持向量回歸(support vector regression, SVR)在模式識(shí)別和函數(shù)估計(jì)中可以確保參數(shù)的穩(wěn)健性，尤其是控制對(duì)象存在很大的擾動(dòng)時(shí)[16-17].為了提高控制系統(tǒng)的魯棒性，利用一個(gè)線性SVR 算法取代最小二乘算法算法.

本文的結(jié)構(gòu)如下：第1 節(jié)進(jìn)行了問題的描述；第2 節(jié)提出了一種改進(jìn)的準(zhǔn)ARX 切換模型；第3 節(jié)給出了模型參數(shù)辨識(shí)方法；第4 節(jié)基于預(yù)測(cè)模型設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的控制器，并分析了其穩(wěn)定性，同時(shí)通過仿真例子說明了模型的有效性；第5 節(jié)給出了全文的總結(jié).

1 問 題 描 述

本文研究如下單輸入單輸出(SISO)非線性時(shí)不變系統(tǒng)[18]，其輸入輸出關(guān)系記作

其中 φ (t)=[y(t-1) ···y(t-n)u(t-d) ···u(t-m-d+1)]T,u(t)∈R,y(t)∈R，v(t)∈R 分別是t時(shí)刻系統(tǒng)的輸入、輸出以及零均值的隨機(jī)噪聲；m和n分別為未知的輸入、輸出最大時(shí)滯，d為已知的整數(shù)時(shí)延； φ(t)∈Rs，s=n+m是對(duì)應(yīng)的回歸變量；g(·) 是非線性函數(shù).給出如下假設(shè)[1]：

假設(shè)1 (ⅰ)g(·) 是一個(gè)連續(xù)函數(shù), 在 φ (t)=0 處是C∞連續(xù)；(ⅱ) 系統(tǒng)具有全局一致漸近穩(wěn)定的零動(dòng)態(tài)特性；(ⅲ) 系統(tǒng)是可控的，且存在一個(gè)控制器可以表示為：u(t)=ρ(ξ(t)), 其中ξ(t)=[y(t) ···y(t-n)u(t-1) ···u(t-m)y*(t+1) ···y*(t+1-l)]T(y*(t) 表示參考輸出).

2 改進(jìn)的準(zhǔn) ARX 預(yù)測(cè)模型

2.1 回歸表示

在假設(shè)條件下，系統(tǒng)(1)的函數(shù)g(·)在 φ (t)=0 鄰域內(nèi)進(jìn)行Taylor 展開，可以得到

2.2 d-步預(yù)測(cè)器

基于文獻(xiàn)[1]中的推導(dǎo)方法，得到預(yù)測(cè)器的表達(dá)式為

2.3 基于RBF 的準(zhǔn)ARX 模型

其中 Ωj={λj,Zj} 是RBF 網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)集；Zj為網(wǎng)絡(luò)的中心； λj表示基函數(shù)的寬度參數(shù)；算子 ‖ ·‖2表示向量的2 范數(shù)；M代表基函數(shù)的個(gè)數(shù)； ξ (t),χ(t) 是RBF 網(wǎng)絡(luò)的輸入項(xiàng)，在前面已經(jīng)定義.

3 模型參數(shù)辨識(shí)

模型 (11)的參數(shù)分為兩類：線性部分參數(shù) Θ 以及非線性部分參數(shù) ? ,Ωj.分別采用不同的參數(shù)辨識(shí)方法進(jìn)行.

3.1 線性部分參數(shù)

3.2 非線性部分參數(shù)

3.2.1 聚類方法

中心參數(shù)的選擇對(duì)RBF 型網(wǎng)絡(luò)的性能起著重要的作用.本文中，該部分參數(shù)是通過聚類方法利用先驗(yàn)知識(shí)得到而不是通過最小化訓(xùn)練誤差的均方來估計(jì)的.需要指出的是，在RBF 網(wǎng)絡(luò)中使用聚類方法來初始化中心參數(shù)并不是一個(gè)新的思路，而本文采用的參數(shù)辨識(shí)方法，具有有意義的解釋[8].

通過聚類算法生成數(shù)據(jù)的局部線性信息，其中簇的數(shù)目（線性子空間）等于RBF 基函數(shù)的數(shù)目M，并且每個(gè)聚類中心被設(shè)置為相關(guān)RBF 的中心參數(shù)Zj.為了適當(dāng)?shù)卮_定每個(gè)局部線性子模型的操作區(qū)域，設(shè)置每個(gè)RBF 的寬度 λj以很好地覆蓋相應(yīng)的子空間.本文采用系數(shù) ρ 乘以訓(xùn)練數(shù)據(jù)之間最大距離.

3.2.2 支持向量回歸方法

該優(yōu)化問題可以變換為尋找相關(guān)Lagrange 函數(shù)的鞍點(diǎn)問題：

3.3 切換律

4 控 制 仿 真

4.1 控制器設(shè)計(jì)

該部分非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)包含兩個(gè)步驟：第一步辨識(shí)改進(jìn)的準(zhǔn)ARX 預(yù)測(cè)模型；第二步控制序列的推導(dǎo)和實(shí)施.通過前面的推導(dǎo)，我們可以得到被辨識(shí)的預(yù)測(cè)模型為

基于文獻(xiàn)[19]的方法，分析可得非線性系統(tǒng)(3)的自適應(yīng)控制器(23)的穩(wěn)定性：輸入輸出信號(hào)在閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)是有界的.此外，當(dāng)選取合適的徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，系統(tǒng)的跟蹤誤差收斂于0.

4.2 仿真例子

考慮非線性系統(tǒng)表達(dá)式如下：

其中噪聲函數(shù)v(t) 為v(t)=(1+0.3q-1)e(t),e(t)∈N(0,0.02) 為白噪聲.

其中r(t)=sin(2πt/25).

基于該例子的仿真，將本節(jié)提供的切換控制方法，與線性控制方法(linear control)、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制方法(NN control)[19]以及非切換自適應(yīng)控制方法(third control)進(jìn)行比較. 非線性部分的徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)選為M=6, ρ=0.2， 參數(shù) Ωj則利用聚類算法進(jìn)行離線訓(xùn)練得到. 利用線性SVR 算法每10 步計(jì)算一次參數(shù)?. 切換判別函數(shù)中的參數(shù)選為c=2.4，N=3.

圖 1 給出了控制結(jié)果的展示. 其中，圖1(a) 給出了控制輸出，實(shí)線為控制輸出y(t)， 虛線為期望輸出y*(t)；圖1(b) 給出了控制輸入u(t)； 圖1(c)中為切換序列 χ(t). 顯而易見，所提供的控制方法可以很好地在任意時(shí)刻實(shí)現(xiàn)對(duì)期望輸出的追蹤.

圖1 仿真例子的控制結(jié)果圖：(a) 控制輸出 y (t)， 期望輸出 y *(t) ；(b) 輸入序列 u (t) ；(c)切換序列χ(t)Fig. 1 Control results of the example: (a) control output y (t) and desired output y *(t) ; (b) control input u (t) ; (c) switching sequenceχ(t)

表 1 給出了4 種控制方法誤差的均值和方差數(shù)據(jù)，通過對(duì)比可以看出，本文所研究的切換自適應(yīng)控制在噪聲較大情況下，效果比其他方法控制效果更好.

表1 基于噪聲v (t)情 況下控制誤差對(duì)比表v(t)Table 1 Comparison of errors with the noise

5 總 結(jié)

本文提出了一種基于改進(jìn)的準(zhǔn)ARX RBF 預(yù)測(cè)模型的新型非線性系統(tǒng)自適應(yīng)切換控制器. 一方面，采用聚類方法來揭示預(yù)測(cè)模型非線性部分的局部線性信息. 雖然在RBF 網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)估計(jì)中出現(xiàn)了類似的方法，但對(duì)于準(zhǔn)ARX 模型的非線性參數(shù)給出了有意義的解釋. 另一方面，將SVR 用于模型的線性參數(shù)估計(jì). 與基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制系統(tǒng)不同的是，所提出的控制模型，參數(shù)可以通過先驗(yàn)知識(shí)確定，并且對(duì)于較大的擾動(dòng)具有魯棒性. 最后，通過仿真體現(xiàn)所提供的控制方法的有效性.

參考文獻(xiàn)（ References ） ：

［1］H U J, HIRASAWA K, KUMAMARU K. A neurofuzzy-based adaptive predictor for control of nonlinear systems[J].Transactions of the Society of Instrument and Control Engineers, 1999, 35（8）: 1060-1068.

［2］ 趙 瑋, 任鳳麗. 基于自適應(yīng)控制的四元數(shù)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2022, 43（1）: 94-103.（ZHAO Wei, REN Fengli. Finite time adaptive synchronization of quaternion-value neural networks with time delays[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2022, 43（1）: 94-103.（in Chinese））

［3］Y OUNG P C, MCKENNA P, BRUUN J. Identification of non-linear stochastic systems by state dependent parameter estimation[J].International Journal of Control, 2001, 74（18）: 1837-1857.

［4］X I Y G, LI D W, LIN S. Model predictive control-status and challenges[J].Acta Automatica Sinica, 2013, 39（3）:222-236.

［5］ 王 蘭, 謝達(dá), 董宜平, 等. 基于準(zhǔn) ARX 多層學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)模型的非線性系統(tǒng)自適應(yīng)控制[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2019,40（11）: 1214-1223. （WANG Lan, XIE Da, DONG Yiping, et al. Adaptive control of nonlinear systems based on quasi-ARX multilayer learning network models[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2019, 40（11）: 1214-1223.（in Chinese））

［6］N ARENDRA K S, PARTHASARATHY K. Identification and control of dynamical systems using neural networks[J].IEEE Transactions on Neural Networks, 1990, 1（1）: 4-27.

［7］L I D P, LIU Y J, TONG S C, et al. Neural networks-based adaptive control for nonlinear state constrained systems with input delay[J].IEEE Transactions on Cybernetics, 2019, 49（4）: 1249-1258.

［8］W ANG L, CHENG Y, HU J, et al. Nonlinear system identification using quasi-ARX RBFN models with a parameter-classified scheme[J].Complexity, 2017, 2017: 1-12.

［9］W U J, SUN W, SU S F, et al. Neural-based adaptive control for nonlinear systems with quantized input and the output constraint[J].Applied Mathematics and Computation, 2022, 413: 126637.

［10］B ILLINGS S A, WEI H L. A new class of wavelet networks for nonlinear system identification[J].IEEE Transactions on Neural Networks, 2005, 16（4）: 862-874.

［11］W ANG L, CHENG Y, HU J. Stabilizing switching control for nonlinear system based on quasi-ARX RBFN model[J].IEEJ Transactions on Electrical and Electronic Engineering, 2012, 7（4）: 390-396.

［12］C HENG L, WANG Z, JIANG F, et al. Adaptive neural network control of nonlinear systems with unknown dynamics[J].Advances in Space Research, 2021, 67（3）: 1114-1123.

［13］J ANOT A, YOUNG P C, GAUTIER M. Identification and control of electro-mechanical systems using state-dependent parameter estimation[J].International Journal of Control, 2017, 90（4）: 643-660.

［14］Y ANG D, LI X, QIU J. Output tracking control of delayed switched systems via state-dependent switching and dynamic output feedback[J].Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, 2019, 32: 294-305.

［15］B ECHLIOULIS C P, ROVITHAKIS G A. Prescribed performance adaptive control for multi-input multi-output affine in the control nonlinear systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 2010, 55（5）: 1220-1226.

［16］A WAD M, KHANNA R.Support Vector Regression[M]//Efficient Learning Machines.Berkeley: Apress, 2015:67-80.

［17］T OIVONEN H T, T?TTERMAN S, ?KESSON B M. Identification of state-dependent parameter models with support vector regression[J].International Journal of Control, 2007, 80（9）: 1454-1470.

［18］G OOGWIN G C, SIN K S.Adaptive Filtering Prediction and Control[M]. Dover Publications, 1984.

［19］W ANG L, CHENG Y, HU J. A quasi-ARX neural network with switching mechanism to adaptive control of nonlinear systems[J].SICE Journal of Control, Measurement, and System Integration, 2010, 3（4）: 246-252.