基于混合故障率的設備分階段順序維修決策優(yōu)化研究

吳耀勝，劉勤明，葉春明

(上海理工大學 管理學院，上海 200093)

隨著社會的發(fā)展，對于設備可靠性的要求越來越高，對設備制定合理的維修策略可以有效地增加企業(yè)的競爭力，由于設備故障帶來的生產(chǎn)線停產(chǎn)會使企業(yè)的利潤減少，甚至會使企業(yè)遭受巨大的損失，所以對設備制定有效的維護計劃具有重要的意義。

設備維護是企業(yè)運營管理的重要內(nèi)容之一，進行有效、科學的維修活動可以有效降低企業(yè)的運營成本，增加企業(yè)的盈利能力。Zhou等[1]提出一種以可靠性為中心的維修策略，通過引入役齡遞減因子與故障率遞增因子建立基于設備可靠性的預防性維修模型，最后討論不同的成本參數(shù)對維修策略的影響。Malik[2]和Nakagawa等[3]先后通過利用等效役齡與故障率遞增來描述設備在維修前后的故障率變化，給單設備預防性維護建模提供基本方案。Ahmad[4]和Le等[5]分別基于設備維修成本和可靠性建立了非周期預防性維修優(yōu)化模型，并對模型進行求解。金玉蘭等[6]以多部件設備為研究對象，提出非等周期維修策略，運用馬爾可夫過程建立不同維修策略的轉(zhuǎn)移概率表達式，解決組合的預防維修策略問題。韓幫軍等[7]在小修的基礎上加入預防性維修，建立順序性預防性維修模型。鄧超等[8]將設備的退化過程進行分段，并對維修資源進行分類，提出分階段順序維修模型。石慧等[9]考慮設備壽命為維修闕值的預防性維護策略，利用微粒群算法對預防性維修模型進行求解，使平均費用最小。張斌等[10]考慮退化和隨機沖擊對系統(tǒng)可靠度的影響，構(gòu)建預防性維修模型并引入役齡回退因子，建立費用率函數(shù)最小的目標函數(shù)，并分析參數(shù)對維修策略的影響。宋之杰等[11]建立等周期維修模型，以考慮動態(tài)成本和可用度為約束為條件。王靈芝等[12]建立多部件成組維修優(yōu)化模型，以系統(tǒng)可靠度最大化和維修費用最小化為目標函數(shù)。

然而，很多文獻[13-18]沒有考慮設備維修成本的動態(tài)性以及改善因子的可變性，本文采用混合故障率函數(shù)，綜合考慮動態(tài)的役齡改善因子及故障率遞增因子對故障率的影響。隨著設備逐漸老化和故障逐漸增多，考慮現(xiàn)實的可操作性，本文為了避免等周期維修的不實際性以及非等周期的不易操作性，根據(jù)設備退化過程不同的特征，將維修階段分成不同的3個階段，在每個階段內(nèi)進行等周期維修，這樣更具有可操作性。本文以總的費用率為目標函數(shù)，一定的可靠度為約束條件以保證設備的可靠運行，建立分階段等周期的維修優(yōu)化模型。

1 問題描述

設備維修的方式一般有小修、不完全維修和更換3種。本文考慮設備的退化過程中的不同特性，將設備的維修過程分成3個不同的階段，每個階段的維護間隔都為固定的時間，如表1所示。其中，階段1表示設備在剛開始運行的一段時間內(nèi)狀態(tài)良好，具有較低的故障率；階段2表示設備在運行一段時間后，狀態(tài)變差，故障率也出現(xiàn)增加的趨勢；階段3表示設備經(jīng)過長時間運行，狀態(tài)比較差，故障經(jīng)常發(fā)生，需進行多次預防性維修。

表1 順序維修不同階段的特征Table 1 Characteristics of different stages of sequential maintenance

根據(jù)分析3個階段設備的退化特點，將維修過程分成不同的3個階段。

分階段順序維修決策步驟如下。

1) 根據(jù)設備在生命周期內(nèi)退化的不同特性，將維修階段分成3個不同的階段，在每階段進行N1、N2和N3次預防性維修。

2) 在每個階段有固定的維修時間，每個階段的維修時間分別是T1、T2和T3。

3) 在每個預防性周期若發(fā)生故障則進行小修，每個預防性周期結(jié)束后進行不完全維修，3個階段維護結(jié)束后對設備進行預防性更換。

在維修3個階段中的各個維護周期內(nèi)，為了保證設備的正常運行，需要可靠度在一定的數(shù)值之上。

2 符號說明和模型假設

2.1 符號說明

cf：固定成本；

cv：可變成本；

Cr：更換成本；

Tr：更換時間；

a：設備維修成本的調(diào)整參數(shù)；

b：為不完全維修次數(shù)的調(diào)整參數(shù)；

Ti：第i次維護間隔時間；

Cm：小修費用；

tm：小修時間；

tpmi：第i次預防性維修所需要的時間；

Cp：單位時間停機損失；

N1：第1階段維護次數(shù)；

N2：第2階段維護次數(shù)；

N3：第3階段維護次數(shù)；

λ(t)：故障率函數(shù)；

αi：第i次不完全維修的役齡改善因子；

bi：故障率遞增因子。

2.2 模型假設

1) 在維護期內(nèi)設備如果發(fā)生故障，則對設備進行小修，小修的時間和成本都是不變的。

2) 在每個維護周期結(jié)束后，對設備采用不完全維修方式，通過引入改善因子描述設備故障率的變化，不完全維修的維修時間和維修成本是隨著維修次數(shù)的增加而逐漸增加。

3) 對設備進行更換是在最后一個維護周期結(jié)束后進行，更換時間和成本是一定值。

3 動態(tài)不完全預防性維修模型的構(gòu)建

3.1 動態(tài)不完全維修成本

由于設備在運行中狀態(tài)不斷退化，要使設備正常運作，設備的可靠性保證在一定的范圍內(nèi)，維修成本是逐漸增加的。本文中的不完全維修成本是一個動態(tài)成本，它是由固定成本cf和可變成本cv組成，即不完全維修成本可以表示為

其中，i表示第i次不完全維修。隨著設備的不完全維修次數(shù)的增加，每次的不完全維修成本也在逐漸增加。

3.2 混合故障率函數(shù)

考慮設備不完全維修會使設備的役齡回退，運行時間的增加會使設備的故障率增加，所以本文通過役齡改善因子來描述經(jīng)過第i次預防性維修的故障率函數(shù)的變化，設備的故障率函數(shù)變?yōu)?/p>

其中，αi為役齡改善因子，0＜αi＜1。再次引入故障率遞增因子bi，

從而得到混合故障率函數(shù)為

其中，故障率役齡改善因子為

式中，i表示不完全維修次數(shù)；0＜a＜。

設備在第i個預防性維護周期中的可靠度函數(shù)為

通過引入役齡改善因子，設備在第i次預防性維修中的故障率函數(shù)λi(t)可以得到

為了保證設備正常運行，設備的可靠度應該滿足

其中，Ti為維修間隔時間，i=1,2,3,···,N。

3.3 設備維護成本

設備在維護期內(nèi)發(fā)生故障需進行小修會產(chǎn)生小修成本，預防性維修會有動態(tài)的維修成本，對設備更換時會有更換成本，還有停機會產(chǎn)生停機成本。

1) 若設備在預防性維護期內(nèi)發(fā)生故障，則采用小修方式進行維修。

設備總的小修費用為

設備小修總時間

2)當運行時間達到維修間隔時間時對設備進行預防性維修。設備的預防性維修成本是隨著維修次數(shù)而逐漸變化的，設備在生命期總的預防性維修成本為

設備在第i次預防性維修所需要的時間為tpmi=。其中，k是時間調(diào)整因子?？偟念A防性維修時間為

3) 設備的更換成本是Cr，設備的更換時間為Tr。

4) 停機損失成本。停機總時間為

設備停機總成本為Cs=CpT。其中，Cp為單位時間停機損失。

設備總的維修成本為

3.4 分階段順序維修模型

以總費用率最小為優(yōu)化目標，一定的可靠度為約束條件，建立分階段順序維修模型。

式中，N1、N2、N3、Ti為決策變量，并滿足下面約束條件

4 實例分析

為了驗證模型的有效性，給出以下實例進行分析。假設某生產(chǎn)設備的故障率服從 β=3，η=190的威爾布分布，即λ(t)=,t≥0。模型中的參數(shù)分別為cf=6 000，cv=200，Cm=7 000，Cp=4 000，Cr=600 000，tm=0.5d,Tr=1.5d，a=0.3，b=0.5，bi=1.1，k=3，Cn=5 000，Cpm=8 000，R0=0.85。

4.1 求解步驟

1) 代入相關(guān)參數(shù)值，使N=N1+N2+N3=3；

2) 使N1、N2、N3取值為正整數(shù)，利用 Matlab中的非線性約束優(yōu)化工具進行求解，得到維修間隔期為T?時間的最小費用率C?和最優(yōu)的預防性維護次數(shù)N1?、N2?、N3?；

3) 令N=N+1，用同樣的方法再次求解此時的T*和C?，并比較C?(N)和C?(N?1)；

4) 如果C?(N)＜C?(N?1)，轉(zhuǎn)至第3步，否則，輸出N?=N?1時的T*和N1?、N2?，N3?，即為各個階段的最優(yōu)維護次數(shù)。

4.2 結(jié)果分析

圖1反映了3個階段不同的維修次數(shù)與費用率之間的關(guān)系。由圖1可得費用率隨著維修次數(shù)的增加先減少后增加，當N=10時費用率最小，即3個階段預防性維修次數(shù)分別為N1=3次，N2=4次，N3=3次，最小費用率為900.32元/d。

圖1 預防性維修次數(shù)與費用率的關(guān)系Figure 1 The relationship between the number of preventive maintenance and the cost rate

此時的預防性維修間隔期如表2所示。設備在運行時間越來越長的情況下，發(fā)生故障的概率逐漸增加，所以維修間隔時間縮短。在保證設備可靠性大于0.85的情況下，設備壽命周期為745.977 d。

表2 最小費用率時的維修間隔期TiTable 2 Maintenance interval Ti at minimum cost rate d

考慮不同可靠度約束對模型的影響，本文的可靠度下限值為0.85。為了分析不同的可靠度下限對模型的影響，可靠度下限分別取0.7、0.75、0.8、0.85、0.9、0.95。設備費用率的變化規(guī)律如圖2所示。可靠度下限值在0.85到0.9之間費用率變化較大。設備所需要可靠度較大時，需要頻繁的維修以致帶來較高的維修費用。當可靠度下限值低于0.85時，由于設備的可靠性要求不是很高，相應的費用率變化不是十分明顯。

圖2 不同可靠度下的費用率Figure 2 Expense rate under different reliability

4.3 結(jié)果比較

為驗證本文提出模型的有效性，與一般順序維修模型進行比較，一般順序維修模型是在設備的生命周期內(nèi)，每隔時間Ti后進行預防性維修，直到進行N-1次預防性維修，在第N次周期后對設備進行更換。在每個維護周期內(nèi)如果發(fā)生故障則進行小修。

一般順序維修策略的費用率函數(shù)為

式中，Cpm為一次預防性維修費用；Cm為小修費用；Cr為更換費用；Cn為停機損失成本；λi(t)為故障率函數(shù)；Ti為第i個維修的間隔期。

對一般順序模型進行求解，結(jié)果如圖3所示。一般順序維修模型的最佳維修次數(shù)是12次，維修間隔從107.932到38.232依次遞減，設備的整個生命周期長度是814.616 d；而分階段順序維修的最佳維修次數(shù)是10次，設備的整個生命周期長度為745.977 d，雖然設備的生命周期縮短，但是最佳維修次數(shù)減少，可以有效地減少維修費用。這表明一般順序維修模型可以將設備的可靠度保持在要求的范圍內(nèi)，但是由于后期設備維修的頻繁性，會導致維修費用的增加和相應的停機損失，然而分階段順序維修模型可以克服這個缺點，既具有經(jīng)濟性也具有現(xiàn)實可操作性。

圖3 模型的維修次數(shù)和維修間隔Figure 3 The number of repairs and repair intervals of the model

兩種模型優(yōu)化結(jié)果對比：一般順序維修的最小費用率1 132.45元/d，而分階段順序維修的的最小費用率為900.32元/d，所以分階段順序優(yōu)化模型在一定程度上來說降低了最小費用率。分階段維修模型避免設備后期由于高故障率而進行頻繁的維修策略，較少的最佳維修次數(shù)可以減少維修的費用。因此，分階段順序維修模型更加適合實際維修過程中的應用。

再次比較一下一般順序維修策略和分階段順序模型在可靠度分別為0.75、0.8、0.85、0.9、0.95下的費用率差別。結(jié)果如圖4所示。在相同可靠度條件下，分階段順序維修模型優(yōu)于一般順序維修模型，因為一般順序維修在設備運行較長時間后，故障率的增加，故障出現(xiàn)的頻率增加，從而頻繁地進行維修，造成停機損失費用，所以導致其維修費用率大于分階段順序維修。從圖4中可見，分階段順序維修模型的費用率比一般順序維修模型更加節(jié)約維修費用，節(jié)約費用大約為10%～20%。因此分階段順序維修模型更具有經(jīng)濟性和實際操作性。

圖4 不同維修策略費用率的對比Figure 4 Comparison of cost rates of different maintenance strategies

5 結(jié)論

本文考慮設備維修成本的動態(tài)性和改善因子的可變性，以及傳統(tǒng)等周期維護的不實際性和彈性維護周期的操作性的難度，提出基于混合故障率的分階段順序維修優(yōu)化模型，綜合考慮突發(fā)性故障成本、預防性維修成本、更換成本和停機損失成本等成本，以總費用率最小為目標函數(shù)，得出相應的每個階段的預防性維修次數(shù)與每個階段的預防性維修時間。分階段順序維修優(yōu)化模型既能使總的費用率最小化，也能保證設備的可靠度和實際操作中的可行性。