具有多資源協(xié)同約束的作業(yè)車(chē)間排隊(duì)網(wǎng)建模與分析

李程平，張惠煜，陳慶新，毛 寧

(廣東工業(yè)大學(xué) 廣東省計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州，510006)

當(dāng)今制造業(yè)正在邁向智能化的新時(shí)代，自動(dòng)化設(shè)備如數(shù)控機(jī)床、工業(yè)機(jī)器人、自動(dòng)導(dǎo)航小車(chē)(automated guided vehicle，AGV) 等正在逐步取代傳統(tǒng)的生產(chǎn)設(shè)備并實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)自動(dòng)化。然而，受限于人工智能技術(shù)的發(fā)展水平與制造業(yè)應(yīng)用尚未成熟，目前仍遠(yuǎn)未達(dá)到“自適應(yīng)、自決策、自執(zhí)行”的完全智能化階段。在很多情況下，人力資源仍然是生產(chǎn)過(guò)程中不可或缺的生產(chǎn)要素，例如在加工定位精度要求非常高的情況下，需要作業(yè)人員預(yù)先對(duì)機(jī)床進(jìn)行設(shè)置并校對(duì)工件位置。因此，這類(lèi)作業(yè)車(chē)間的生產(chǎn)過(guò)程需要由加工(機(jī)床)、運(yùn)輸(AGV)、預(yù)設(shè)(操作工)多類(lèi)資源進(jìn)行協(xié)同。由于自動(dòng)化設(shè)備、人力資源等生產(chǎn)資源的成本不斷上漲，在制造系統(tǒng)中應(yīng)該如何配置這些制造資源，才能以最低的成本保證預(yù)期產(chǎn)能，是規(guī)劃設(shè)計(jì)此類(lèi)制造系統(tǒng)需要解決的重要問(wèn)題。

定制化生產(chǎn)也是當(dāng)今制造業(yè)的發(fā)展趨勢(shì)。其顯著特點(diǎn)就是生產(chǎn)過(guò)程具有隨機(jī)性，例如工件任務(wù)到達(dá)時(shí)間、工藝路徑及加工時(shí)間、物料運(yùn)輸時(shí)間、操作工作業(yè)時(shí)間等都是不確定的，無(wú)法通過(guò)傳統(tǒng)確定性數(shù)學(xué)規(guī)劃模型解決此類(lèi)生產(chǎn)車(chē)間的資源配置優(yōu)化問(wèn)題。在各種隨機(jī)因素的影響下，合理的資源配置結(jié)果依賴于精確估算的系統(tǒng)性能指標(biāo)，因此需要首先建立隨機(jī)模型描述系統(tǒng)的運(yùn)行過(guò)程，分析系統(tǒng)性能。

仿真法和排隊(duì)理論建模方法是隨機(jī)制造系統(tǒng)建模的主要方法[1]。由于該類(lèi)問(wèn)題的復(fù)雜性，雖然仿真法能夠獲得更接近生產(chǎn)實(shí)際的結(jié)果，但是仿真實(shí)驗(yàn)需要消耗大量的運(yùn)行時(shí)間[2]，而基于排隊(duì)理論的解析方法只能獲得問(wèn)題的近似解，但耗時(shí)很少，這在資源配置優(yōu)化的迭代過(guò)程中可以極大地提高求解效率。本文所研究的作業(yè)車(chē)間具有3個(gè)特征：1)隨機(jī)不確定性；2)加工機(jī)床、運(yùn)輸AGV、預(yù)設(shè)操作工三者的多重資源協(xié)同約束；3)有限容量的緩沖區(qū)。上述特征使得針對(duì)此類(lèi)系統(tǒng)模型建立性能分析模型具有很大的復(fù)雜性和求解難度。

針對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)排隊(duì)網(wǎng)建模的研究中，文獻(xiàn)[3]回顧了重要的排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型的發(fā)展以及在制造系統(tǒng)中的應(yīng)用；文獻(xiàn)[4]研究了離散時(shí)間服務(wù)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)的非參數(shù)估計(jì)；文獻(xiàn)[5]建立MX/GY/1/N的排隊(duì)網(wǎng)模型，并提出該模型的求解方法；Balasubramanian等[6-7]將MX/GY/1/N的排隊(duì)網(wǎng)模型進(jìn)一步擴(kuò)展，應(yīng)用到非馬爾科夫過(guò)程中及一般分布中。

在排隊(duì)網(wǎng)的劃分方面，根據(jù)緩存區(qū)的容量是否有限，可以劃分為有限緩沖排隊(duì)網(wǎng)與無(wú)限緩沖排隊(duì)網(wǎng)。對(duì)定制化作業(yè)車(chē)間而言，在制品數(shù)是一個(gè)變量且不應(yīng)過(guò)大，因此用有限緩沖的開(kāi)排隊(duì)網(wǎng)來(lái)描述作業(yè)車(chē)間。與無(wú)限緩沖排隊(duì)網(wǎng)相比，有限緩沖排隊(duì)網(wǎng)中緩存區(qū)的容量有限，在某些情況下會(huì)發(fā)生設(shè)備堵塞甚至死鎖，使得設(shè)備的生產(chǎn)效率下降。在多數(shù)情況下，有限緩沖的開(kāi)排隊(duì)網(wǎng)沒(méi)有乘積形式的解[8]，因此求解有限緩沖的開(kāi)排隊(duì)網(wǎng)的難度更加大。求解有限緩沖的開(kāi)排隊(duì)網(wǎng)主要有精確法[9]、廣義擴(kuò)展法[10]以及狀態(tài)空間分解法[8]。對(duì)于本文研究的系統(tǒng)，利用精確法求解會(huì)導(dǎo)致?tīng)顟B(tài)空間維數(shù)災(zāi)，廣義擴(kuò)展法僅適用于串聯(lián)、分流和合流結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，而狀態(tài)空間分解法能有效減少狀態(tài)空間的數(shù)量，并適用于本文所研究的系統(tǒng)。

對(duì)具有雙重資源約束的隨機(jī)制造系統(tǒng)的研究中，文獻(xiàn)[11]研究了在有限資源的情況下，生產(chǎn)資源在車(chē)間加工中心如何分配使得系統(tǒng)在制品數(shù)量最少。文獻(xiàn)[12]針對(duì)具有自動(dòng)裝卸搬運(yùn)機(jī)器人的制造單元，建立排隊(duì)網(wǎng)模型分析性能指標(biāo)。文獻(xiàn)[13]考慮AGV與制造單元的耦合關(guān)系，建立隨機(jī)路徑的AGV排隊(duì)網(wǎng)模型并對(duì)制造系統(tǒng)的生產(chǎn)性能進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[14]研究一個(gè)基于AGV搬運(yùn)物料的制造系統(tǒng)，將排隊(duì)網(wǎng)理論與模擬退火算法相結(jié)合，對(duì)制造系統(tǒng)的設(shè)施布局進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[15]針對(duì)隨機(jī)批量搬運(yùn)物料的制造系統(tǒng)，以系統(tǒng)產(chǎn)能和訂單交貨期為約束條件建立優(yōu)化模型，使AGV的投資費(fèi)用最小。

綜上所述，目前針對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)的排隊(duì)網(wǎng)建模的研究中，并未考慮具有多重資源協(xié)同約束的情形。因此，本文針對(duì)隨機(jī)環(huán)境下，具有“加工機(jī)床、運(yùn)輸AGV、預(yù)設(shè)操作工”多資源協(xié)同約束的作業(yè)車(chē)間，基于Markov過(guò)程建立有限緩沖區(qū)開(kāi)排隊(duì)網(wǎng)模型，并應(yīng)用狀態(tài)空間分解法近似求解系統(tǒng)性能指標(biāo)值，如系統(tǒng)平均產(chǎn)出率、平均在制品和各類(lèi)資源的利用率等。

1 問(wèn)題描述

某定制型作業(yè)車(chē)間的生產(chǎn)布局經(jīng)抽象化簡(jiǎn)后建立的排隊(duì)網(wǎng)模型如圖1所示。該生產(chǎn)系統(tǒng)由中心倉(cāng)庫(kù)工件達(dá)到區(qū)域B0、中心倉(cāng)庫(kù)工件離開(kāi)區(qū)B1、1輛AGV小車(chē)、待加工緩存區(qū)Bfi(i=1,2,3)同等并行機(jī)床Mi(i=1,2,3)、完工緩存區(qū)Brj(j=1,2,3)和1個(gè)操作工人組成。未加工的工件隨機(jī)到達(dá)中心倉(cāng)庫(kù)B0，等待AGV搬運(yùn)。機(jī)床可以自動(dòng)裝載和卸載工件，但加工前需要操作工對(duì)機(jī)床進(jìn)行設(shè)置。機(jī)床加工完畢后，工件進(jìn)入機(jī)床的完工緩存區(qū)Brj。然后，AGV從緩存區(qū)Brj搬運(yùn)工件到中心倉(cāng)庫(kù)工件離開(kāi)區(qū)域B1處。已加工工件在B1卸載后，立刻離開(kāi)系統(tǒng)。

圖1 某車(chē)間排隊(duì)網(wǎng)系統(tǒng)模型Figure 1 Queuing network model of a workshop

由此可見(jiàn)，系統(tǒng)生產(chǎn)時(shí)受到AGV、機(jī)床和操作工人3種資源的約束。若AGV速率較慢，B0會(huì)處于常堵塞狀態(tài)，大量工件會(huì)被拒絕進(jìn)入系統(tǒng)，而機(jī)床Mi則會(huì)處于饑餓狀態(tài)；若操作工或機(jī)床Mi的速率較慢，B0一樣會(huì)處于常堵塞狀態(tài)，且AGV會(huì)被緩存區(qū)Bfi堵塞。系統(tǒng)模型假設(shè)如下。

1) 工件之間相互獨(dú)立，其到達(dá)過(guò)程是一個(gè)強(qiáng)度為λ 的泊松過(guò)程。

2) 當(dāng)工件到達(dá)系統(tǒng)時(shí)，進(jìn)入B0排隊(duì)等候AGV搬運(yùn)。若B0的緩存已滿，則工件被拒絕進(jìn)入。

3) 機(jī)床M1、M2和M3為同等并行機(jī)床，可以自動(dòng)裝卸工件，裝卸時(shí)間不計(jì)。每臺(tái)機(jī)床每次加工一個(gè)工件，每次加工時(shí)間相互獨(dú)立，加工時(shí)間服從參數(shù)為 μ1的指數(shù)分布。

4) 機(jī)床Mi(i=1,2,3)在加工前需要操作工進(jìn)行設(shè)置，每次的設(shè)置時(shí)間相互獨(dú)立，設(shè)置時(shí)間服從參數(shù)為 μ0的指數(shù)分布。不考慮操作工移動(dòng)的時(shí)間。

5) 機(jī)床發(fā)出設(shè)置請(qǐng)求后進(jìn)入等候設(shè)置隊(duì)列，操作工按照先到先服務(wù)的規(guī)則設(shè)置機(jī)床。

6) 系統(tǒng)服從后阻塞機(jī)制，服務(wù)原則為先進(jìn)先出(FIFO)。

7)B0最大容量為N0，緩存區(qū)Bfi(i=1,2,3)最大容量為Nf，緩存區(qū)Brj(j=1,2,3)最大容量為Nr。

AGV沿環(huán)形路徑從B0處搬運(yùn)工件到緩存區(qū)Bfi處卸載，然后到緩存區(qū)Brj處把加工完的工件運(yùn)回B1?，F(xiàn)對(duì)AGV做出的假設(shè)如下。

1) 當(dāng)AGV到達(dá)B0處時(shí)，若B0處沒(méi)有工件，則AGV在B0處等待工件到達(dá)。

2) AGV在B0處裝載工件后，按照均衡負(fù)荷原則選擇到工件數(shù)量最少的緩存區(qū)Bfi卸載工件。

3) 當(dāng)AGV在緩存區(qū)Bfi處卸載工件時(shí)，若Bfi已滿，則AGV在Bfi處在阻塞等待，直到有空位卸載工件。

4) 若緩存區(qū)Brj都沒(méi)有工件，則AGV在緩存區(qū)Bfi卸載完畢后直接返回B0；否則，AGV按照負(fù)荷均衡的原則，選擇工件數(shù)最多的緩存區(qū)Brj裝載工件，如果兩個(gè)或以上的緩存區(qū)工件數(shù)相同，則等概率選擇其中一個(gè)緩存區(qū)裝載工件。

5) AGV在兩點(diǎn)之間運(yùn)行的平均時(shí)間與兩點(diǎn)的路程成正比，且運(yùn)行時(shí)間服從指數(shù)分布。

6) 各點(diǎn)之間的距離為dpoint1?point2(見(jiàn)圖2)，其中，point 1表示起點(diǎn)；point 2表示終點(diǎn)。

圖2 各點(diǎn)之間的距離Figure 2 Distance between points

7) AGV從B0處出發(fā)，在途中沒(méi)有被阻塞的情況下，返回到B0所需的平均時(shí)間為1/V。

8) 不考慮死鎖。

2 排隊(duì)網(wǎng)建模及求解

2.1 變量含義

模型中主要變量含義如表1所示。

表1 模型符號(hào)及其說(shuō)明Table 1 Model symbols and descriptions

2.2 系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)分析

由于工件在B1不停留，B1的容量可以看作無(wú)窮大，因此不把B1考慮到系統(tǒng)中。將整個(gè)制造系統(tǒng)劃分為9個(gè)節(jié)點(diǎn)，各個(gè)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)模型分解Figure 3 System model decomposition

2.2.1 AGV節(jié)點(diǎn)分析

AGV節(jié)點(diǎn)是B0、機(jī)床Mi以及緩存區(qū)Brj的耦合點(diǎn)，因此將著重對(duì)其進(jìn)行分析。AGV在運(yùn)輸過(guò)程中，可能在B0處空閑等待、在Bfi處阻塞等待，根據(jù)AGV可能處于的各種不同狀態(tài)，建立的狀態(tài)空間及狀態(tài)空間之間的轉(zhuǎn)移如圖4所示。設(shè)AGV的狀態(tài)空間為

圖4 AGV的狀態(tài)空間轉(zhuǎn)移Figure 4 State space transition of AGV

其中，na表示AGV裝載的工件數(shù)量；a為負(fù)數(shù)時(shí)表示AGV在對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)阻塞等待；a=m_n時(shí)表示AGV處于從節(jié)點(diǎn)m前往節(jié)點(diǎn)n的途中。

AGV返回B0時(shí)，可能空閑等待，其概率為Pwait。工件以 λ的速率到達(dá)B0，則AGV離開(kāi)狀態(tài)S2(0,?1)的速率為λ。AGV離開(kāi)B0后，以概率P(Bfi)選擇向緩存區(qū)Bfi卸載工件，由于3個(gè)機(jī)床節(jié)點(diǎn)以及緩存區(qū)Bfi、Brj是對(duì)稱的，所以P(Bfi)的值為1/3。AGV到達(dá)緩存區(qū)Bfi后，可能被堵塞，其概率為。且有

由于按照負(fù)荷均衡的原則卸載工件，因此只有當(dāng)3個(gè)緩存區(qū)Bfi全滿時(shí)，AGV才被堵塞。在假設(shè)條件中，當(dāng)緩存區(qū)Bfi全滿時(shí)，AGV將等概率隨機(jī)選擇一個(gè)緩存區(qū)卸載工件。所以AGV在Bfi被堵塞的概率相等，即。由式(1)可得=Pblock。Pblock的值將根據(jù)節(jié)點(diǎn)3、節(jié)點(diǎn)5及節(jié)點(diǎn)7的狀態(tài)來(lái)確定。

若AGV到達(dá)緩存區(qū)Bfi時(shí)被堵塞，則AGV由狀態(tài)S2{(1,a);a=1_3,1_5,1_7}轉(zhuǎn)移到狀態(tài)S2{(1,a);a=?3,?5,?7}，轉(zhuǎn)移速率為。AGV在Bfi被堵塞后，由于機(jī)床加工，Bfi將會(huì)產(chǎn)生空位讓AGV卸載工件。AGV在Bfi被堵塞的平均時(shí)間為機(jī)床Mi等待操作工人的平均時(shí)間、操作工人設(shè)置機(jī)床Mi的平均時(shí)間與機(jī)床Mi加工工件的平均時(shí)間之和，AGV解堵速率為被堵塞的平均時(shí)間的倒數(shù)，同時(shí)也為機(jī)床Mi不被緩存區(qū)Brj(j=i)堵塞時(shí)的實(shí)際平均加工速率，有

若AGV到達(dá)緩存區(qū)Bfi時(shí)沒(méi)有被堵塞，則AGV由狀態(tài)S2{(1,a);a=1_3,1_5,1_7}轉(zhuǎn)移到狀態(tài)S2{(0,a);a=m_n;m=3,5,7;n=4,6,8}，轉(zhuǎn)移速率為×P(Bfi)V。

在每一圈搬運(yùn)后(AGV從B0處離開(kāi)再到返回B0處裝載工件)，設(shè)所有機(jī)床與緩存區(qū)的工件數(shù)(Bfi、Mi、Brj一共含有的工件數(shù))為Xn。當(dāng)n=k時(shí)，Xn表示的是從開(kāi)始時(shí)刻到第k圈搬運(yùn)后所有機(jī)床與緩存區(qū)的工件數(shù)。AGV每次前往緩存區(qū)Bfi必定裝載著一個(gè)工件，可能從Brj裝載一個(gè)工件或者空車(chē)返回B0。所以數(shù)列{Xn}滿足X1≤X2≤···≤Xn≤Xn+1≤···，且機(jī)床與緩存區(qū)的容納量有限，即Xn有界。由于單調(diào)有界數(shù)列必有極限，當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，Xn是一個(gè)定值，有Xn+1=Xn。

當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，假若AGV空車(chē)返回中心倉(cāng)庫(kù)，則 Xn+1＞Xn，與Xn+1=Xn矛盾。所以AGV在Bfi卸載工件后空車(chē)返回B0的情況只會(huì)發(fā)生在作業(yè)初期，在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)不會(huì)發(fā)生。因此有=1，又由對(duì)稱性可得P(Br1)=P(Br2)=P(Br3)=1/3。

2.2.2 中心倉(cāng)庫(kù)B0節(jié)點(diǎn)分析

設(shè)B0的狀態(tài)空間為S1{(n0);?1≤n0≤N0}，各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移如圖5所示。當(dāng)n0≥0時(shí)，S1(n0)表示B0有n0個(gè)工件，且 AGV小車(chē)不在B0處。當(dāng)n0=?1時(shí)，S1(?1)表示B0沒(méi)有工件，且AGV在B0處空閑等待。則AGV返回中心倉(cāng)庫(kù)時(shí)，空閑等待的概率Pwait=。

圖5 B0的狀態(tài)空間轉(zhuǎn)移Figure 5 State space transition of B0

B0工件減少，代表AGV從B0離開(kāi)運(yùn)行一圈后又返回B0。在這一過(guò)程中，AGV可能在緩存區(qū)Bfi處被阻塞，被阻塞的概率為。當(dāng)AGV在緩存區(qū)Bfi被阻塞，由式(2)可知，被阻塞的平均時(shí)間為。可得AGV平均每一圈的搬運(yùn)中，被阻塞的時(shí)間為

AGV從離開(kāi)B0到返回B0，平均時(shí)間為運(yùn)行的平均時(shí)間與被阻塞的平均時(shí)間之和，則

2.2.3 機(jī)床節(jié)點(diǎn)分析

設(shè)機(jī)床Mi(i=1,2,3)的狀態(tài)為{(nfi,u);0≤nfi≤Nf+2;u=w,v;mi=2i+1}。其中，mi代表機(jī)床Mi劃分的節(jié)點(diǎn)；nfi表示機(jī)床Mi與緩存區(qū)Bfi的工件數(shù)量。當(dāng)nfi=Nf+2時(shí)，表示機(jī)床Mi與緩存區(qū)Bfi的工件數(shù)為Nf+1，且AGV被阻塞在緩存區(qū)Bfi處。u=w表示機(jī)床Mi沒(méi)有被堵塞的狀態(tài)，包括空閑等待、等待操作工設(shè)置、正在加工工件的狀態(tài)；u=v表示機(jī)床Mi被緩存區(qū)Brj(j=i)堵塞。由于不考慮死鎖，當(dāng)AGV被緩存區(qū)Bfi阻塞時(shí)，機(jī)床Mi不會(huì)被緩存區(qū)Brj(j=i)堵塞，即不考慮這一狀態(tài)。機(jī)床Mi的狀態(tài)空間如圖6所示。

圖6 機(jī)床Mi的狀態(tài)空間轉(zhuǎn)移Figure 6 State space transition of Mi

由于AGV按照負(fù)荷均衡的原則選擇緩存區(qū)Bfi卸載工件，因此在狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài){(nfi+1,u);0≤nfi≤Nfi;u=w,v}的過(guò)程中，AGV不會(huì)被緩存區(qū)Bfi阻塞。則有

若AGV在緩存區(qū)Bfi處被阻塞，可知緩存區(qū)Bf1、Bf2、Bf3的工件數(shù)量已滿，有

機(jī)床Mi被堵塞后，解堵的速率為AGV從Brj(j=i)離開(kāi)后再次到達(dá)Brj的平均速率Vrj(其中i=j)，則

2.2.4 操作工節(jié)點(diǎn)分析

設(shè)操作工的狀態(tài)為S9{(b1,b2,b3);bi=0,1,2,3;i=1,2,3}，狀態(tài)空間如圖7所示。bi表示機(jī)床在請(qǐng)求設(shè)置隊(duì)列中的位置，當(dāng)時(shí)bi=0，表示機(jī)床Mi不需要設(shè)置；當(dāng)bi=k(k=1,2,3)時(shí)，表示Mi在設(shè)置隊(duì)列中的第k位。

圖7 操作工狀態(tài)空間轉(zhuǎn)移Figure 7 State space transition of operator

從機(jī)床Mi被操作工設(shè)置完畢，再到機(jī)床Mi需要被設(shè)置，共有2種情況。一種情況是機(jī)床Mi加工完工件后，緩沖區(qū)Bfi還剩余工件要加工；另一種情況是機(jī)床Mi空閑，AGV搬運(yùn)工件到達(dá)緩存區(qū)Bfi。

機(jī)床Mi被設(shè)置完畢，Mi的狀態(tài)為{(nfi,w);1≤n1i≤Nf+2}。在第1種情況下，機(jī)床Mi的狀態(tài)為{(nfi,w);2≤n1i≤Nf+2}，則轉(zhuǎn)移速率 φi為

第2種情況下，機(jī)床Mi被設(shè)置完畢后，機(jī)床Mi的狀態(tài)為。AGV給機(jī)床Mi搬運(yùn)工件的平均時(shí)間間隔為1/Vfi，則轉(zhuǎn)移速率 ?i為

因此，機(jī)床Mi從被設(shè)置完畢到請(qǐng)求設(shè)置的速率為wi=φi+?i。

機(jī)床M3發(fā)出設(shè)置請(qǐng)求前，操作工的狀態(tài)可能有以下幾種：S9(0,0,0)、S9(1,0,0)、S9(0,1,0)、S9(1,2,0)、S9(2,1,0)。則機(jī)床M3發(fā)出設(shè)置請(qǐng)求到被操作工設(shè)置的平均時(shí)間為

2.2.5 緩存區(qū)Brj節(jié)點(diǎn)分析

設(shè)緩存區(qū)Brj的狀態(tài)空間為{(nrj);0≤nrj≤Nr+1;hj=2j+2}，hj代表Brj劃分的節(jié)點(diǎn)，nrj代表緩存區(qū)Brj的工件數(shù)量。當(dāng)nri=Nr+1時(shí)表示緩存區(qū)Brj有Nr個(gè)工件，并且堵塞機(jī)床Mi(i=j)。緩存區(qū)Brj的狀態(tài)空間如圖8所示。

圖8 緩存區(qū)Brj的狀態(tài)空間轉(zhuǎn)移圖Figure 8 State space transition of Brj

由于系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，緩存區(qū)Brj的輸入與輸出相等，有

其中，j=i，且有

由式(11)～(13)得

2.3 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析

2.3.1 節(jié)點(diǎn)狀態(tài)平衡方程

以中心倉(cāng)庫(kù)這一節(jié)點(diǎn)為例，狀態(tài)S1{(n0);0≤n0≤N0?1}的狀態(tài)平衡方程為

當(dāng)n0=?1時(shí)，有

當(dāng)n0=N0時(shí)，有

其他各個(gè)節(jié)點(diǎn)的每個(gè)狀態(tài)的平衡方程都可以照此列出。所有狀態(tài)平衡方程被列出后，它們組成一個(gè)線性方程組。該方程組的系數(shù)矩陣是一個(gè)稀疏矩陣，且文獻(xiàn)[16]證明了連續(xù)時(shí)間馬爾可夫過(guò)程的狀態(tài)平衡方程會(huì)在迭代過(guò)程中收斂。因此，本文采用迭代法對(duì)該方程組進(jìn)行求解，得出各個(gè)狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率。

2.3.2 系統(tǒng)生產(chǎn)性能指標(biāo)

在得出系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)處于每個(gè)狀態(tài)的概率后，利用某些狀態(tài)概率可以求出平均生產(chǎn)率與平均在制品數(shù)。工件最后是由AGV搬運(yùn)離開(kāi)系統(tǒng)的，平均產(chǎn)出率為AGV離開(kāi)系統(tǒng)的狀態(tài)概率與離開(kāi)速率的乘積累加。

平均在制品數(shù)量為

AGV的利用率為

操作工的利用率為

3 算例分析

為了驗(yàn)證狀態(tài)空間分解法的有效性，利用Tecnomatix Plant Simulation 8.2仿真軟件建立對(duì)應(yīng)的仿真模型，并設(shè)置一系列算例，將排隊(duì)網(wǎng)求解的結(jié)果與仿真實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果進(jìn)行比較。排隊(duì)網(wǎng)的模型則在Matlab R2014a上進(jìn)行編程求解。仿真模型的仿真實(shí)驗(yàn)和排隊(duì)網(wǎng)模型的求解計(jì)算在同一臺(tái)PC機(jī)上進(jìn)行，操作系統(tǒng)為Windows 10，硬件環(huán)境為Intel(R)CPU 2.30 GHz、16.0 GB RAM。

3.1 離散事件仿真模型

與該作業(yè)車(chē)間對(duì)應(yīng)的仿真模型如圖9所示。為了得到比較準(zhǔn)確的結(jié)果，仿真的時(shí)間要足夠長(zhǎng)，并且要多次仿真取平均值。在仿真實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置每個(gè)算例的仿真時(shí)間為100 d，在90 %置信水平下進(jìn)行20次試驗(yàn)，然后統(tǒng)計(jì)生產(chǎn)指標(biāo)。在該仿真模型中，利用變量的值來(lái)代表操作工處于不同的狀態(tài)，操作工的設(shè)置時(shí)間通過(guò)對(duì)應(yīng)的指數(shù)分布隨機(jī)產(chǎn)生。

圖9 仿真模型Figure 9 Simulation model

3.2 系統(tǒng)性能分析

在算例中，設(shè)置4種變化的參數(shù)：1)工件到達(dá)速率 λ(個(gè)/min)；2)AGV運(yùn)輸速率V(圈/min)；3)操作工設(shè)置機(jī)床速率 μ0(臺(tái)/min)；4)緩存區(qū)的最大容量N0、Nf、Nr(個(gè))。3臺(tái)機(jī)床的加工速率都為μ1=0.4個(gè)/min，各點(diǎn)之間的距離如表2所示，算例的參數(shù)如表3所示。

表2 各點(diǎn)之間的距離(單位距離)Table 2 Distance between points (Unit distance)

表3 算例參數(shù)Table 3 Example parameter

其中，A組探究工件到達(dá)速率λ 取不同值時(shí)對(duì)系統(tǒng)性能的影響；B組探究AGV的運(yùn)輸速率V取不同值時(shí)對(duì)系統(tǒng)性能的影響；C組探究操作工的設(shè)置速率 μ0對(duì)系統(tǒng)性能的影響；D組探究緩存區(qū)容量對(duì)系統(tǒng)性能的影響。實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如表4所示，表中，?/%表示排隊(duì)網(wǎng)模型計(jì)算值與仿真值的相對(duì)誤差。各組的平均在制品數(shù)、平均產(chǎn)出率、AGV與操作工的利用率的變化規(guī)律分別如圖10～12所示。從表4的結(jié)果可看出，平均在制品的相對(duì)誤差大部分在5%以內(nèi)，相對(duì)誤差最大值為10.99%；平均產(chǎn)出率、AGV利用率和操作工利用率的相對(duì)誤差都比較小，皆在4%以內(nèi)，說(shuō)明本文針對(duì)該多資源協(xié)同約束作業(yè)車(chē)間所建立的排隊(duì)網(wǎng)模型是有效的。

圖10 在制品的變化規(guī)律Figure 10 The variation of WIP

表4 結(jié)果對(duì)比Table 4 Comparison of results

由A組的結(jié)果可知，當(dāng)工件的到達(dá)速率 λ增大時(shí)，系統(tǒng)的平均在制品數(shù)、平均產(chǎn)出率、AGV以及操作工的利用率都隨之增大。λ不斷增大，由于系統(tǒng)處理工件的能力不變，各緩存區(qū)的工件數(shù)量會(huì)有所增大，導(dǎo)致系統(tǒng)的在制品數(shù)量增加。系統(tǒng)的產(chǎn)出率先線性增大，然后增大的趨勢(shì)減小。這是因?yàn)楫?dāng)λ比較小時(shí)，系統(tǒng)的加工能力足夠處理到達(dá)的工件，產(chǎn)出率等于工件到達(dá)速率；當(dāng) λ不斷增大，受系統(tǒng)加工能力制約，產(chǎn)出率增大趨勢(shì)放緩，最終趨于平緩。從圖12中A組的結(jié)果及式(21)、式(22)可知，當(dāng)AGV與操作工的速率不變時(shí)，其利用率的變化規(guī)律與平均產(chǎn)出率是一致的。

圖11 產(chǎn)出率的變化規(guī)律Figure 11 The variation of throughput

圖12 AGV與操作工利用率的變化規(guī)律Figure 12 Variation of AGV and operator utilization

由B組的結(jié)果可知，當(dāng)AGV的運(yùn)輸速率V增大時(shí)，系統(tǒng)的平均在制品、AGV利用率減小，平均產(chǎn)出率、操作工利用率增加。當(dāng)V較小時(shí)，AGV是系統(tǒng)的瓶頸，AGV速率增大導(dǎo)致系統(tǒng)的加工能力增大，因此產(chǎn)出率隨之增大，在制品數(shù)量隨之減??；V增大到一定程度時(shí)，其他資源制約了系統(tǒng)的加工能力，產(chǎn)出率基本不再變化。同時(shí)，隨著AGV的運(yùn)輸速率V增大，其他因素不變時(shí)，AGV的空閑等待時(shí)間和AGV被緩存區(qū)堵塞的時(shí)間增加，導(dǎo)致AGV的利用率下降。

C組的結(jié)果的變化規(guī)律與B組基本相同，在此不再贅述。

由D組的結(jié)果可知，隨著緩存區(qū)的容量增大，系統(tǒng)的在制品數(shù)、平均產(chǎn)出率、AGV利用率和操作工利用率都增大，其中在制品數(shù)量增長(zhǎng)最明顯。由于工件隨機(jī)到達(dá)系統(tǒng)，當(dāng)緩存區(qū)容量較小時(shí)，工件被拒絕進(jìn)入系統(tǒng)的概率會(huì)變大，系統(tǒng)在制品、產(chǎn)出率和資源利用率都比較小。緩存區(qū)容量增大到一定程度后，產(chǎn)出率接近工件到達(dá)速率，基本不再增加，但在制品數(shù)量仍在增大，因此緩存區(qū)容量必須合理配置。

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)具有多資源約束的作業(yè)車(chē)間，考慮系統(tǒng)多資源約束的特點(diǎn)及各節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系，建立其排隊(duì)網(wǎng)模型，并利用狀態(tài)空間分解法求解其性能指標(biāo)。建立了制造系統(tǒng)的仿真模型，設(shè)置一系列案例，將排隊(duì)網(wǎng)計(jì)算的結(jié)果與仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。算例結(jié)果表明，在不同參數(shù)的情況下，具有多重資源約束作業(yè)車(chē)間的有限緩沖開(kāi)排隊(duì)網(wǎng)模型是有效的，系統(tǒng)性能計(jì)算的相對(duì)誤差大都在5%以下，驗(yàn)證了狀態(tài)空間分解法的有效性與精確性。在求解出作業(yè)車(chē)間的生產(chǎn)性能指標(biāo)后，通過(guò)改變工件到達(dá)速率、AGV運(yùn)輸速率等參數(shù)，探究不同的資源配置對(duì)系統(tǒng)性能的影響，可為進(jìn)一步研究多重資源協(xié)同約束的隨機(jī)制造系統(tǒng)的資源配置優(yōu)化提供參考。

未來(lái)將在本文的基礎(chǔ)上，考慮更大規(guī)模定制型作業(yè)車(chē)間，在保證預(yù)期產(chǎn)能的情況下，研究作業(yè)車(chē)間的資源配置優(yōu)化問(wèn)題。