脈沖噪聲環(huán)境下基于矩陣差分的遠(yuǎn)近場(chǎng)混合源定位

母采鳳 李 森 呂夢(mèng)然

（大連海事大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，遼寧大連 116026）

1 引言

信號(hào)源定位在雷達(dá)信號(hào)處理、射電天文學(xué)、地質(zhì)學(xué)、海洋學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用［1］，依據(jù)信號(hào)源與接收陣列之間的距離，信號(hào)源可以分為遠(yuǎn)場(chǎng)源信號(hào)和近場(chǎng)源信號(hào)。在遠(yuǎn)場(chǎng)源定位場(chǎng)景中，入射源假設(shè)為平面波，信號(hào)源定位僅需要對(duì)方位角進(jìn)行估計(jì)；在近場(chǎng)源定位場(chǎng)景中，入射源被認(rèn)為是球面波而不是平面波，因此近場(chǎng)源定位需要對(duì)方位角和距離進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)。在現(xiàn)實(shí)生活的某些場(chǎng)景中既存在遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)源也存在近場(chǎng)信號(hào)源，如基于麥克風(fēng)陣列的語音信號(hào)定位，此時(shí)的信號(hào)源稱為遠(yuǎn)近場(chǎng)混合源。近年來遠(yuǎn)近場(chǎng)混合源定位問題受到研究者們的廣泛關(guān)注［2-10］。

遠(yuǎn)近場(chǎng)混合源定位主要包括遠(yuǎn)近場(chǎng)分離和定位參數(shù)估計(jì)兩個(gè)問題。對(duì)于遠(yuǎn)近場(chǎng)分離，諸多算法被提出。其中，基于斜投影的遠(yuǎn)近場(chǎng)分離算法［2-3］是在首先估計(jì)出遠(yuǎn)場(chǎng)源的方位角的基礎(chǔ)上構(gòu)造斜投影矩陣，然后在陣列觀測(cè)數(shù)據(jù)中利用斜投影技術(shù)去除遠(yuǎn)場(chǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)獲得近場(chǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)。斜投影分離算法會(huì)造成陣列孔徑損失，使得定位精度下降。基于子空間差分［4-5］的遠(yuǎn)近場(chǎng)分離算法是在首先估計(jì)出遠(yuǎn)場(chǎng)源的方位角和信號(hào)功率的基礎(chǔ)上重構(gòu)遠(yuǎn)場(chǎng)源協(xié)方差矩陣，然后從遠(yuǎn)近場(chǎng)混合源協(xié)方差矩陣中減去遠(yuǎn)場(chǎng)源協(xié)方差矩陣得到近場(chǎng)源協(xié)方差矩陣。這種分離方法可以避免陣列孔徑損失，但是遠(yuǎn)場(chǎng)源方位角定位精度會(huì)對(duì)分離后得到的近場(chǎng)源協(xié)方差矩陣產(chǎn)生很大的影響，從而影響近場(chǎng)源定位精度?；诰仃嚥罘值倪h(yuǎn)近場(chǎng)分離算法［6］利用遠(yuǎn)近場(chǎng)源各自協(xié)方差矩陣具有不同的結(jié)構(gòu)特性實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)近場(chǎng)分離，相較于基于子空間差分的分離算法，這種分離方法得到的近場(chǎng)源協(xié)方差分量不受遠(yuǎn)場(chǎng)方位角估計(jì)精度的影響能獲得更為純凈的近場(chǎng)分量，實(shí)現(xiàn)了更為理想的遠(yuǎn)近場(chǎng)源分離。文獻(xiàn)［7］將矩陣差分法和子空間差分法結(jié)合起來，提出了一種基于兩步差分法的（TS-MD）遠(yuǎn)近場(chǎng)混合源定位算法。在TS-MD算法中首先采用矩陣差分技術(shù)得到純凈的近場(chǎng)源分量，在估計(jì)得到近場(chǎng)源參數(shù)的基礎(chǔ)上構(gòu)造近場(chǎng)源協(xié)方差矩陣，然后采用子空間差分技術(shù)從遠(yuǎn)近場(chǎng)混合源協(xié)方差矩陣中得到純凈的遠(yuǎn)場(chǎng)源協(xié)方差矩陣，從而避免了由近場(chǎng)源等效為虛擬遠(yuǎn)場(chǎng)源引起的偽峰問題。但是近場(chǎng)源定位參數(shù)的估計(jì)精度會(huì)影響子空間差分后得到的遠(yuǎn)場(chǎng)源協(xié)方差矩陣的精度，進(jìn)而影響到遠(yuǎn)場(chǎng)源方位角的估計(jì)精度。

在遠(yuǎn)近場(chǎng)分離后可分別對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)源和近場(chǎng)信號(hào)源的定位參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。定位參數(shù)估計(jì)方法主要分為兩大類：基于子空間的估計(jì)算法和基于稀疏重構(gòu)的估計(jì)算法。基于子空間的估計(jì)算法已經(jīng)非常成熟，主要有多重信號(hào)分類方法（multiple sig?nal classification，MUSIC）［11］和基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的估計(jì)算法（estimating signal parameter via rotational invariance techniques，ESPRIT）［12］。例如文獻(xiàn)［4］中采用MUSIC 算法分別實(shí)現(xiàn)對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)源方位角和近場(chǎng)源距離的估計(jì)，而采用類ESPRIT 算法實(shí)現(xiàn)對(duì)近場(chǎng)源方位角的估計(jì)。近幾年，基于稀疏重構(gòu)的遠(yuǎn)近場(chǎng)混合源定位算法也得到廣泛研究。文獻(xiàn)［8］在遠(yuǎn)場(chǎng)源和近場(chǎng)源參數(shù)估計(jì)中分別用稀疏重構(gòu)算法代替子空間算法，有效避免了譜峰搜索且得到了更好的估計(jì)性能。文獻(xiàn)［9］利用高階累積量和無網(wǎng)格稀疏重構(gòu)算法研究了基于交叉陣列的遠(yuǎn)近場(chǎng)混合源定位問題，避免網(wǎng)格失配和陣列孔徑的損失。

在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，自然現(xiàn)象或人為因素的影響使得噪聲具有突發(fā)、短時(shí)、高振幅的特性，這類噪聲的概率密度函數(shù)比高斯分布噪聲的概率密度函數(shù)拖尾更加厚重。對(duì)稱α-穩(wěn)定分布（symmetric α-stable distribution，SαS）被廣泛用于描述這類噪聲，其特征指數(shù)α影響SαS 分布的拖尾厚度，α越小意味著SαS分布的拖尾越厚，噪聲脈沖性越強(qiáng)；反之，意味著SαS 分布的拖尾越薄，噪聲脈沖性越弱。當(dāng)α=2時(shí)，SαS 分布為高斯分布，當(dāng)0 <α<2 時(shí)，SαS 分布只有階數(shù)小于α的矩才是有界的，在SαS 分布噪聲環(huán)境下基于二階和高階統(tǒng)計(jì)量的信號(hào)處理算法的性能會(huì)退化甚至失效。針對(duì)這一問題，分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量［13］，非線性變換預(yù)處理［14］、相關(guān)熵［15］等方法成為脈沖噪聲環(huán)境下信號(hào)處理的重要工具。現(xiàn)有文獻(xiàn)中關(guān)于脈沖噪聲環(huán)境下的DOA 估計(jì)算法大多數(shù)針對(duì)單獨(dú)的遠(yuǎn)場(chǎng)源或近場(chǎng)源［16-17］，對(duì)于脈沖噪聲環(huán)境下的遠(yuǎn)近場(chǎng)混合源定位問題研究較少，僅文獻(xiàn)［18］對(duì)此問題進(jìn)行了研究。在文獻(xiàn)［18］中首先構(gòu)造了僅包含遠(yuǎn)近場(chǎng)源方位角信息的協(xié)方差向量稀疏表示模型，并在稀疏重建代價(jià)函數(shù)中通過引入相關(guān)熵來抑制脈沖噪聲，然后在基于Root-MUSIC算法的距離估計(jì)中采用非線性變換預(yù)處理的方法來抑制脈沖噪聲。文獻(xiàn)［18］中并沒有實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)近場(chǎng)的分離，而是通過估計(jì)得到的距離值大小來實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)近場(chǎng)信源識(shí)別的。本文受矩陣差分算法的啟發(fā)，首先利用分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差矩陣差分（FLOC-MD）和壓縮變換協(xié)方差矩陣差分（CTC-MD）的分離算法實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)近場(chǎng)混合源的分離，然后分別利用子空間算法實(shí)現(xiàn)定位參數(shù)的估計(jì)。仿真結(jié)果表明，本文所提算法能有效抑制脈沖噪聲的干擾，相比于傳統(tǒng)的基于二階協(xié)方差矩陣差分（COV-MD）的遠(yuǎn)近場(chǎng)混合源定位算法能夠獲得更為精確的估計(jì)，且CTC-MD 算法明顯優(yōu)于FLOC-MD算法并且不依賴于脈沖噪聲的先驗(yàn)信息。

2 系統(tǒng)模型

如圖1 所示是一個(gè)陣元數(shù)為L(zhǎng)=2N+1 的均勻線陣，混合源信號(hào)為M個(gè)相互獨(dú)立的信號(hào)，包含M1個(gè)近場(chǎng)信號(hào)和M-M1個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)，以第N+1 個(gè)陣元為參考陣元建立直角坐標(biāo)。

圖1 均勻線陣模型Fig.1 Uniform linear array model

第l個(gè)陣元在t時(shí)刻的接收信號(hào)可以表示為

3 改進(jìn)的魯棒協(xié)方差矩陣

3.1 分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差矩陣

當(dāng)SαS 噪聲的特征指數(shù)α<2 時(shí)，基于協(xié)方差矩陣的定位參數(shù)估計(jì)算法性能將退化甚至失效，此時(shí)可以用分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差來代替協(xié)方差，陣列接收信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差矩陣定義為［16-17］

3.2 壓縮變換協(xié)方差矩陣

文獻(xiàn)［14］提出了一種非線性壓縮變換函數(shù)，該函數(shù)定義為

其中，σ為尺度變換參數(shù)它的取值不依賴于噪聲的特征指數(shù)α。可以證明在SαS 噪聲中的信號(hào)經(jīng)過非線性壓縮變換后具有有限的二階統(tǒng)計(jì)量［14］。因此定義陣列接收信號(hào)的壓縮變換協(xié)方差矩陣為

將RFLOC和RCT統(tǒng)一表示為Rζ，由于噪聲與信號(hào)是相互獨(dú)立的，則其可以表示為

性質(zhì)1：滿足Toeplitz結(jié)構(gòu)。

證明：以遠(yuǎn)場(chǎng)陣列接收信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差矩陣為例，由于源信號(hào)之間是相互獨(dú)立的，則其第(k，q)個(gè)元素和第(k+1，q+1)個(gè)元素分別為：

同理可證遠(yuǎn)場(chǎng)陣列接收信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差矩陣對(duì)角線上的元素滿足：

結(jié)合公式（11）可知遠(yuǎn)場(chǎng)分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差矩陣滿足Toeplitz結(jié)構(gòu)。

同理可證遠(yuǎn)場(chǎng)壓縮變換協(xié)方差矩陣也滿足To?eplitz 結(jié)構(gòu)，因此有，其中為反方向單位矩陣。

性質(zhì)2：滿足Hermitian結(jié)構(gòu)，即

證明：以近場(chǎng)陣列接收信號(hào)的分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差矩陣為例，其第(k，q)和(q，k)個(gè)元素為

4 定位參數(shù)估計(jì)

4.1 遠(yuǎn)場(chǎng)源方位角參數(shù)估計(jì)

4.2 近場(chǎng)源方位角參數(shù)估計(jì)

由性質(zhì)1 和2 可得僅包含近場(chǎng)信息的擴(kuò)展矩陣：

4.3 近場(chǎng)源距離參數(shù)估計(jì)

將得到的近場(chǎng)方位角估計(jì)值代入近場(chǎng)導(dǎo)向矢量，再次通過一維MUSIC 譜峰搜索可以得到與角度對(duì)應(yīng)的近場(chǎng)距離。

5 仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證算法的有效性，將本文提出的兩種算法與基于二階統(tǒng)計(jì)量的COV-MD 算法和TS-MD 算法進(jìn)行比較。在以下仿真實(shí)驗(yàn)中，對(duì)稱均勻線陣由11 個(gè)陣元構(gòu)成，陣元間隔d=λ4，共有M=4 個(gè)信號(hào)源，M1=2 個(gè)近場(chǎng)信號(hào)源和兩個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)源。遠(yuǎn)場(chǎng)源的方位角分別為θ1=-20°和θ2=30°，近場(chǎng)源的方位角和距離分別為(θ3，r3)=(-10°，1.8λ)和(θ4，r4)=(20°，1.2λ)。背景噪聲為加性SαS 噪聲，由于其不存在有限的二階矩，噪聲的方差沒有意義，因此本文采用廣義信噪比（generation signal of noise ratio，GSNR），GSNR=。

采用均方根誤差（root mean square error，RMSE）作為算法的性能指標(biāo)，定義為：

其中K=M1或K=M-M1，Ne為蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)次數(shù)，本文所有實(shí)驗(yàn)中的Ne均為500次，pk為方位角或距離的真實(shí)值是pk第ne次仿真實(shí)驗(yàn)的估計(jì)值。

實(shí)驗(yàn)1不同廣義信噪比下性能分析

給定特征指數(shù)和快拍數(shù)分別為1.6和500，GSNR從2 dB 變化到20 dB。TS-MD，COV-MD，F(xiàn)LOC-MD和CTC-MD四種算法的性能隨廣義信噪比的變化曲線如圖2所示?？梢钥闯鰧?duì)于遠(yuǎn)近場(chǎng)定位參數(shù)估計(jì)，四種算法的均方根誤差都隨信噪比的增大合理地減小。由于在SαS噪聲條件下二階統(tǒng)計(jì)量不存在，因而TS-MD 算法和COV-MD 算法的估計(jì)性能都要低于FLOC-MD和CTC-MD算法。對(duì)于近場(chǎng)源方位角和距離的估計(jì)，由于TS-MD 算法和COV-MD 算法的估計(jì)方法完全一致，所以兩種算法的性能幾乎相同。對(duì)于遠(yuǎn)場(chǎng)源方位角的估計(jì)，雖然TS-MD算法避免了COVMD 算法中由近場(chǎng)源等效為虛擬遠(yuǎn)場(chǎng)源引起的偽峰問題，但是由于受到近場(chǎng)源定位參數(shù)估計(jì)精度的影響，TS-MD 算法的估計(jì)性能并沒有優(yōu)于COV-MD 算法。本文提出的兩種算法在低信噪比情況下的估計(jì)性能要明顯優(yōu)于COV-MD 算法和TS-MD 算法，且CTC-MD算法的性能要優(yōu)于FLOC-MD算法。

圖2 算法性能隨廣義信噪比變化曲線Fig.2 Curve of algorithm performance with GSNR

實(shí)驗(yàn)2不同特征指數(shù)下性能分析

給定GSNR 和快拍數(shù)分別為16 dB 和500，特征指數(shù)從1.0 變化到1.9，圖3 給出了四種算法的性能隨著特征指數(shù)變化的曲線。從圖中可以看出隨著特征指數(shù)增加即隨著噪聲脈沖性減弱，四種算法定位參數(shù)估計(jì)的均方根誤差在逐漸減小。在同一特征指數(shù)的脈沖噪聲條件下，特別是在強(qiáng)脈沖噪聲環(huán)境下本文所提出的兩種算法性能明顯優(yōu)于TS-MD算法和COV-MD 算法，且CTC-MD 算法的估計(jì)性能優(yōu)于FLOC-MD算法。

圖3 算法性能隨特征指數(shù)變化曲線Fig.3 Curve of algorithm performance with characteristic index

實(shí)驗(yàn)3不同快拍數(shù)下性能分析

給定GSNR 和脈沖噪聲的特征指數(shù)分別為16 dB 和1.6，快拍數(shù)從300變化到1500，圖4中給出了算法性能隨快拍數(shù)變化的曲線。從圖中可以看到四種算法的均方根誤差都隨著快拍數(shù)的增加在逐漸減小。同樣地，在同一快拍數(shù)條件下，本文所提得兩種算法性能明顯優(yōu)于TS-MD 算法和COV-MD 算法，CTC-MD算法的估計(jì)性能優(yōu)于FLOC-MD算法。

圖4 算法性能隨快拍數(shù)變化曲線Fig.4 Curve of algorithm performance with the number of snapshots

6 結(jié)論

本文提出了脈沖噪聲條件下兩種遠(yuǎn)近場(chǎng)混合源定位參數(shù)的估計(jì)算法，基于分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差的矩陣差分算法和基于壓縮變換協(xié)方差的矩陣差分算法。相較于傳統(tǒng)的基于二階統(tǒng)計(jì)量的矩陣差分算法和兩步差分算法，本文所提的這兩種算法均能抑制脈沖噪聲的干擾，有效提高了定位估計(jì)的精度。且基于壓縮變換協(xié)方差的矩陣差分算法不僅估計(jì)性能要好于基于分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差的矩陣差分算法而且算法的應(yīng)用不依賴于脈沖噪聲的先驗(yàn)信息。