立足于核心素養(yǎng)的高度解讀中考題

【摘 要】 《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》首次提出數(shù)學核心素養(yǎng)的要求，核心素養(yǎng)是在學習“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四個領(lǐng)域課程內(nèi)容的過程中逐漸形成與提高的.結(jié)合前三個領(lǐng)域知識的學習，適當引導(dǎo)學生開展綜合與實踐活動，綜合運用有關(guān)知識和方法解決問題是提高學生核心素養(yǎng)的重要途徑.在認識這種活動的基礎(chǔ)上，結(jié)合對一道中考問題的分析，提出對于開展綜合與實踐活動的教學啟示.

【關(guān)鍵詞】 核心素養(yǎng);綜合實踐;中考問題;教學啟示

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）首次提出了“核心素養(yǎng)”的概念，并把核心素養(yǎng)高度概括為三句話：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界；會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界；會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界［1］.

通過數(shù)學教學提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)已經(jīng)成為數(shù)學教學的根本目的，如何培養(yǎng)和提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)呢？開展綜合與實踐活動是學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗，提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要舉措之一.本文以“山西省2022年中考第22題”為例，談?wù)勛约旱恼J識與思考.

1 再認識綜合與實踐

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）第一次提出綜合與實踐活動，并且指出“綜合與實踐”是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動［2］.在初中階段設(shè)置該活動的目的在于幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學生綜合運用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”等知識和方法解決實際問題的能力.這種教學活動既可以在課堂上完成，也可以課內(nèi)外相結(jié)合，實際教學中每學期至少要安排一次.

《課標（2022年版）》在上面的基礎(chǔ)上，強化了對“綜合與實踐”活動的要求：

一是從“核心素養(yǎng)”的高度，提出了可操作的內(nèi)容要求［1］：

（1）在社會生活和科學技術(shù)的真實情境中，結(jié)合方程與不等式、函數(shù)、圖形的變化、圖形與坐標、抽樣與數(shù)據(jù)分析等內(nèi)容，經(jīng)歷現(xiàn)實情境數(shù)學化，探索數(shù)學關(guān)系、性質(zhì)與規(guī)律的過程，感悟如何從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，逐步形成“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng).

（2）用數(shù)學的思維方法，運用數(shù)學與其他相關(guān)學科的知識，綜合地、有邏輯地分析問題，經(jīng)歷分工合作、試驗調(diào)查、建立模型、計算反思、解決問題的過程，提升思維能力，逐步形成“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng).

（3）用數(shù)學的語言，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，經(jīng)歷用數(shù)學方法解決問題的過程，感悟科學研究的過程與方法，感受數(shù)學在與其他學科融合中所彰顯的功效，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，逐步形成“會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng).

二是在“教學建議”中明確指出了開展綜合與實踐活動的教育教學價值：“綜合與實踐領(lǐng)域的教學活動，以解決實際問題為重點，以跨學科主題學習為主，以真實問題為載體，適當采取主題活動或項目學習的方式呈現(xiàn)，通過綜合運用數(shù)學和其他學科的知識與方法解決真實問題，著力培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、實踐能力、社會擔當?shù)染C合品質(zhì).”［1］

三是增加了教學時間要求：每學期都要引導(dǎo)學生參加兩次以上的綜合實踐活動，而且特別指出每個活動三課時.

教師要落實《課標（2022年版）》對于綜合與實踐活動的要求，更好的在教學中通過開展活動提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，必須對綜合與實踐有一個全面的認識.例如對于“每個活動三課時”的問題.這個要求首先是對教材修訂者提出的：修定者在修訂與《課標（2011年版）》配套的教材時，應(yīng)對教材中“綜合與實踐”活動的課程“內(nèi)容”進行擴充、改編或重新編寫為“三課時”的學習內(nèi)容；然后要求教師在教學這樣的內(nèi)容時必須要用三個課時.

適宜學生在課外進行的綜合與實踐活動很多，如某地區(qū)環(huán)保治理方案的設(shè)計問題，居民樓的采光設(shè)計問題，城市垃圾桶的安放問題，城市公交車的發(fā)車間隔問題，碳中和問題，計算機邏輯電路問題等等，這些問題對于學生來說都是“大活動”，用時較長，一般需要包含“活動目的—活動過程—記錄數(shù)據(jù)—分析數(shù)據(jù)—應(yīng)用數(shù)據(jù)”中的幾個環(huán)節(jié)；適宜課內(nèi)進行的實踐是指“小活動”，一節(jié)課就能解決，如通過調(diào)查本班學生的視力情況，提出保護視力的建議等，課內(nèi)最常見的是綜合運用學過的知識解答一些“分步題”［3］問題.

2 案例展現(xiàn)

原題呈現(xiàn) （2022年山西省中考題第22題）

綜合與實踐

問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，將三角板的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點M，N．

猜想證明：

（1）如圖1，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；

問題解決：

（2）如圖2，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當∠B＝∠MDB時，求線段CN的長；

（3）如圖3，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當AM＝AN時，直接寫出線段AN的長．

分析與解答 （1）已知D為BC邊中點，點M是AB的中點，根據(jù)三角形中位線定理可得MD∥AC，可得∠A=∠AMD=∠MDN=90°，所以四邊形AMDN為矩形.

（2）過點N作NG⊥CD于G（如圖2），在Rt△ABC中，根據(jù)已知AB＝6，AC＝8，利用勾股定理可得BC=AB2+AC2=10.因為點D是BC的中點，所以BD=CD=5.

根據(jù)∠B＝∠MDB，∠B+∠C=90°，∠BDM+∠1=90°可得∠1=∠C，進而DN=CN，又NG⊥CD，所以DG=CG=52.不難推出Rt△ABC∽Rt△GNC，所以CGCN=ACBC，即52CN=810，所以CN=258.

（3）如圖4，連接MN，AD，過點N作HN⊥AD于H，通過證明點A，M，D，N四點共圓，可得∠ADN=∠AMN=45°.由NH⊥AD得∠ADN=∠DNH=45°，從而得到DH=HN.根據(jù)AD=CD=5得∠C=∠DAC.通過證明Rt△NHA∽Rt△BAC得到HNAH=ABAC=34，可求出AH=43HN，根據(jù)AH+HD=AD=5得到DH=HN=157，AH=207.在Rt△NHA中AN=AH2+HN2=40049+22549=257.

試題點評

本題用“綜合與實踐”作為“標題”給出，以固定一個“直角三角形”、旋轉(zhuǎn)一個“直角三角板”為背景，主要考查學生綜合運用矩形的判定、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似的判定與性質(zhì)、圓的有關(guān)知識等知識和方法解決問題的能力.

題目共分為“問題情境—猜想證明—問題解決”三個環(huán)節(jié)，屬于典型的“分步題”：

在“問題情境”環(huán)節(jié)，給出了“統(tǒng)領(lǐng)”本題的兩個條件：一個是兩直角邊確定的直角△ABC，另一個是可以旋轉(zhuǎn)的直角三角板.后面的“猜想證明—問題解決”兩個環(huán)節(jié)都是在“統(tǒng)領(lǐng)”條件下，增加新的條件時提出問題并解決問題的.

在“猜想證明”環(huán)節(jié)增加的條件是：直角三角板旋轉(zhuǎn)到特殊位置（點M為邊AB的中點）時，提出問題——試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由.這是一個猜想證明問題.

在“問題解決”有兩問：這兩問對應(yīng)直角三角板旋轉(zhuǎn)到兩個特殊位置時，求兩條對應(yīng)線段的長度.這兩個問題都屬于計算問題.

《課標（2022年版）》界定了初中階段的9大核心素養(yǎng)指標：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識.

從培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)的角度看，通過解答本題將有助于培養(yǎng)和提升下面幾個素養(yǎng)：

（1）數(shù)學推理能力

《課標（2022年版）》指出：“推理能力主要是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力.”［1］教學中加強數(shù)學推理能力的訓練有助于學生逐步養(yǎng)成重論據(jù)，合乎邏輯的思維習慣，對于形成實事求是的科學態(tài)度與理性精神也有著積極的意義.正因為如此，《課標（2022年版）》才把推理能力作為重要的數(shù)學核心素養(yǎng).

本題中的“猜想證明”環(huán)節(jié)，在學生根據(jù)題設(shè)條件“在直角三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當點M為邊AB的中點時”，“猜想”到四邊形AMDN是矩形后，要求說明理由.這個說明理由的過程就是嚴格的數(shù)學論證過程.學生通過說理過程的鍛煉，其數(shù)學推理能力不斷得到提高.

“問題解決”環(huán)節(jié)中的兩個計算問題，學生解答時“推理證明”的“比重”大于“計算”的“比重”，解決問題（2）分為三步：一是在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得到BC=AB2+AC2=10，并根據(jù)點D是BC的中點得到BD=CD=5；二是根據(jù)條件∠B=∠MDB，逐步推出∠1=∠C，直至得到DG=CG=52；三是證明Rt△ABC∽Rt△GNC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段成比例建立方程模型“52CN=810”.

解決問題（3）的過程分為三步：一是根據(jù)條件判斷出A，M，D，N四點共圓，逐步證明得出DH=HN；二是證明Rt△BAC∽Rt△NHA，并得到AH=207；三是在Rt△NHA中利用勾股定理AN=AH2+HN2=257.

從解答這兩個計算題的過程可以看出，每一個問題的解答都分為三步，在這三步中都有推理的過程，推理的“分量”大于計算的“分量”.學生解答的困難就在于“推理”.這兩個環(huán)節(jié)問題的解答有助于培養(yǎng)和提高學生推理能力.

這就要求我們在教學中，要重視對學生推理能力的訓練，把培養(yǎng)學生的推理能力放在教學的重要位置.克服以往在培養(yǎng)推理能力方面主要依靠“圖形與幾何”領(lǐng)域內(nèi)容的做法，充分利用《課標（2022年版）》界定的四個領(lǐng)域的課程內(nèi)容，采用“幾何推理”為主，“代數(shù)推理”“統(tǒng)計推理”為輔的訓練模式.根據(jù)具體教學內(nèi)容精心設(shè)計教學過程，引導(dǎo)學生在學習過程中，不斷提高自己的數(shù)學推理能力.

（2）數(shù)學運算能力

運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力［1］.運算能力是在不斷地運用數(shù)學概念、法則、公式，經(jīng)過一定數(shù)量的練習中而逐步形成和發(fā)展的.教學中培養(yǎng)學生的運算能力有助于學生理解算法與算理之間的關(guān)系，從而選擇合理簡潔的運算策略解決問題.運算能力是學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分，在數(shù)學教學中，加強對學生運算能力的培養(yǎng)有助于形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學態(tài)度.

“問題解決”環(huán)節(jié)中的兩個求線段長度的問題，雖然證明的成份多于計算的成份，但是問題的“主題”仍然是計算，這樣的考題有助于提高學生的數(shù)學運算能力.

（3）語言表達能力

數(shù)學教學要培養(yǎng)學生用數(shù)學的“眼光”觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的“思維”思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的“語言”描述現(xiàn)實世界的能力，這是社會公民的一種必備素養(yǎng).

本題中第（1）問要求學生“判斷出四邊形AMDN的形狀后，并說明理由”考查的就是學生的語言表達能力；問題（2）中“求線段CN的長度”，則需要學生完整的寫出解題過程.這樣的問題，都需要學生具有較強的語言表達能力才能解答.

在數(shù)學教學中應(yīng)結(jié)合具體的教學內(nèi)容，適當?shù)募訌娪柧殞W生的語言表達能力，只有這樣才能逐漸形成學生“會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng).

（4）創(chuàng)新意識

創(chuàng)新意識是《課標（2022年版）》提出的重要素養(yǎng)，在數(shù)學教學中，通過具體的實例，運用歸納和類比發(fā)現(xiàn)數(shù)學關(guān)系與規(guī)律，提出數(shù)學命題與猜想，并加以驗證；培養(yǎng)學生勇于探索一些開放性的、非常規(guī)的實際問題與數(shù)學問題都是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的常用做法.

本題的（2）（3）兩個計算題，最后都是通過證明相似三角形，得到成比例線段，從而求出線段的長度.對于問題（2）可以考慮在Rt△ABC和Rt△GNC中，分別利用∠C的余弦值是個定值，得到成比例線段；問題（3）可以考慮在Rt△BAC和Rt△NHA中，∠C=∠NHA，從而根據(jù)∠C與∠NHA的正切是定值，得到比例線段.這種“一題多解”“一題多證”的訓練對于學生創(chuàng)新意識的形成具有積極的意義，同時對于學生形成獨立思考、敢于質(zhì)疑的科學態(tài)度與理性精神也是非常有益的.

另外，學生通過解答本題還能進一步感悟到數(shù)形結(jié)合思想和方程思想，這些都是學生核心素養(yǎng)中不可或缺的知識.

3 教學啟示

綜合與實踐體現(xiàn)在“綜合”與“實踐”兩個方面：“綜合”主要是對教師設(shè)計“綜合與實踐”活動的要求，在設(shè)計這樣的問題時應(yīng)注重數(shù)學與生活實際、數(shù)學與其他學科、數(shù)學內(nèi)部知識的聯(lián)系和綜合應(yīng)用.適用“綜合與實踐”的“問題”應(yīng)具有接受性、障礙性、探究性、情境性、開放性等特征中的兩個以上特征.“實踐”是指學生在參與綜合與實踐活動時，要求學生自主參與、全過程參與，在活動時做到“腦、手、口”并用.

為引導(dǎo)學生更好的開展“綜合與實踐”活動，教師在日常教學中應(yīng)注意以下三方面.3.1 加強四基教學

《課標（2022年版）》）在課程“總目標”中提出“四基”“四能”的最低要求，學生通過數(shù)學學習，必須掌握數(shù)學的基礎(chǔ)知識，逐步形成數(shù)學基本技能，感悟數(shù)學的基本思想，積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗.

學生只有掌握了扎實的數(shù)學基礎(chǔ)知識，才能有效的參與“綜合與實踐”活動，即在探索真實情境中所蘊含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運用數(shù)學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題.3.2 培養(yǎng)學生的閱讀理解能力

“綜合與實踐”活動問題的表述一般比較長，解答這樣的問題需要學生具備比較強的閱讀理解能力、獲取信息的能力.這樣的問題一般由兩大部分組成：一是閱讀材料；二是提出讓學生解答的問題.解答問題需要從閱讀材料中獲取有價值的信息，給出信息的主要方式有：（1）語言文字型；（2）數(shù)陣信息型；（3）表格信息型；（4）圖形（象）型；（5）混合型.

學生只有從上述各種類型的“材料”中獲取信息，并且還能對三種數(shù)學語言（文字語言、符號語言、圖形語言）準確無誤地進行相互轉(zhuǎn)化，才能順利地開展“綜合與實踐”活動.3.3 引導(dǎo)學生開展數(shù)學探究活動

《課標（2022年版）》在“課程理念”中指出“學生的學習應(yīng)當是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數(shù)學的重要方式”［1］，無論使用哪種具體的學習方式，都離不開學生的思考與探究活動.“綜合與實踐”活動往往需要學生通過數(shù)學探究才能完成.數(shù)學探究是指在教師的啟發(fā)誘導(dǎo)下，以學生獨立自主學習和合作討論為前提，以解決問題為探究內(nèi)容，以學生能主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題為目的的學習活動［4］.

例如，數(shù)學概念的教學過程、數(shù)學命題的發(fā)現(xiàn)過程、數(shù)學命題的證明過程以及問題解決的過程都離不開數(shù)學探究活動.在有關(guān)這些知識的教學過程中，教師要結(jié)合具體內(nèi)容，設(shè)計問題系列，引導(dǎo)學生在探究的過程中完成學習，時間久了，學生的數(shù)學探究能力得到了提高，這是解答綜合與實踐活動的“資本”.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.5.

［2］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.3.

［3］李樹臣、金文衛(wèi).加強分步題的教學研究，提高學生數(shù)學綜合能力［J］.中學數(shù)學雜志，2019（02）：8-11.

［4］李樹臣.正確認識探究活動，精心設(shè)計探究問題——探究活動的基本形式與探究性問題的主要類型［J］.中學數(shù)學雜志，2014（10）：4-7.

作者簡介 李樹臣（1962—），男，山東沂南人，中學正高級教師;全國義務(wù)教育初中數(shù)學教材（青島版）核心作者、中國人民大學復(fù)印報刊資料《初中數(shù)學教與學》編委、湖北大學《中學數(shù)學》特約編委、《山東教育》特約記者.