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    聯(lián)系視角下的解題教學應突出的四個關注點

    2022-12-23 13:39:48楊燦權
    中學數(shù)學雜志(初中版) 2022年6期
    關鍵詞:育人價值解題教學聯(lián)系

    【摘 要】 聯(lián)系視角下的解題教學應突出以下四個關注點:一是關注問題之間的關聯(lián),引導學生分門別類,整體研究;二是關注問題解決的方向,引導學生多元表征,聯(lián)系化歸;三是關注問題背后的立意,引導學生要想得多,要站得高;四是關注解題教學的價值,引導學生體會問題解決的一般規(guī)律與為人處事的聯(lián)系.

    【關鍵詞】 聯(lián)系;解題教學;育人價值

    “聯(lián)系”是深度學習的一個顯著特征,因此好的解題教學應該著力于讓學生學會主動“聯(lián)系”.首先,學會聯(lián)系地看問題.通過建立問題與問題、解法與解法的關聯(lián),把相關的、類似的問題放在一起,從一個整體的視角出發(fā)進行研究;其次,學會聯(lián)系地想問題.通過將條件、結論進行多元表征,嘗試化歸,去溝通問題與解法之間的聯(lián)系,明晰問題解決的方向;然后,學會聯(lián)系地研究問題.通過將問題與經(jīng)典名題、科學前沿、歷史文化關聯(lián),挖掘問題背后的“故事”,從高觀點看清問題背后的本質(zhì)和立意;最后,將問題解決聯(lián)系到人生思考.通過學生系列化的解題活動與體驗,站在育人的角度,凸顯教題教學在“人”的成長方面的價值.

    1 理解問題之間的關聯(lián)

    在疲于應付“題海戰(zhàn)術”的學生們的眼中,數(shù)學題總是以“個體”的姿態(tài)出現(xiàn),一個個題目往往都是“孤立”的.于是,他們就深陷于“題目越做越多”的窘境.其實,數(shù)學題的“群體”現(xiàn)象十分普遍,關鍵是我們要學會分門別類,找到同類題或者相關題,將它們關聯(lián)起來,從整體上進行研究.

    1.1 在形式上尋求統(tǒng)一

    題1 二次函數(shù)y=(x-1)(x-m+1)(m是常數(shù)),當-2≤x≤0時,y>0,則m的取值范圍為(? ).

    A.m<0? ???B.m<1C.0<m<1? D.m>1

    題2 已知函數(shù)y1=x2-(m+2)x+2m+3,y2=nx+k-2n(m,n,k為常數(shù),且n≠0).

    若函數(shù)y1,y2的圖象始終經(jīng)過同一個定點M.

    ①求點M的坐標和k的值;

    ②若m≤2,當-1≤x≤2時,總有y1≤y2,求m+n的取值范圍.

    在題2中,易知k=3.將其代入、變形、因式分解后,得y1-y2=(x-m-n)(x-2)≤0.于是問題轉化為:當-1≤x≤2時,(x-m-n)(x-2)≤0,求m+n的取值范圍.再將m+n看成整體進行換元,發(fā)現(xiàn)兩道試題結構幾乎一致.

    1.2 在解法上達成一致

    題3 (2020年杭州)如圖1,已知AC,BD為圓O兩條直徑,連接AB,BC,OE⊥AB于點E,點F是半徑OC中點,連接EF.

    連接BF,DF,設OB與EF交于點P,求證:PE=PF.

    題4 (2020年上海)如圖2,△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圓,BO的延長線交邊AC于點D.當AD=2,CD=3時,求邊BC的長.

    在題3中,欲證PE=PF,即證PE∶PF=1∶1.在題4中,連結AO并延長交BC于點E,要求BC的長,關鍵在于求出AO∶OE,然后根據(jù)勾股定理求解.也就是說,兩道試題都是在求“一條線段上的比例”.通過圖形簡化,可分別得到圖3和圖4.雖然兩道中考題形式迥異,看似毫不相關,但最后都能化歸為同一個基本圖形.

    好的解題教學就是要教會學生多角度尋找問題之間的關聯(lián),將題目分門別類,整體研究,這樣才能使得效益最大化.

    2 明晰問題解決的方向

    解題教學應著眼于啟發(fā)、鍛煉學生的思維,教會學生分析問題.學生只有提升了分析解決問題的能力,才能真正實現(xiàn)教育之“教是為了不教”的根本目的.

    2.1 多元表征

    理解問題是明晰問題解決方向的前提,而關注問題的多元表征是理解問題的要點.數(shù)學多元表征是指數(shù)學學習對象的信息在心理活動中的多元化的表現(xiàn)和不同的記載方式.所謂理解就是要從不同的角度對同一個數(shù)學對象進行多元表征,建立知識之間的聯(lián)系.

    題5 已知二次函數(shù)y=-x2+3mx-3n圖象與x軸沒有交點,則(? ).

    A.2m+n>43?? B.2m+n<43? C.2m-n<43?? D.2m-n>43

    因為圖象與x軸沒有交點,且開口向下,所以拋物線始終位于x軸的下方.對應著這樣一個數(shù)學對象,能產(chǎn)生兩種不同的表征方式:①9m2-12n<0,化簡得3m2<4n;②-x2+3mx-3n<0恒成立.不同的表征對應著不同的思考方向.

    表征①3m2<4n,聚焦于m,n之間的已知關系.

    思路1(特殊值):當n=1時,m可以取1,所以B和D排除;再取m=-1,則A也排除.故只能選擇C.

    思路2:2m-n<2m-34m2=-34(m-43)2+43≤43,故有2m-n<43.故選C.

    表征②-x2+3mx-3n<0恒成立,聚焦于m,n最終的表達式.

    思路3:將x=2代入,有-4+6m-3n<0,化簡得2m-n<43.故選C.

    思路4:將表征②“-x2+3mx-3n<0恒成立”變形,得到“mx-n<x23恒成立”,即直線永遠在拋物線下方.而2m-n的幾何意義就是直線y=mx-n在x=2時的函數(shù)值.根據(jù)圖象,易知2m-n<43.

    隨著數(shù)學學習的不斷深入,對同一數(shù)學對象所建立的聯(lián)系網(wǎng)絡也在逐漸擴大.到了高中,學生學習了“線性規(guī)劃”之后,對表征①又會有新的理解.

    事實上,所謂入口寬、多解法的“好問題”往往就是因為它的條件或結論有多種表征方式.學生多元表征能力的高低將直接影響其解題水平的高低.2.2 嘗試化歸

    明晰問題解決方向的總策略是嘗試化歸,即設法把我們面臨的復雜的、陌生的問題化歸為一個或者幾個簡單的、熟悉的問題.除了將條件、結論進行多元表征,等價變形外,常見的還有“從特殊到一般”,以及“分而治之”等方式.

    題6 如圖5,正方形ABCD的邊長為2,以D為圓心,DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O相交于點F,連接CF并延長交AB于點E.則EF·FC=.

    解決題6的關鍵顯然在于確定點F的兩段圓弧上.當我們無法一下子明晰解題的方向時,可以嘗試通過添線補形對復雜問題分而治之,去尋找各個條件的“使用價值”.

    ①聚焦于半圓BFC.

    如圖6,因為BC為直徑,所以∠BFC=90°,而∠EBC=90°,根據(jù)射影定理,得EF·FC=BF2,于是只需求BF.又因為BC=2,所以BF2+FC2=4.換言之,也可以求FC.而線段CF是半圓BFC的弦,圓中弦的長度怎么求?聯(lián)想“垂徑定理”,于是過點O作OM⊥CF于點M.

    ②聚焦于圓弧AC.

    另一方面,如圖7,CF也是⊙D的弦.又回到求弦長的問題上,再次聯(lián)想“垂徑定理”,過點D作DN⊥CF于點N.

    最后將兩條輔助線合二為一,如圖8所示.因為兩圓相交,根據(jù)對稱性,不難發(fā)現(xiàn)點M和點N重合.此時,又能在Rt△OCD中使用射影定理,從而求得所有線段的長度.

    聚焦于兩個圓,得到兩個基本圖形,分兩條思路進行思考,雖然在每一個子問題中都沒有完全地解決問題,但將它們聯(lián)系在一起時,輔助線就自然生成了.當學生分析問題沒有方向時,不妨引導他們嘗試這種“化繁為簡,先分后總”的方法,逐漸把分析過程集成化、自動化,提升數(shù)學素養(yǎng).

    3 看清問題背后的立意

    要讓教師也從“題?!敝薪饷摮鰜?,就必須拓廣教師的知識領域,提升教師的專業(yè)素養(yǎng).克萊因認為,基礎數(shù)學的教師應該站在更高的視角來審視、理解初等數(shù)學問題,只有觀點高了,事物才能顯得明了而簡單.觀點越高,事物越顯得簡單[1].解題教學要透過數(shù)學問題,看清題目的背景和立意,與經(jīng)典問題、科學前沿、歷史文化建立更廣泛的聯(lián)系,講好我們的“數(shù)學故事”.

    3.1 只有想得多,才能看得透

    題7 如圖9,點B,C在⊙A上,F(xiàn)是半徑AB的中點,連結CF交⊙A于點E,弦CD⊥AB,連結DE交AB的延長線于點G,證明:AB=BG.若把點B固定,則點C可看成一動點,點D和點E隨之運動,但是無論怎么動,DE與AB的交點G又是不變的.解完題之后,教師要和學生一起回過頭來思考“為什么”,促使學生進行深度探究.若結論成立,不難發(fā)現(xiàn)△ACF∽△AGC,所以CF∶CG=AC∶AG=1∶2,是定值,即點C到兩定點F,G的距離之比為常數(shù),所以點C的軌跡就是阿波羅尼斯圓.

    對于學生而言,他們不需要掌握這個概念,但這種追求真理的探究精神能大大激發(fā)學生主動學習的興趣.多想想,究竟是什么條件在起作用,那根“牽著牛鼻子”的繩子在哪里.長此以往,學生解題的方向就明確了,主動學習的能力也提升了.

    3.2 只有站得高,才能看得遠

    題8 下列整數(shù)可以寫成三個非0整數(shù)的立方和:45=;2=.

    2019年9月,人類首次將42寫成3個整數(shù)的立方和,至此得到下面的結論:除了9n±4型自然數(shù)外,所有100以內(nèi)的自然數(shù)都能寫成三個整數(shù)的立方和.這是一個古老數(shù)論問題的最新進展.十九世紀的數(shù)學家提出:如果給定整數(shù)k,是否存在整數(shù)x,y,z,滿足丟番圖方程:x3+y3+z3=k.作為杭州市教師解題比賽的試題,命題人想表達的應該不僅僅是如何解決這個問題,而是想開闊初中數(shù)學教師的眼界,不能局限于課本中的內(nèi)容,要向數(shù)學發(fā)展的最前沿靠近,這樣才能站在更高的角度,引導學生走向數(shù)學的巔峰.

    題目是需要研究的,教師解題研究能力的高低直接影響著學生對問題理解的深度.凡事多問幾個為什么,只有想得多,才能看得透問題背后的本質(zhì);只有站得高,才能看得到問題背后的立意.

    4 凸顯解題教學的價值

    愛因斯坦說:“教育就是當一個人把在學校所學的全都忘光之后剩下的東西.”此時,剩下的就是“為人處事”的方式方法了[2].當我們把解題教學與做人做事的方式聯(lián)系在一起思考時,不免會發(fā)現(xiàn)解題中所使用的基本思想、基本策略,同樣也是我們“為人處事”之道,從而真正凸顯出解題教學的價值.

    4.1 從未知到已知,熟悉了,就好辦了

    所謂難題,很多時候只是因為它很陌生.腦科學的研究告訴我們?nèi)祟愖钕矚g的就是通過發(fā)現(xiàn)事情的相似性建立起聯(lián)系,然后用相似的方法做不同的事情.面對一個陌生的數(shù)學題,就要嘗試去從中找到熟悉的結構,盡可能調(diào)取已有的知識、經(jīng)驗與方法,進行多元表征,嘗試等價變形,進行化歸等等.從未知到已知,熟悉了,就好辦了.這就叫“關聯(lián)”.

    4.2 變繁雜為簡單,能簡化一點,就好了

    遇到復雜的、困難的問題,就要分步、分類地去完成.從簡單的情形入手,從特殊的情形入手,把問題轉化得明白一點,簡單一點,往往是解決問題的關鍵.回想一下,我們對題2進行等式變形、因式分解、整體換元等簡化操作之后,竟然與題1一模一樣;在對題3和題4的圖形進行簡化后,也得到了同樣的基本圖形;當然還有題6輔助線的獲得也并非一蹴而就,而是對問題的逐層剝離,一步步簡化而來.變繁雜為簡單,能簡化一點,就好了.這就叫“化歸”.

    4.3 由雞智到機智,記住那只雞的教訓

    《怎樣解題》的最后講了一個心理學試驗:一只被困在三面圍有籬笆的場地里的餓雞,見到籬笆外的食物就拼命鉆籬笆但又不得,直至筋疲力盡.波利亞用這只餓雞在提醒我們:解題時切勿鉆牛角尖,別像那只雞一樣“執(zhí)著”.

    無論是理解問題之間的關聯(lián)、明晰問題解決的方向,還是看清問題背后的立意,都在倡導我們要多元地、聯(lián)系地、整體地看待問題.不要拘泥于一條思路、一種方法.當一條思路、一種方法遇到較大阻撓時,應立即改換門庭,另尋它路.應相信“條條大路通羅馬”.由雞智到機智,要記住那只雞的教訓.這叫做“規(guī)劃”.

    參考文獻

    [1]菲利克斯·克萊因.高觀點下的初等數(shù)學(第一卷)[M].舒湘芹,陳義章, 楊欽樑,譯.上海:復旦大學出版社,2008.

    [2]蘇建強.幾何解題教學應突出的三個關注點[J].中學數(shù)學教學參考(中旬),2019(04):48-51.

    作者簡介 楊燦權(1990—),男,浙江杭州人,中學一級教師;省級工作室學科帶頭人,杭州市初中數(shù)學核心組導師,多次開設市級公開課和講座,獲得市優(yōu)質(zhì)課、解題、說題、論文、案例等多個一等獎;主要研究中學數(shù)學教育,發(fā)表論文多篇.

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