全平面上關(guān)聯(lián)指數(shù)函數(shù)的半離散Hilbert型不等式

有名輝

（浙江機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室，浙江 杭州 310053）

0 引言

20世紀(jì)初，德國哥廷根大學(xué)著名數(shù)學(xué)家Hilbert在積分方程的講座中提出了一個二重級數(shù)不等式：若am，bn>0，m，n∈ N+，且a={am} ∈l2，b={bn} ∈l2，則

其中，π是使得式（1）成立的最佳常數(shù)因子。1911年，Schur證明了式（1）的積分形式：

其中f，g≥ 0，并且f，g∈L2(R+)，π 是式（2）成立的最佳常數(shù)因子。

通常，不等式（1）和（2）被稱為 Hilbert不等式［1］。最近20余年間，數(shù)學(xué)研究者們通過引進(jìn)參數(shù)，利用權(quán)系數(shù)的方法，建立了式（1）和式（2）的諸多推廣、加強(qiáng)、逆向、更精確以及高維形式［2-9］。與此同時，通過構(gòu)建新的核函數(shù)，研究者們還建立了大量新的Hilbert型不等式，如文獻(xiàn)［10］證明了

其中，μ(x)=|x|-(4n+1)。其他一些與雙曲函數(shù)有關(guān)的Hilbert型不等式可參見文獻(xiàn)［12-14］。

需要指出，Hilbert型不等式除了離散型和積分型外，有時還以半離散型出現(xiàn)［15-16］。通常，離散型和半離散型Hilbert型不等式建立在第一象限，而全平面上的結(jié)果甚少出現(xiàn)。另外，對于一些非齊次的核函數(shù)，若要建立離散型的結(jié)果，由于最佳常數(shù)的構(gòu)造性證明不易實(shí)現(xiàn)［9］，研究者們往往考慮其對應(yīng)的非齊次半離散形式。因此，本文將探究式（4）對應(yīng)的半離散形式，建立如下Hilbert型不等式：

其中，Z0=Z{0}，m∈N，Em為Euler數(shù)，μ(x)=|x|-1，vn=|n|-1，(x)=|x|(2m-1)/(2m+3)，=|n|(2m-1)/(2m+3)。

1 引理

2 主要結(jié)果及應(yīng)用

3 結(jié)語

通過構(gòu)造一個與指數(shù)函數(shù)相關(guān)聯(lián)的核函數(shù)，并設(shè)置關(guān)鍵條件ad=bc及γ、λ的取值范圍以保證核函數(shù)的單調(diào)性，從而建立一個全平面上的半離散型Hilbert型不等式，以拓展涉及雙曲函數(shù)的Hilbert型不等式的相關(guān)研究成果。全平面上半離散型Hilbert型不等式在以往的研究文獻(xiàn)中出現(xiàn)甚少，本文的研究成果具有一定的理論創(chuàng)新，對其他一些類似的研究應(yīng)有借鑒意義。