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    “隨機數(shù)表法”的學生錯誤認知與思維矯正*

    2022-12-22 02:13:02郝結(jié)紅
    中學數(shù)學雜志 2022年12期
    關鍵詞:錯誤概念數(shù)字

    郝結(jié)紅

    (南京師范大學附屬揚子中學 210048)

    趙雨林

    (揚州大學數(shù)學科學學院 225000)

    蘇教版高中數(shù)學教科書必修二“簡單隨機抽樣”中要求學生掌握兩種簡單隨機抽樣的方法:抽簽法和隨機數(shù)表法.學生此前未曾接觸過“隨機數(shù)表”的概念,并且在后續(xù)的章節(jié)學習中也很少涉及,因此學生對此知識的認知有一定的困難.為此,筆者在教學過程中,提前準備了一個盒子和10個小球,設計通過抽簽法與全班學生現(xiàn)場制作“隨機數(shù)表”.目的是讓學生體驗隨機數(shù)表的生成過程,激發(fā)學生的學習興趣,加深對隨機數(shù)表的理解.

    1 意料之外——概念混淆現(xiàn)象

    課堂上每次邀請兩位學生上臺演示,一位負責摸球,另一位負責記錄數(shù)字,如此重復,很快一張“隨機數(shù)表”就制作好了.學生踴躍參與,課堂氣氛活躍,但出乎意料的是學生產(chǎn)生了三種錯誤認知.

    錯誤1“小球放回”與“小球不放回”相混淆

    由于隨機數(shù)表中每個位置上的數(shù)字都是在 0~9十個數(shù)字中隨機產(chǎn)生的,因此每個位置上的數(shù)字都可以通過抽簽法產(chǎn)生.具體操作為:用十個大小、形狀完全相同的乒乓球分別寫上0~9這十個數(shù)字,放入一個箱中并攪拌均勻,從箱中隨機抽取一個球,記下球上的數(shù)字,完成第一次抽簽;然后將小球放回箱中,繼續(xù)第二次抽簽……如此重復下去即可得到一張隨機數(shù)表.

    學生的錯誤做法:從箱中抽取一個球并記下第一個數(shù)字后,沒有將小球放回箱中就開始第二次抽簽.不少學生認為,抽過的球是不能放回箱中繼續(xù)再供下次抽取的,這是原先抽簽法步驟中明確要求的.

    錯誤2“制作隨機數(shù)表”與“隨機數(shù)表法”相混淆

    師生一起制作隨機數(shù)表的過程讓學生感受隨機數(shù)表是由隨機數(shù)組成的,進一步地認識到隨機數(shù)表法滿足簡單隨機抽樣的四個特點,是簡單隨機抽樣的一種方法.

    學生的錯誤觀點:不少學生認為“制表”的過程就是隨機數(shù)表法“查表”的過程,將“制表”和“查表”相混淆.

    錯誤3“小球放回等可能”與“小球不放回等可能”相混淆

    上述三種錯誤是學生在課堂學習時產(chǎn)生的,作為教師必須重視,不能潦草解釋或直接忽視,要真正地答疑解惑,幫助學生跨過認知障礙,感受數(shù)學的理性之美.

    2 情理之中——錯誤認知形成原因

    2.1 過程性錯誤與合理性錯誤

    李善良博士將數(shù)學概念學習中的錯誤分為兩種:一為過程性錯誤,二為“合理性”錯誤.前者指數(shù)學概念形成過程中,從實例到意象、意象到定義、聯(lián)系到網(wǎng)絡、運用到體系、批判到創(chuàng)新的各個環(huán)節(jié)中,出現(xiàn)錯誤的或不完全的反應與操作.后者主要指概念學習中階段、水平的轉(zhuǎn)變,不同的個性傾向等所帶來的概念學習的障礙而造成的錯誤[1].相對而言,過程性錯誤具有短暫性、外顯性,是可以預防與避免的.而“合理性”錯誤則具有隱蔽性、長期性,帶有合理性、規(guī)律性、不可避免性.分析與區(qū)別這兩大類錯誤,有助于透徹認識概念學習,有助于教學指導與預防矯正.

    對于“錯誤1”,利用抽簽法制作隨機數(shù)表的過程中,受到之前學習抽簽法“不放回”的影響,學生認為既然用了抽簽法,就不能再放回,卻沒有考慮到隨機數(shù)表中的每個數(shù)字都是在0~9十個數(shù)字中隨機產(chǎn)生的,學生在兩者之間建立了不恰當?shù)穆?lián)系,混淆了抽簽法和運用抽簽法制作隨機數(shù)表.用概念原型等代替數(shù)學概念、分類不合理、抽象不完善、概念定義與概念相脫離、概念間建立不恰當?shù)穆?lián)系等錯誤,屬于過程性錯誤.對于“錯誤2”,學生之所以會混淆“制表”和“查表”,是因為他們誤認為隨機數(shù)表的制作過程是隨機數(shù)表法的過程,同樣屬于過程性錯誤.對于“錯誤3”,學生根據(jù)以往學習的概率知識認為放回是等可能、不放回不是等可能,是用原來的思維審視新的概念,按過去的經(jīng)驗、結(jié)論、方法對概念作看似合理的推廣或限制,屬于“合理性”錯誤.

    2.2 學生觀點與專家觀點

    數(shù)學概念的形成離不開恰當?shù)慕虒W方式.鮑德納認為,教師以事先設計好的教學模式來進行教學或許能教得很好,但是卻不見得能使學生學到東西,這是因為教學內(nèi)容所呈現(xiàn)的順序是基于專家的觀點,而不是“學生的觀點”[2].所以我們需要考慮:對于每個數(shù)學概念,學生原有的觀點是什么?學生的觀點與專家的觀點有哪些差異?教學中如何去協(xié)調(diào)這些差異?

    教師的教學思想、教學行為,學生原有知識經(jīng)驗和情景的意義建構(gòu)是否被教師考慮都會不同程度地影響學生的學習效果.以教為主的教學側(cè)重行為目標,較少考慮學生,合理性數(shù)學錯誤便較易且較多地出現(xiàn),如“錯誤3”;以學為主的教學則重視學生的知識經(jīng)驗和情景的意義建構(gòu),過程性的數(shù)學錯誤相對較多,如“錯誤1”和“錯誤2”都是學生在課堂摸球?qū)嶒炛凶匀划a(chǎn)生的.

    2.3 數(shù)學元認知與元認知監(jiān)控

    數(shù)學學習心理學認為,數(shù)學元認知指的是人們對數(shù)學認知活動的自我認識和自我控制.數(shù)學元認知在人的數(shù)學思維活動中具有統(tǒng)攝作用,是思維活動的核心成分.[3]不同學生個體的認知活動雖彼此有差別,但元認知的監(jiān)控、調(diào)節(jié)是各項學習活動所具有的共同特征,也是學習活動是否有效的決定因素之一.正是數(shù)學元認知的存在,才使得數(shù)學認知結(jié)構(gòu)具有動機功能、調(diào)控功能、選擇功能、解釋功能、建構(gòu)功能、提取功能、遷移功能、生成功能、轉(zhuǎn)化功能、激活功能等,從而防止錯誤認知結(jié)構(gòu)納入.

    “錯誤1”的產(chǎn)生是由于學生發(fā)生了“概念打架”,剛學過抽簽法后又用抽簽法來制表,但對于隨機數(shù)表是什么還沒有真正搞清楚,所以產(chǎn)生了錯誤認識.“錯誤2”是學生先入為主,因為剛學完隨機數(shù)表的概念后就制表,學生便混淆了“制表”與“查表”.這兩個錯誤認知可通過教學環(huán)節(jié)的調(diào)整來解決,把隨機數(shù)表的介紹和通過例題講解如何使用隨機數(shù)表的教學環(huán)節(jié)放在制作隨機數(shù)表之前,這樣可以避免“概念打架”與“先入為主”的兩個錯誤認知.“錯誤3”產(chǎn)生的原因是由于學生沒有學習過條件概率,但教師依然可以通過舉例講解和畫樹狀圖來幫助其克服認知障礙.

    3 當務之急——學生思維矯正策略

    基于以上認知錯誤的歸因分析,教師在第二個班級授課時改進教學,從思維矯正的角度來調(diào)整學生思維活動形式,收到較好的教學效果.

    3.1 開展小組討論,引發(fā)認知沖突

    建構(gòu)主義認識論認為,認識、學習的過程不是簡單地輸入和儲存信息的過程,而是主動地將原有知識、經(jīng)驗和新信息進行比較、分析、判斷、選擇和重組.[4]由于學生的錯誤概念暴露的機會比較少,因此發(fā)現(xiàn)得越及時越好.開展小組合作學習,組內(nèi)同伴相互交流時可以將隱蔽的錯誤概念顯露出來,當學生發(fā)現(xiàn)自己的認知與別人不同時就會產(chǎn)生認知沖突,引發(fā)思考后經(jīng)過順應過程形成正確的認知.因此筆者用小組合作學習方式矯正學生相異構(gòu)想.

    教學改進1在制作隨機數(shù)表前,讓學生討論如何動手制作一張隨機數(shù)表.

    思維活動 (對“錯誤1”的回應)讓學生仔細思考,如果“不放回”地抽取,那會導致什么樣的結(jié)果?是不是這個隨機數(shù)表只有十個數(shù)字組成?這符合實際嗎?

    從隨機數(shù)表的定義來看,表中任一位置出現(xiàn)任一數(shù)字的概率相同,且不同位置的數(shù)字之間是獨立的.也就是說表中的每個數(shù)字是在0~9十個數(shù)字中隨機產(chǎn)生的,那么當我們用抽簽法確定了第一個位置上的隨機數(shù)時,也就代表第一個位置上隨機數(shù)抽取完成了,實際上就是第一次抽簽完成,接下來進行第二次抽簽來確定第二個位置上的隨機數(shù).

    3.2 調(diào)整教學順序,促進同化順應

    建構(gòu)的過程是同化和順應,當新知識與原有知識結(jié)構(gòu)和思維方式相符時就被同化,否則就會被排斥,當然也可能經(jīng)修正、重組后再被吸收.由皮亞杰的認知發(fā)展論可知,同化是引起認知結(jié)構(gòu)量的變化,而順應是引起認知結(jié)構(gòu)質(zhì)的變化,順應的難度遠大于同化.[4]教材通常都是按照知識之間的邏輯關系編排的,教師的任務是引導學生把這種邏輯關系清晰地表達出來.既然同化是先前知識對新學知識的作用,順應是新學知識對原有認知結(jié)構(gòu)的改造,那么厘清知識的生成順序就顯得非常重要,因為“最鄰近”的知識最利于同化,有序的知識利于形成結(jié)構(gòu).

    教學改進2調(diào)整教學順序,把制作隨機數(shù)表的過程放在隨機數(shù)表法之后,主次分明.

    思維活動 (對“錯誤2”的回應)隨機數(shù)表除了可以用抽簽法來制作,還可以通過計算機生成,教材附錄中就是計算機生成的隨機數(shù)表.一般情況下,我們只要學會利用隨機數(shù)表進行抽樣即可.

    課堂上再附加一道例題,并利用教材上的隨機數(shù)表讓學生體驗用隨機數(shù)表抽取樣本的方法.在完成隨機數(shù)表法項目任務之后,再呈現(xiàn)隨機數(shù)表的制作過程,進而強化學生對隨機數(shù)表的認識.

    3.3 了解已有經(jīng)驗,實現(xiàn)概念轉(zhuǎn)變

    教師了解學生的知識現(xiàn)狀、對教育背景的知覺情況以及錯誤概念的形成過程,是改進學習的關鍵之一.只有這樣,才能為制訂相應的矯正策略提供目標,也為最終達成矯正目標提供可能.因此,必須采取行之有效的誘導方法,使學生顯露自己的思維過程和知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu).

    教學改進3增加一個課后思考題,激發(fā)學習興趣.

    思維活動 (對“錯誤3”的回應)為了使問題能解釋得清楚,學生學習條件概率后再講會方便得多.因為抽簽法是公平的,是一個常識,大部分學生都是知道而且認可的.因此向?qū)W生提供一道課后思考題:有一個抽獎活動,抽箱里有十個號簽,分別是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.只有一個號簽是中獎號碼,小紅、小剛和小明三個人依次抽獎,請分別計算三人中獎的概率.

    4 言下之意——善待錯誤重在理解

    教學是一門遺憾的藝術(shù),課堂就是犯錯的地方.發(fā)生上述認知錯誤反映出學生有思考精神,也有質(zhì)疑意識.作為教師,既要鼓勵學生積極思考問題和發(fā)現(xiàn)問題,還要和學生一起解決問題,真正實現(xiàn)善待錯誤、包容錯誤、珍視錯誤,化錯誤為資源,從錯誤中學習,在學習中悟道.教師必須理解數(shù)學、理解學生、理解教學.這樣,才能充分把握知識的發(fā)生發(fā)展過程、重點、難點和關鍵,才能抓住內(nèi)容的核心,才能設置有利于學生理解知識的教學主線,才能在教學中提出具有啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性的問題,才能有針對性地有效指導學生學習數(shù)學,最終實現(xiàn)提高數(shù)學素養(yǎng)、發(fā)展思維能力、培育理性精神的目標.

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