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    總體極小向后擾動(dòng)塊方法求解多右端對(duì)稱(chēng)線性方程組

    2022-12-22 07:25:24朱景福李欣孟亞輝
    關(guān)鍵詞:線性方程組范數(shù)方程組

    朱景福,李欣,孟亞輝

    (廣東石油化工學(xué)院理學(xué)院,茂名 525000)

    在理論研究和工程應(yīng)用中,比如控制理論、工程振動(dòng)反問(wèn)題、結(jié)構(gòu)力學(xué)等許多領(lǐng)域的應(yīng)用中經(jīng)常遇到求解多右端對(duì)稱(chēng)項(xiàng)線性方程組

    其中A?Rn×n是非奇異對(duì)稱(chēng)矩陣,X,B?Rn×S。

    塊krylov子空間方法[1]是求解多右端線性方程組的常用方法。塊方法的基本思想是,在求解多右端線性方程組時(shí),不是對(duì)每一個(gè)方程都單獨(dú)應(yīng)用迭代法的方式,而是采用同時(shí)對(duì)所有方程應(yīng)用迭代,這樣的計(jì)算方法會(huì)更有效。塊方法一經(jīng)產(chǎn)生就引起了數(shù)學(xué)家們的很大興趣。在上世紀(jì)八十年代Underwood.R和Saad Y[2-3]就提出了塊lanczos方法。1980年O’Leary在共軛梯度法(CG)的基礎(chǔ)上提出了的塊CG方法(BCG)[4],九十年代初Sadkan.M和Vital.B提出求解對(duì)稱(chēng)正定方程組的塊Davidson方法[5],進(jìn)一步論證了塊方法的有效性。1996年Simoncini V和Gallopoulos E[6-7]提出了塊GMRES方法(BGMRES)及其變形。1997年Freund R W和Malhotra M[8]提出求解多右端的非Hermitian線性方程組的塊QMR方法(BQMR),同年Chan T F和Wan W L[9]對(duì)求解多右端線性方程組的投影方法做了較全面的分析。1999年顧桂定等提出了求解多右端非對(duì)稱(chēng)線性方程組的塊EN方法(BEN)[10-11]。2000年戴華[12]教授研究了求解多右邊大型稀疏對(duì)稱(chēng)線性方程組的塊Lanczos算法和塊Minres算法,并建立了兩種算法之間的關(guān)系。2008年鐘寶江等[13]提出了一種更簡(jiǎn)單的塊GMRES方法,該方法避免了塊上Hessenberg矩陣的因式分解。因此,編程要簡(jiǎn)單得多,所需的工作也少得多。同年張建華等[14]提出求解具有多個(gè)右端項(xiàng)線性方程組的總體CGS算法。Taherian A和Toutounian F[15]提出了求解多右端非對(duì)稱(chēng)線性方程組的塊GPBi-CG方法。一般地,在討論算法的收斂性和穩(wěn)定性時(shí),Krylov子空間方法通常用殘量范數(shù)作為判斷算法終止的條件,即極小殘量法[16-18]。通常,若近似解是精確的,殘量范數(shù)是小的,但是反過(guò)來(lái)不一定。為克服殘量范數(shù)作為終止條件的不足,數(shù)學(xué)工作者們考慮采用系數(shù)矩陣擾動(dòng)的方法求解線性方程組,1995-1997年Kasenally[19-20]在用GMRES方法解非對(duì)稱(chēng)線性方程組時(shí),考慮求滿足擾動(dòng)方程的近似解使向后擾動(dòng)范數(shù)‖△A‖F(xiàn)極小化,給出了求解大型非對(duì)稱(chēng)線性方程組的廣義極小向后擾動(dòng)方法。1998年曹志浩[22]推廣了廣義極小向后擾動(dòng)方法,把總體向后擾動(dòng)方程的精確解看做所求方程的精確解,給出求解大型非對(duì)稱(chēng)線性方程組的總體GMBACK方法[21]。孫繼廣在2001年出版了《矩陣擾動(dòng)分析》,系統(tǒng)地研究了矩陣特征值擾動(dòng)分析和求解方程組的擾動(dòng)分析問(wèn)題。李欣等[23-24]提出了求解對(duì)稱(chēng)線性方程組的總體最小擾動(dòng)方法和求解對(duì)稱(chēng)多右端位移方程組的種子投影方法。Zhang Lei-Hong等[25]提出向后攝動(dòng)分析和基于殘差的誤差界的線性相關(guān)特征值問(wèn)題。

    考慮在求解多右端對(duì)稱(chēng)線性方程組時(shí),采用塊Lanczos過(guò)程與總體極小向后擾動(dòng)相結(jié)合的方法,分析論證總體向后擾動(dòng)的格式及總體極小向后擾動(dòng)范數(shù)的求法,建立求解多右端對(duì)稱(chēng)線性方程組的總體極小向后擾動(dòng)塊方法。本文的結(jié)構(gòu)安排如下:首先引言和預(yù)備知識(shí);在求解多右端對(duì)稱(chēng)線性方程組的塊Lanczos過(guò)程中,做總體向后擾動(dòng)分析,提出用總體極小向后擾動(dòng)范數(shù)作為判斷算法終止的準(zhǔn)則,給出總體極小向后擾動(dòng)塊lanczos方法;最后通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證新算法的可行性和有效性。

    1 預(yù)備知識(shí)

    下面先引入一些所采用的記號(hào)、基本概念和引理。

    A+表示矩陣A的Moore-Penrose廣義逆。

    ‖A‖F(xiàn)、‖A‖2分別表示矩陣A的Frobenius范數(shù)和2-范數(shù)。

    xT和XT分別表示向量x和矩陣X的轉(zhuǎn)置。

    νec(A)表示矩陣A的列拉直(列展開(kāi))。

    A?B表示A與B的Kronecker積(直積,張量積)。

    上面定義的記號(hào)均見(jiàn)參考文獻(xiàn)[26]。

    引理2.1[26]設(shè)A∈Cm×n,B∈Cn×p,C∈Cp×q,則νec(ABC)=(CT?A)νec(B)。

    引理2.2設(shè)A∈Cm×n,則‖A‖F(xiàn)=‖νec(A)‖2。

    證明由矩陣的Frobenius范數(shù)定義和2-范數(shù)定義結(jié)合矩陣的列拉直定義易得。

    引理2.3[26]設(shè)A∈Cm×n,B∈Cp×q,C∈Cm×q,矩陣方程AXB=C有解的充分必要條件為AA+CB+B=C,在有解的情況下AXB=C的通解為

    其中Y∈Cn×p是任意的,A+為矩陣A的Moore-Penrose廣義逆;如果AXB=C無(wú)解,則AXB=C的最小二乘解仍為(2.1),并且AXB=C的極小最小二乘解為X=A+CB+。

    引理2.4[26]設(shè)A是任意的m×n矩陣,若A的奇異值分解為

    其中U∈Rm×m和V∈Rn×n,Σ=diag(σ1,σ2,…σr)(σ1,σ2,…σr是A的正奇異值),則的Moore-Penrose廣義逆A+

    證明由Moore-Penrose廣義逆的定義直接驗(yàn)證可得。

    下面回顧塊Lanczos過(guò)程。首先選取多右端項(xiàng)對(duì)稱(chēng)線性方程組AX=B(1.1)的初始矩陣X0,并由QR分解得到X0=Q1T1。

    算法2.1塊Lanczos過(guò)程[2-3,26]

    (1)選?。?.1)的初始矩陣X0,X0=Q1T1;令Q0=0,計(jì)算M1=Q1TAQ1;

    (2)for j=1:k

    (2.1)計(jì)算Pj+1=AQj-Qj-1TTj-QjMj;

    (2.2)將Pj+1進(jìn)行QR分解Pj+1=Qj+1Tj+1,其中Qj+1是n×s規(guī)范正交矩陣,Tj+1是s×s的上三角矩陣;

    (2.3)計(jì)算Mj+1=QTj+1AQj+1;

    End for

    上式兩邊同時(shí)左乘以分塊矩陣(Q1Q2…Qk),

    因?yàn)镼k是規(guī)范正交矩陣,則有

    由矩陣的分塊乘法易得

    用通式表示為三項(xiàng)遞推公式

    變形為

    若記Qj+1Tj+1=Pj+1,即對(duì)Pj+1做QR分解可得Qj+1和Tj+1,再計(jì)算Mj+1=QTj+1AQj+1,即可得Mj+1,這樣可構(gòu)造出矩陣及。

    在(2.2)式中的三項(xiàng)遞推公式可用如下矩陣形式來(lái)表示

    則(2.3)式可以表示為

    設(shè)x0(i)(i=1,…,s)是有s個(gè)右端項(xiàng)的對(duì)稱(chēng)線性方程組(1.1)的初始估計(jì),記X0=[x0(1),x0(2),…,x0(s)],則R0=B-AX0=[r0(1),…,r0(s)]。

    可令根據(jù)塊Lanczos方法產(chǎn)生的方程組(1.1)的近似解有如下形式:

    用矩陣表示為

    其中Yk=[yk(1),yk(2),…,yk(s)],由Yk=EkR1求出相應(yīng)的Yk。殘量矩陣表示為

    2 總體極小向后擾動(dòng)塊方法

    2.1 總體極小向后擾動(dòng)分析

    本節(jié)討論如何建立求解多右端對(duì)稱(chēng)線性方程組(1.1)總體極小向后擾動(dòng)的塊方法,如何構(gòu)造總體向后擾動(dòng)的格式,以及總體極小向后擾動(dòng)范數(shù)的求法,在新方法執(zhí)行塊Lanczos的過(guò)程中如何與總體極小向后擾動(dòng)相結(jié)合。

    首先把多右端對(duì)稱(chēng)線性方程組AX=B(1.1)的近似解看作擾動(dòng)方程

    的精確解。這里我們把[△,δ]稱(chēng)為總體向后擾動(dòng)。這種求解方程組(1.1)近似解的方法,稱(chēng)作擾動(dòng)方法,多年來(lái)擾動(dòng)方法得到廣大數(shù)學(xué)工作者的重視,見(jiàn)參考文獻(xiàn)[19,20,21,23]。

    下面討論把塊Lanczos過(guò)程與總體極小向后擾動(dòng)方法相結(jié)合求解(2.6)式中的Yk,即求解滿足min{‖△,δ‖F(xiàn)|(A-△)X=B+δ}的Yk值。

    首先以定理的形式給出總體向后擾動(dòng)的格式,以及總體極小向后擾動(dòng)范數(shù)的求法。

    定理3.1若Xk∈Rn×S是方程組(3.1)的精確解,則總體向后擾動(dòng)[△,δ]=-Rk(XkTXk+E)-1(XkTE),且總體極小向后擾動(dòng)范數(shù)為

    這里νec(*)表示矩陣*的列拉直?!?‖F(xiàn)表示矩陣*的Frobenius范數(shù),‖*‖2表示矩陣*的2范數(shù)。具體定義見(jiàn)參考文獻(xiàn)[26]。

    證明:設(shè)Xk∈Rn×S是(3.1)的精確解,代入擾動(dòng)方程(3.1),則

    若記Rk=B-AXk表示方程組(1.1)的殘量,則上式可化為

    由矩陣乘法,上面的(3.2)式可以看作

    由引理2.3方法解此矩陣方程,得總體向后擾動(dòng)

    下面考慮求解總體向后擾動(dòng)[△,δ]的范數(shù)的極小值,由引理2.4得

    由Frobenius范數(shù)和2-范數(shù)的定義及引理2.1和引理2.2

    化簡(jiǎn)為

    證畢。

    2.2 總體極小向后擾動(dòng)塊方法

    根據(jù)3.1節(jié)的分析,本文在求解方程組(1.1)的塊Lanczos過(guò)程中,把(3.5)式的總體極小向后擾動(dòng)范數(shù)作為迭代終止的條件,在滿足一定精度要求時(shí),給出求解多右端對(duì)稱(chēng)線性方程組的如下算法——總體極小向后擾動(dòng)塊Lanczos方法(TBMINBACK)。

    算法3.1總體極小向后擾動(dòng)塊Lanczos方法(TBMINBACK)

    3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

    數(shù)值實(shí)驗(yàn)均在個(gè)人計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn),具體配置:CPU:intel(R)Core(TM)i7-8550u,主頻:1.8GHz,內(nèi)存:8GB,系統(tǒng):Win10企業(yè)版,軟件:Matlab R2014a

    由于Matlab軟件的優(yōu)越性,在算法的執(zhí)行過(guò)程中,比如QR分解、求矩陣的范數(shù)等,都可以直接調(diào)用現(xiàn)成的命令得到,這對(duì)算法的執(zhí)行帶來(lái)了更便利的條件。

    下面利用算法2.1塊Lanczos方法(記為BLanczos)和算法3.1(TBMINBACK)兩種方法求解方程組(1.1),把兩種方法的計(jì)算速度和殘量做對(duì)比,比較兩種方法的有效性。

    例4.1已知對(duì)稱(chēng)矩陣

    表1 兩種方法殘量對(duì)比Table 1 Residual comparison of two methods

    由表1可見(jiàn),在求解多右端對(duì)稱(chēng)方程組(1.1)時(shí),TBMINBACK方法和BLanczos方法的計(jì)算速度都達(dá)到小數(shù)點(diǎn)后的第三位,但兩者差距很小,這是因?yàn)門(mén)BMINBACK方法是在BLanczos的基礎(chǔ)上改進(jìn)的,兩者都采用了塊Lanczos過(guò)程,新方法的運(yùn)算步驟相對(duì)增加,自然運(yùn)算速度會(huì)有相應(yīng)的增加。但是,在目前計(jì)算機(jī)性能日新月異的改進(jìn)中,如此小的速度差異可以忽略不計(jì)。更重要的是,顯然TBMINBACK方法計(jì)算的殘量范數(shù)更小。

    例4.2已知對(duì)稱(chēng)矩陣

    解:選取方程組(1.1)的初始估計(jì)X0=當(dāng)矩陣A的規(guī)模n=100,塊Lanczos過(guò)程循環(huán)次數(shù)k=8時(shí),隨著右端項(xiàng)B的列數(shù)S變化,用算法2.1(BLanczos)和算法3.1(TBMINBACK)兩種方法求解方程組(1.1),實(shí)驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表2。

    表2 兩種方法殘量對(duì)比Table 2 Residual comparison of two methods

    由表2進(jìn)一步得出TBMINBACK方法的殘量范數(shù)比BLanczos方法的更小。特別是,當(dāng)多右端項(xiàng)的列數(shù)S比較大時(shí),TBMINBACK方法的殘量更加小。說(shuō)明新方法對(duì)于多右端項(xiàng)更大型的對(duì)稱(chēng)線性方程組的求解更有效。

    4 結(jié)論

    提出了求解多右端對(duì)稱(chēng)線性方程組的新方法——總體極小向后擾動(dòng)塊Lanczos方法(TBMINBACK)。新算法在塊Lanczos方法的基礎(chǔ)上做了改進(jìn),把總體極小向后擾動(dòng)范數(shù)作為迭代的終止條件,建立了總體極小向后擾動(dòng)塊Lanczos方法(TBMINBACK),論文給出了總體向后擾動(dòng)的格式和總體極小向后擾動(dòng)范數(shù)的求法,并對(duì)新算法做了殘量分析,從理論證明了新方法的可行性。

    數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明總體極小向后擾動(dòng)塊Lanczos方法(TBMINBACK)在求解方程組(1.1)時(shí),殘量范數(shù)達(dá)到小數(shù)點(diǎn)后10位且明顯優(yōu)于塊Lanczos方法(BLanczos)。數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了新方法的可行性、有效性和優(yōu)越性。特別是,當(dāng)多右端項(xiàng)的列數(shù)S比較大時(shí),TBMINBACK方法的殘量更加小。說(shuō)明新方法對(duì)于多右端項(xiàng)更大型的對(duì)稱(chēng)線性方程組的求解更有效。

    需要說(shuō)明的是在數(shù)值實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié),本文選取的多右端對(duì)稱(chēng)線性方程組(1.1)的系數(shù)矩陣A都是比較大型的,同時(shí)也考慮了系數(shù)矩陣A的非零元素比例的情況(稠密或者稀疏)。通過(guò)多組實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),在系數(shù)矩陣A比較稀疏的情況下,總體極小向后擾動(dòng)塊Lanczos方法(TBMINBACK)更有優(yōu)勢(shì)。稀疏矩陣方程組的求解問(wèn)題,在大型科學(xué)工程計(jì)算、圖像處理等研究領(lǐng)域經(jīng)常會(huì)遇到,說(shuō)明新算法具有一定的實(shí)踐意義。

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