初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解法探究

● 云南省曲靖市羅平縣臘山第一中學(xué) 李改生

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一直都是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)當(dāng)中的難點(diǎn)，常常會(huì)出現(xiàn)在初中學(xué)業(yè)水平考試的壓軸題當(dāng)中。但其實(shí)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解決有一定的技巧和方法，只要學(xué)生能夠很好地理解動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的邏輯關(guān)系，并能掌握其解題思路和方法，就能很好地掌握這方面的知識(shí)，進(jìn)而能在考試中靈活運(yùn)用。接下來(lái)，筆者根據(jù)自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)談一談初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的相關(guān)內(nèi)容。

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題考查的是學(xué)生綜合性的知識(shí)運(yùn)用能力，這類問(wèn)題的解題方法一般比較靈活，同時(shí)條件也比較多樣化，對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合知識(shí)是很大的考驗(yàn)。動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題對(duì)于學(xué)生的直覺(jué)能力以及對(duì)不同題型的分析能力要求很高，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師只有幫助學(xué)生不斷歸納總結(jié)，使學(xué)生洞察題目中的本質(zhì)內(nèi)容，才能夠更好地解決這方面的難題。

一、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中涉及的知識(shí)點(diǎn)

（一）數(shù)軸

劉艷萍老師在《動(dòng)中求靜，靜中求解——初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題探究》一文中指出，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是要確定一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化軌跡，而這個(gè)運(yùn)動(dòng)變化的軌跡，其實(shí)是要存在于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中的，因此，我們應(yīng)先讓學(xué)生理解“數(shù)軸”的定義，明確原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度三個(gè)要素。在數(shù)學(xué)的定義中，數(shù)軸是一條直線，是向兩邊無(wú)限延伸的，不受任何題目中所給出的相關(guān)線段長(zhǎng)度的影響。有時(shí)學(xué)生在看到一個(gè)具體題目時(shí)，會(huì)受到直觀圖形的影響，造成對(duì)數(shù)軸的混亂理解，在這里我們必須要告訴學(xué)生，數(shù)軸上的原點(diǎn)以及單位長(zhǎng)度的取值，要結(jié)合實(shí)際情況。學(xué)生只有理解了數(shù)軸空間的定義，才能更好地找到動(dòng)點(diǎn)的變化軌跡。

（二）數(shù)形結(jié)合的思想

鄒麗虹老師在《動(dòng)中求靜，靜中求解——探究初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題》一文中指出，在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解決過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合是非常重要的。所謂數(shù)形結(jié)合，就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言用圖形的方式表達(dá)出來(lái)，這樣能夠讓知識(shí)整體的表達(dá)變得更加直觀。在初中學(xué)業(yè)水平考試中，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題并不會(huì)以單獨(dú)的形式存在，往往會(huì)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)、圓等知識(shí)疊加起來(lái)。而類似于一次函數(shù)、反比例函數(shù)這些知識(shí)點(diǎn)都與圖象有很大的聯(lián)系。描繪出圖象，其實(shí)就是學(xué)生找到動(dòng)點(diǎn)的關(guān)鍵要素所在。

（三）分類討論的思想

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的考查常常與存在性問(wèn)題相結(jié)合，在質(zhì)量檢測(cè)中常以壓軸題的方式呈現(xiàn)，多與分類討論思想結(jié)合進(jìn)行考查。由于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是動(dòng)態(tài)變化的，它往往是一個(gè)較復(fù)雜或不確定的問(wèn)題，這就要求我們對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行分類討論。所謂分類討論思想，就是在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，這就需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，最后使問(wèn)題得到解決。在解決數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的過(guò)程中，我們要善于抓住問(wèn)題中“變”與“不變”的量，扣住“不變”來(lái)應(yīng)“萬(wàn)變”。

二、解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的策略

（一）學(xué)會(huì)分析動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的本質(zhì)

連光銘老師在《關(guān)于初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的解題策略分析》 一文中指出，對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題而言，在解決時(shí)要讓學(xué)生用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光去觀察和研究，挖掘運(yùn)動(dòng)的軌跡和變化的全過(guò)程，認(rèn)識(shí)其考點(diǎn)的本質(zhì)。因此，為提高動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解決質(zhì)量，找出運(yùn)動(dòng)軌跡是關(guān)鍵，也就是說(shuō)，在教學(xué)解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，教師可以以動(dòng)制靜，動(dòng)靜結(jié)合，通過(guò)觀察、分析、概括運(yùn)動(dòng)變化走勢(shì)，在解析題意的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生分析考點(diǎn)本質(zhì)，促使其進(jìn)行問(wèn)題推理，尋找其中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找到解題思路。

（1）當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，求點(diǎn)P與點(diǎn)A的最短距離；

（2）若點(diǎn)P在MB上，且PQ將△ABC的面積分成上下4∶5兩部分時(shí)，求MP的長(zhǎng)；

（3）設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的路程為x，當(dāng)0≤x≤3及3≤x≤9時(shí)，分別求點(diǎn)P到直線AC的距離（用含x的式子表示）；

（4）在點(diǎn)P處設(shè)計(jì)并安裝一掃描器，按照定角∠APQ掃描△APQ區(qū)域（含邊界），掃描器隨點(diǎn)P從M到B再到N共用時(shí)36秒，若AK=，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)K被掃描到的總時(shí)長(zhǎng)。

在解決這一問(wèn)題時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生，通過(guò)閱讀及觀察圖形等方法，明確此題考查的是三角形動(dòng)態(tài)問(wèn)題的分析，所以在解析此題時(shí)，尋找運(yùn)動(dòng)規(guī)律非常關(guān)鍵，根據(jù)此題所考內(nèi)容以及題意，可以得到P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)分為兩段，教師可以引導(dǎo)學(xué)生建立A字和8字兩種不同模型求解。

通過(guò)題意基本解析，根據(jù)問(wèn)題進(jìn)行逐步求解分析，第一問(wèn)，屬于基本條件的擴(kuò)充，在求解時(shí)可以利用三角函數(shù)值的定義求解；對(duì)于第二問(wèn)，由“PQ將△ABC的面積分成上下4∶5兩部分”這一句話，便可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“相似比的平方等于面積比”進(jìn)行求解，通過(guò)尋找線段等量關(guān)系進(jìn)行求解分析；對(duì)于第三問(wèn)，可以引導(dǎo)學(xué)生利用相似比、等積法和三角函數(shù)定義，判斷點(diǎn)到線段的距離進(jìn)行求解；第四問(wèn)，求的是K被掃描的總時(shí)長(zhǎng)，那就要讓學(xué)生理解在什么情況下K會(huì)被掃描到，使其確定定點(diǎn)被掃描的區(qū)域和點(diǎn)P的位置關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)P在BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于點(diǎn)P在M點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，且PQ//BC，當(dāng)AP=AK=時(shí)，就會(huì)被掃描到，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APQ的范圍會(huì)變化，CQ長(zhǎng)度大于CK長(zhǎng)度時(shí)便不會(huì)被掃描到。在分析動(dòng)點(diǎn)的基礎(chǔ)上求靜，引導(dǎo)其結(jié)合問(wèn)題思考本質(zhì)，利用兩種模型A字和8字形等模型進(jìn)行求解。通過(guò)分析動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題本質(zhì)，由動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題探尋數(shù)學(xué)考查方向和知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生在知識(shí)整合的過(guò)程中，利用相應(yīng)解題模型進(jìn)行問(wèn)題求解，能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力。

（二）嘗試建立動(dòng)點(diǎn)等量關(guān)系

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)是教學(xué)的重點(diǎn)之一，也是數(shù)學(xué)檢測(cè)的一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)于有關(guān)函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題而言，在學(xué)習(xí)探索時(shí)，教師要根據(jù)函數(shù)圖形的性質(zhì)，建立等量關(guān)系，靜中求動(dòng)，在關(guān)系籌建的過(guò)程中，推測(cè)運(yùn)動(dòng)本質(zhì)，拓展問(wèn)題解決思路。

例如：小翔在如圖1所示的場(chǎng)地上勻速跑步，他從點(diǎn)A出發(fā)，沿著箭頭所示方向經(jīng)過(guò)點(diǎn)B跑到點(diǎn)C，共用時(shí)30秒，他的教練選擇了一個(gè)固定的位置觀察小翔的跑步過(guò)程，設(shè)小翔跑步時(shí)間為t，單位為秒，他與教練間的距離為y米，表示y與t的函數(shù)關(guān)系圖象大致如圖2，則這個(gè)固定的位置可能是圖1中的（ ）

A.點(diǎn)M B.點(diǎn)N C.點(diǎn)P D.點(diǎn)Q

圖1

圖2

此題雖然為選擇題，但要想正確作出解答，就要讓學(xué)生結(jié)合圖形判斷，通過(guò)建立動(dòng)點(diǎn)等量關(guān)系，在一一排除的過(guò)程中，解決問(wèn)題。如：答案A在點(diǎn)M的位置，則從A至B這段時(shí)間，弧AB上每一點(diǎn)與點(diǎn)M的距離相等，即y不會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化，與函數(shù)圖形不符合，動(dòng)點(diǎn)等量關(guān)系建立失誤，因此，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，假設(shè)在點(diǎn)N的位置，則根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理，NA=NB=NC，A點(diǎn)與C點(diǎn)對(duì)應(yīng)y的大小應(yīng)該相同，與函數(shù)圖象不符，動(dòng)點(diǎn)等量關(guān)系建立失敗，選項(xiàng)錯(cuò)誤；答案C，在點(diǎn)P的位置，則PC最短，大小應(yīng)該相同，與函數(shù)圖象不符，動(dòng)點(diǎn)等量關(guān)系建立失敗，選項(xiàng)錯(cuò)誤；答案D，在點(diǎn)Q的位置，如圖示：

以Q為圓心，QA為半徑畫(huà)圓交弧AB于點(diǎn)E，其中y最大的點(diǎn)是AE的中垂線與弧AB的交點(diǎn)H；在弧AB上，從點(diǎn)E到點(diǎn)C上，y逐漸減?。欢鳴B=QC，即yB= yC，且BC的中垂線QN與BC的交點(diǎn)F是y的最小值點(diǎn)，經(jīng)過(guò)判斷點(diǎn)Q符合函數(shù)圖象，動(dòng)點(diǎn)關(guān)系建立，選項(xiàng)正確。通過(guò)動(dòng)點(diǎn)等量關(guān)系的建立，在認(rèn)識(shí)其規(guī)律的過(guò)程中，學(xué)生根據(jù)動(dòng)點(diǎn)位置與函數(shù)圖形的變化，在性質(zhì)探索的過(guò)程中推測(cè)運(yùn)動(dòng)本質(zhì)，加深了學(xué)生對(duì)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的理解。

在解決這一問(wèn)題時(shí)，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生讀懂y和t分別表示什么，然后探尋y隨t的變化規(guī)律。其次，要充分利用已知條件中矩形的性質(zhì)找到相等關(guān)系，從而建立等式。同時(shí)，認(rèn)真分析出運(yùn)動(dòng)中“不變”的點(diǎn)，讓運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)靜下來(lái)，再對(duì)所給選項(xiàng)逐一驗(yàn)證排除，結(jié)合函數(shù)圖象和性質(zhì)，便能找到本題的答案，進(jìn)而使問(wèn)題得以解決。

(三)滲透數(shù)形結(jié)合思想

在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解析過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用非常關(guān)鍵，它可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)之后的變化，打破思維局限，也可以在數(shù)形對(duì)應(yīng)的過(guò)程中，促使問(wèn)題化抽象為形象，提高問(wèn)題解決效率。因此，在教學(xué)解析動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，教師要滲透數(shù)形結(jié)合思想，在對(duì)動(dòng)的探索中，尋找靜止的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧，提高其對(duì)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。

例如：將一個(gè)直角三角形紙片OAB放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B在第一象限，∠OAB=90°，∠B=30°，點(diǎn)P在邊OB上（點(diǎn)P不于點(diǎn)O、B重合），求：

（1） 如圖3所示，當(dāng)OP=1時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

圖3

（2）折疊該紙片，使得折痕所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，并與x軸的正半軸相較于點(diǎn)Q且OQ=OP，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O＇，設(shè)OP=t，思考：如圖4，若折疊后△O＇PQ與△OAB重疊部分為四邊形，O＇P，O＇Q分別與邊AB相交于點(diǎn)C，D，用含有t的式子表示O＇D的長(zhǎng)，直接寫(xiě)出t的取值范圍。

圖4

（3）若折疊后△O＇PQ與△OAB重疊部分面積為S，當(dāng)1≤t≤3時(shí)，求S的取值范圍。（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）

這一問(wèn)題是有關(guān)平面直角坐標(biāo)系的問(wèn)題，學(xué)生根據(jù)所學(xué)有關(guān)平面直角坐標(biāo)系相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，可以得到此題考查的內(nèi)容為：平移、旋轉(zhuǎn)、折疊、翻轉(zhuǎn)等有關(guān)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，在問(wèn)題（2）中已經(jīng)明確得到考查內(nèi)容為折疊動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。那么，在分析時(shí)，可以得到點(diǎn)P為此題的動(dòng)點(diǎn)，也是解題的關(guān)鍵，因此，可以將數(shù)形結(jié)合作為輔助，根據(jù)折疊相關(guān)性質(zhì)，得到△O＇PQ≌△OPQ，所以得到O＇P=OP，O＇P=OQ，然后可以求證四邊形OQO＇P為菱形，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)等，求解O＇D 的長(zhǎng)，成功解決t的取值范圍為＜t＜2。

在解決這一問(wèn)題時(shí)，第（1）問(wèn)可根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，結(jié)合解直角三角形的知識(shí)及直角三角形的性質(zhì)，求出其坐標(biāo)為。在解決第（2）問(wèn)時(shí)，要利用A點(diǎn)的坐標(biāo)及四邊形OQO＇P為菱形的性質(zhì)，得到∠DQA=30°,利用直角三角形性質(zhì)可以解決此問(wèn)。解決第3問(wèn)時(shí)要利用動(dòng)中求靜，抓住點(diǎn)O＇的位置不同，構(gòu)成圖形不同，分為它在AB上和不在AB上兩種情況，在AB上時(shí)是一個(gè)三角形，可求出面積；當(dāng)它不在AB上時(shí)，即＜t＜2時(shí)，重疊部分是四邊形，此時(shí)，S與t的關(guān)系構(gòu)成一個(gè)二次函數(shù)，有最大值；求出當(dāng)t=3時(shí)S的值后再與前面的條件結(jié)合即可求出S的范圍。我們要借助數(shù)形結(jié)合思想，在觀察圖形的過(guò)程中，結(jié)合折疊性質(zhì)，分析動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后所形成的一般結(jié)論，應(yīng)用該結(jié)論解決問(wèn)題，讓學(xué)生精準(zhǔn)查找問(wèn)題的解決思路，從而促使動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般幾何問(wèn)題，在化繁為簡(jiǎn)中提高問(wèn)題解決能力。

（四）滲透動(dòng)中求靜思維方法

在解決許多動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，我們需要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化思想。當(dāng)下，與運(yùn)動(dòng)變化相關(guān)的題目是學(xué)業(yè)水平測(cè)試壓軸題的?？碱}型，綜合性較強(qiáng)。如果學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中經(jīng)常練習(xí)運(yùn)動(dòng)變化類試題，并潛移默化地掌握“動(dòng)中取靜”思想，不斷遷移，這樣就能做到以“靜”制“動(dòng)”，從而達(dá)到解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的目的。

下面我們來(lái)看一道典型的例題，從中了解解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的方法。如圖，一次函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=（ k＞0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在以C（-2，0）為圓心，1為半徑的⊙C上，Q是線段AP的中點(diǎn)，若OQ長(zhǎng)的最大值為，則k的值為_(kāi)____。

原圖

解析圖

這是一道涉及圓、函數(shù)、三角形等知識(shí)的動(dòng)點(diǎn)綜合性問(wèn)題，由題意可知P點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓。在解決此問(wèn)題時(shí)，我們要善于找到其中不變的量，充分利用不變的量，做到以“靜”制“動(dòng)”。如果深入思考，由于反比例函數(shù)的圖象是具有對(duì)稱性的雙曲線，我們不難發(fā)現(xiàn)，O為線段AB的中點(diǎn)，加之P無(wú)論如何運(yùn)動(dòng)，Q始終是AP的中點(diǎn)，于是可以得到線段OQ是△PAB的中位線，利用中位線定理可以得到：OQ∥PB且OQ=PB，找到不變的量，當(dāng)OQ最大時(shí)，也就是PB最大。于是題目中已知OQ的最大值就轉(zhuǎn)化為PB的最大值。所以連接PB，當(dāng)PB經(jīng)過(guò)圓心C時(shí)，PB的長(zhǎng)最大，最大值為3，又由已知條件CP=1，易知BC=2。要求k的值，關(guān)鍵求A或B的坐標(biāo)，此時(shí)可以過(guò) 點(diǎn)B作BD⊥x軸 于D，設(shè)B（m,2m），則CD=m-（-2）=m+2，BD=-2m，在Rt△BCD中，由勾股定理得BC2=CD2+BD2，22=（m+2）2+（-2m）2，解得m=0（舍）或m=，所以B，代入反比例函數(shù)可求出k的值為。

在解決本題時(shí)，教師要先引導(dǎo)學(xué)生抓住Q為AP中點(diǎn)，再結(jié)合反比例函數(shù)的對(duì)稱性可以發(fā)現(xiàn)O是AB的中點(diǎn)，進(jìn)而推出線段OQ是△APB的中位線，這是最關(guān)鍵的一點(diǎn)。根據(jù)三角形中位線定理可知道OQ=PB，那么，OQ 的最大值就轉(zhuǎn)化為PB的最大值。再根據(jù)點(diǎn)圓關(guān)系確定PB最長(zhǎng)時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)后即可求出k的值。

通過(guò)此題的方法分析，我們發(fā)現(xiàn)，在解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，我們要?jiǎng)屿o結(jié)合，善于找到題中不變的量，注重整體把握，強(qiáng)化遷移，做到以“靜”制“動(dòng)”，從而使問(wèn)題得以解決。

（五）滲透分類討論思想方法

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的設(shè)置常常體現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)、分類和存在性三個(gè)特征。解決此類問(wèn)題，要求學(xué)生不僅要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和解題的基本方法，更要求學(xué)生具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯思維，需要其用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光去審視數(shù)學(xué)問(wèn)題，真正做到以“不變”應(yīng)“萬(wàn)變”，學(xué)會(huì)用發(fā)展的眼光看待每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，從中找到研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效策略，進(jìn)而解決問(wèn)題。下面我們來(lái)看一道例題，重在分析第（2）問(wèn)，從中感悟解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的方法。

（1）求c的值；

（2）直接寫(xiě)出T的值；

這是一道綜合題，考查的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，構(gòu)思巧妙，設(shè)置具有一定的梯度。涉及待定系數(shù)法、三角形的面積公式、分式化簡(jiǎn)、配方法等內(nèi)容，與高中的學(xué)習(xí)有較好的銜接。第（1）問(wèn)可直接將（0，2）代入求出即可，較為基礎(chǔ)。第（3）問(wèn)難度較大，考查學(xué)生的綜合運(yùn)算能力，可以用整體代入的方法求出其值為，也可以用求代數(shù)式倒數(shù)的方法求出其值，方法較多，較為靈活，現(xiàn)不作解析。本題我們重點(diǎn)對(duì)第（2）問(wèn)進(jìn)行分析，其實(shí)在第（2）問(wèn)中，M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，解決此問(wèn)實(shí)質(zhì)是在解決一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。由題意及第（1）問(wèn)知拋物線的解析式為，此時(shí)可以求出拋物線與x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而求出線段AB的長(zhǎng)度，但運(yùn)算量有點(diǎn)大。細(xì)看此問(wèn)，我們不需要求出線段AB的長(zhǎng)，因?yàn)榫€段AB的長(zhǎng)是一個(gè)定值，是一個(gè)“不變”的量，△ABM的面積可以以AB為底邊，要使△ABM的面積是一個(gè)常數(shù)，且與拋物線有三個(gè)交點(diǎn)，可以借助圖形幫助理解，做到數(shù)形結(jié)合。由于面積和底邊是一個(gè)不變的量，所以底邊AB上的高不變，即M到AB的距離相等。認(rèn)真分析，不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)點(diǎn)分為在x軸的上方和下方兩種情況，用到分類討論的思想方法，又因?yàn)閽佄锞€具有對(duì)稱性，可以知道此點(diǎn)在上方時(shí)不可能同時(shí)在拋物線頂點(diǎn)的上方或下方，一旦在下方，就會(huì)出現(xiàn)四個(gè)，不符合題意。由此可見(jiàn)，點(diǎn)M在x軸上方時(shí)只可能是拋物線的頂點(diǎn)，由頂點(diǎn)坐標(biāo)可以求出AB邊上的高，易求出頂點(diǎn)坐標(biāo)為，也就是頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為，再由對(duì)稱性知在軸下方的點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，所以它們的和為，即T的值是。此問(wèn)出題新穎，與平時(shí)問(wèn)法不同，平時(shí)是已知面積求點(diǎn)的坐標(biāo)，而本問(wèn)是給出點(diǎn)的個(gè)數(shù)求點(diǎn)縱坐標(biāo)的和。

在解決本題第（2）問(wèn)時(shí)，教師要幫助學(xué)生充分利用分類討論的思想，在“不變”中求“變”。抓住線段AB的長(zhǎng)不變，而M是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，要使S=m(m＞0)的點(diǎn)恰好有3個(gè)，那么，這個(gè)點(diǎn)到AB距離是一個(gè)定值，結(jié)合函數(shù)圖象的對(duì)稱性進(jìn)行分類討論，可以找到這樣的點(diǎn)。在解決此問(wèn)時(shí)，方法靈活，要以“不變”應(yīng)“萬(wàn)變”，同時(shí)，要用全面的眼光來(lái)看問(wèn)題，進(jìn)而使數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題得以解決。

總之，在初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題教學(xué)解析中，要想提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，就要幫助學(xué)生尋找動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的規(guī)律，認(rèn)識(shí)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題所涉及的知識(shí)點(diǎn)，然后通過(guò)對(duì)知識(shí)本質(zhì)的探尋，在動(dòng)點(diǎn)分析的過(guò)程中，尋找解題思路。通過(guò)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題本質(zhì)分析、動(dòng)點(diǎn)等量關(guān)系建立、數(shù)形結(jié)合思想滲透等方法，使學(xué)生學(xué)會(huì)動(dòng)靜結(jié)合，以靜制動(dòng)，動(dòng)中取靜。