基于三次模擬退火算法的2K-H輪系等強度優(yōu)化*

李梓虓，趙 罘，龔堰玨

(北京工商大學(xué)人工智能學(xué)院，北京 100048)

0 引言

行星輪系亦可稱為周轉(zhuǎn)輪系，具有結(jié)構(gòu)簡單緊湊、傳動比大等特點，因此行星輪系多用于減速器或增速器，常用于車輛變速、起重運輸、航空航天等領(lǐng)域，但由于行星輪系中的各個齒輪材料、直徑的不同，導(dǎo)致各齒輪的接觸疲勞強度不同，從而使得各齒輪承載能力不同，強度低的齒輪先出現(xiàn)失效，導(dǎo)致整體機構(gòu)失效[1]。根據(jù)統(tǒng)計，在實際使用中，90%的減速器失效的情況均是由于其中某一個齒輪損壞而使得整個減速器失效，所以對于縮小齒輪間的壽命差異是必要的[2-3]。

關(guān)于行星輪系齒輪強度的優(yōu)化，國內(nèi)學(xué)者已進行了許多研究。蘇明明等[4]以風(fēng)力發(fā)電機中的行星輪系為研究對象利用有限元方法證明太陽輪與行星輪一側(cè)的接觸應(yīng)力較大，而內(nèi)齒圈與行星輪一側(cè)的接觸應(yīng)力較小，為后續(xù)等強度優(yōu)化研究奠定基礎(chǔ)。馬鵬飛、杜海霞等[5-6]均以體積最小為目標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型，前者采用復(fù)合形法求解，后者采用懲罰函數(shù)法求解，在保證了齒輪強度的情況下使整體體積減小?？馒P琴等[7]用可靠性系數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)，并用外點法的懲罰函數(shù)求解。焦萬銘、魏靜等[8-9]把等強度和體積最小共同作為目標(biāo)函數(shù)，均采用MATLAB中的fmincon函數(shù)進行求解，其中各齒輪強度的差異程度各學(xué)者有不同的表示方法，前者等強度采用強度最小的彎曲疲勞應(yīng)力值與接觸疲勞應(yīng)力值之差來表示，后者采用安全系數(shù)之差來表示，驗證了等強度優(yōu)化的可行性。國外學(xué)者針對齒輪優(yōu)化方面也有許多研究，PASHKERICH等[10]以減速器的體積最小為優(yōu)化目標(biāo)進行優(yōu)化；GROMYKO等[11]以減速器整機能量消耗最小為優(yōu)化目標(biāo)進行優(yōu)化。然而傳統(tǒng)優(yōu)化算法有可能走入局部最優(yōu)解而終止，錯失全局最優(yōu)解，所以國內(nèi)外還有許多學(xué)者將智能優(yōu)化算法加入傳動系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計中，如蘇德瑜、陳顯冰等[12-13]使用了遺傳算法(genetic algorithm，GA)；楊原青、SANGHVI等[14-16]使用了非支配排序遺傳算法(non-dominated sorting genetic algorithm，NSGA)來進行多目標(biāo)優(yōu)化求解；張干清等[17]使用了粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)，均能在優(yōu)化設(shè)計上達到預(yù)期要求。

本文針對行星輪系提出以安全系數(shù)的方差為目標(biāo)函數(shù)的等強度優(yōu)化方法，并改進模擬退火算法，在算法降溫到一定程度時重新提升溫度，再次回火，使算法充分搜索解空間，避免陷入局部最優(yōu)解的同時，等效優(yōu)化行星輪系中各齒輪的接觸疲勞強度，從而提高整體機構(gòu)的使用壽命。

1 行星輪系機構(gòu)分析與建模

行星輪系主要由4個部分組成，分別為：太陽輪、行星輪、行星架和內(nèi)齒圈，如圖1a所示為行星輪系結(jié)構(gòu)簡圖。行星輪的個數(shù)通常為1～6個，由轉(zhuǎn)動副與行星架配合并均勻排布在太陽輪四周。太陽輪和行星輪可以為直齒或斜齒齒輪。

圖1 行星輪系的結(jié)構(gòu)簡圖與三維模型圖

行星輪系通?？梢詫崿F(xiàn)大傳動比的變速，計算傳動比時，通常采用反轉(zhuǎn)法將行星架固定后及計算，如圖1b所示直齒行星輪系，內(nèi)齒圈固定，設(shè)輸入轉(zhuǎn)矩作用在太陽輪上，輸出轉(zhuǎn)矩由行星架傳出，可得整個系統(tǒng)的傳動比為：

(1)

2 等強度優(yōu)化數(shù)學(xué)模型建立

2.1 齒輪的失效形式與強度設(shè)計準(zhǔn)則

一般來說，齒輪的失效是指輪齒的失效，其中較為常見的輪齒失效形式有以下幾種：輪齒折斷、齒面磨損、齒面點蝕、齒面膠合和塑性變形[18]。根據(jù)上述失效形式，在設(shè)計齒輪傳動系統(tǒng)時，針對齒輪進行齒根彎曲疲勞強度和齒面接觸疲勞強度校核，當(dāng)以上兩個強度分別小于對應(yīng)許用應(yīng)力值時，即認為齒輪滿足設(shè)計要求[18]。

由于在進行齒輪強度設(shè)計時，行星輪系中的各齒輪是分開計算的，所以容易發(fā)生在同樣滿足設(shè)計要求的情況下，計算應(yīng)力與許用應(yīng)力之間相差程度不同，則會導(dǎo)致計算應(yīng)力與許用應(yīng)力相差小的先失效，反之相差大的后失效。且根據(jù)實踐生產(chǎn)可知，對于閉式軟齒面齒輪傳動，通常以保證齒面接觸疲勞強度為主；若對于閉式硬齒面齒輪傳動，通常以保證齒根彎曲疲勞強度為主[18]。所以在優(yōu)化時，在保證各齒輪彎曲疲勞強度符合要求的情況下，對各齒輪的接觸疲勞強度進行等強度優(yōu)化。

2.2 齒根彎曲疲勞應(yīng)力與齒面接觸疲勞應(yīng)力

齒根彎曲疲勞應(yīng)力計算公式為：

(2)

式中，KF為彎曲疲勞強度載荷系數(shù)；T1為齒輪傳遞的轉(zhuǎn)矩；YFa為齒形系數(shù)；Ysa為應(yīng)力修正系數(shù)；Yε為彎曲疲勞強度重合度系數(shù)；Yβ為彎曲疲勞強度螺旋角系數(shù)；β為斜齒輪螺旋角；φd為齒寬系數(shù)；mn為法向模數(shù)；z1為斜齒輪齒數(shù)。

齒面接觸疲勞應(yīng)力計算公式為：

(3)

式中，KH為接觸疲勞強度載荷系數(shù)；ZH為區(qū)域系數(shù)；ZE為彈性影響系數(shù)；Zε為接觸疲勞強度重合度系數(shù)；Zβ為接觸疲勞強度螺旋角系數(shù)；d1為斜齒輪直徑；u為齒數(shù)比，且正號對應(yīng)外嚙合，符號對應(yīng)內(nèi)嚙合。

2.3 許用應(yīng)力與安全系數(shù)

齒輪許用應(yīng)力的計算公式為：

(4)

式中，KN為壽命系數(shù)，當(dāng)計算彎曲疲勞的許用應(yīng)力時帶入彎曲疲勞壽命系數(shù)KFN，同理計算接觸疲勞的許用應(yīng)力時帶入接觸疲勞壽命系數(shù)KHN；σlim為齒輪疲勞極限，亦可用彎曲疲勞應(yīng)力σFlim和接觸疲勞極限應(yīng)力σHlim分別帶入求解；S為疲勞強度安全系數(shù)，亦可分別帶入彎曲疲勞安全系數(shù)SF，其取值范圍為1.25～1.5，和接觸疲勞安全系數(shù)SH，其取值為1。

齒輪的等強度反映的是齒輪的壽命，強度安全系數(shù)則可以體現(xiàn)出安全的程度。為考慮實際情況，本文引入計算安全系數(shù)，以體現(xiàn)在當(dāng)前工況下結(jié)構(gòu)的安全程度[19]。接觸疲勞計算安全系數(shù)SHS的計算公式為：

(5)

則根據(jù)計算安全系數(shù)可以構(gòu)建優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)[9]。

2.4 優(yōu)化變量和目標(biāo)函數(shù)

在齒輪設(shè)計時通常對齒輪的壓力角、齒數(shù)、模數(shù)進行設(shè)計，根據(jù)式(2)可知，彎曲疲勞應(yīng)力還與齒寬系數(shù)φd和螺旋角β有關(guān)，綜合以上條件，保持壓力角為標(biāo)準(zhǔn)壓力角20°不變，選擇行星齒輪等強度優(yōu)化變量為：

X=[zs,zp,zi,mn,β,b]T

(6)

式中，zs為太陽輪的齒數(shù)；zp為行星輪的齒數(shù)；zi為內(nèi)齒圈的齒數(shù)；mn為法向模數(shù)；b為斜齒輪齒寬。

方差能夠較好地體現(xiàn)單個樣本值與平均值的差異程度，當(dāng)各齒輪間的強度趨于相同時，各齒輪的安全系數(shù)方差應(yīng)該趨于0。所以本文以計算安全系數(shù)的方差作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，故接觸疲勞等強度目標(biāo)函數(shù)為：

(7)

式中，SHSv為接觸疲勞計算安全系數(shù)的平均值。本文研究對象選擇1個太陽輪、1個行星輪、1個內(nèi)齒圈和1個行星架的單級行星輪系減速器，所以式(7)中n的取值為3。

2.5 約束條件

在設(shè)計計算過程中，首先需要保證齒輪的加工，其次裝配過程中不能發(fā)生干涉，且要均勻分布等，所以應(yīng)滿足以下8個條件。

(1)齒輪不根切約束。為使得各齒輪不發(fā)生根切，各個齒輪的齒數(shù)均需滿足齒輪不根切條件，即：

(8)

(2)法向模數(shù)約束。在設(shè)計時，模數(shù)的選擇需要遵循一定條件，用于動力傳動的齒輪模數(shù)應(yīng)大于2[1]，并參考表1進行模數(shù)選取，優(yōu)先選擇系列Ⅰ，應(yīng)避免選擇系列Ⅱ中的6.5[20]。

表1 法向模數(shù)推薦值mn (mm)

(3)裝配嚙合約束。為使得行星輪和太陽輪能與內(nèi)齒圈嚙合，則其中心距需滿足裝配嚙合條件，即：

zs+2zp=zi

(9)

(4)齒數(shù)封閉約束。為使得行星輪能均布在太陽輪和內(nèi)齒圈之間，則太陽輪和內(nèi)齒圈的齒數(shù)應(yīng)滿足齒數(shù)封閉條件，即：

(10)

式中，N為行星輪的個數(shù)；C為任意自然數(shù)。

(5)齒數(shù)互質(zhì)約束。為防止出現(xiàn)幾對輪齒總是嚙合從而導(dǎo)致的輪齒之間磨損程度不均勻的情況，一對嚙合的齒輪的齒數(shù)應(yīng)為互質(zhì)數(shù)。則有：

(11)

式中，%為取余運算。

(6)星輪鄰接約束。為使得各個行星輪之間不會產(chǎn)生干涉，則行星輪和太陽輪的齒數(shù)應(yīng)滿足星輪鄰接條件，即：

(12)

(7)彎曲疲勞強度約束。本文雖以接觸疲勞強度作為等強度優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，但在設(shè)計時仍應(yīng)滿足齒輪彎曲疲勞強度，即：

σF≤[σF]

(13)

式中，σF為彎曲疲勞應(yīng)力；[σF]為彎曲疲勞許用應(yīng)力。

(8)傳動比約束。為使得算法計算過程中不產(chǎn)生超差解，故限制行星輪系的傳動比范圍，即：

-1

(14)

式中，i23為行星輪系傳動比。

3 模擬退火算法

3.1 模擬退火算法的提出

設(shè)固體某一時刻的微觀狀態(tài)i與優(yōu)化問題的某一解空間i等價，則固體該時刻的能量Ei與優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)值f(i)等價。引入控制參數(shù)t作為固體退火過程中的溫度T，在算法執(zhí)行過程中，緩慢減小t的值，即對應(yīng)固體退火過程中的徐徐降溫。引入Markov鏈長度k，作為在同一溫度下，進行迭代的次數(shù)。所以在固體退火降溫過程中，每進行一次降溫，模擬退火算法就進行了k次Metropolis算法，即“產(chǎn)生新解—判斷—接受或舍棄”的過程[21]。

其中Metropolis算法的數(shù)學(xué)表達為：

(15)

式中，t為控制參數(shù)；f(i)為舊解空間對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值；f(j)為新解空間對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值；Pt(i→j)為接受新解空間的概率。利用隨機數(shù)發(fā)生器在[0,1)區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生一個數(shù)，與Pt(i→j)做對比，當(dāng)接受概率大于隨機數(shù)時，則判斷系統(tǒng)接受新解空間，即使該新解空間對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值大于舊解空間對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。重復(fù)執(zhí)行，并引入降溫速度參數(shù)λ，即每次降溫λ，使控制參數(shù)t緩慢減小至終止條件時，系統(tǒng)趨于能量最小的基態(tài)即目標(biāo)函數(shù)趨于全局最優(yōu)解[21-22]。

3.2 多次模擬退火算法

在固體退火過程中，有時會在特定溫度進行保溫升溫后進行二次退火，通過晶體之間的變化從而得到需要的機械性能或物理性能。推廣到模擬退火算法上來，在算法進行的過程當(dāng)中，選擇適當(dāng)?shù)臏囟?，將溫度適當(dāng)升高，以此來重新激活各穩(wěn)定態(tài)的接收概率，從而避免算法陷入到局部最優(yōu)當(dāng)中[23]。

3.3 程序流程圖

根據(jù)模擬退火算法的思想，繪制出如圖2所示程序示意流程圖。

圖2 模擬退火算法程序示意流程圖

可以看出，模擬退火算法實現(xiàn)過程中有兩層循環(huán)嵌套，其中內(nèi)層循環(huán)為等溫過程中的迭代，對應(yīng)在這一溫度下固體粒子趨于平衡態(tài)的過程，即趨于局部最優(yōu)解的過程；而外層循環(huán)為徐徐降溫過程，對應(yīng)固體粒子從一平衡態(tài)至另一平衡態(tài)的過程，即趨于全局最優(yōu)解的過程。

本文在全部算法過程中進行了兩次回火操作，即升溫過程，如圖2中的未超過回火次數(shù)后升溫操作。

4 優(yōu)化分析

以市場常見的帶式輸送機中的行星減速器為算例進行計算分析，采用斜齒輪傳動，從太陽輪輸入功率P=10 kW，轉(zhuǎn)速為n=960 r/min，工作壽命為30 000 h，精度等級選擇為7級，行星輪個數(shù)為1。行星減速器的各項參數(shù)如表2所示。

表2 行星減速器各項參數(shù)

根據(jù)模擬退火算法初始化要求，選定初始溫度T=100 ℃，Markov鏈長度k=200，降溫速度λ=0.98。當(dāng)溫度降低小于等于50 ℃時，進行第一次回火，升溫30 ℃；當(dāng)溫度第二次小于等于50 ℃時，進行第二次回火，升溫20 ℃。由于模擬退火算法是以概率為主要驅(qū)動的算法，其解具有一定隨機性，為減少這種隨機性帶來的誤差，將代碼重復(fù)運行20次，記錄各次結(jié)果并綜合各項考慮選擇最終優(yōu)化結(jié)果，各次運行結(jié)果如表3所示。

表3 模擬退火算法20次運行結(jié)果

續(xù)表

由表3中的數(shù)據(jù)分析可得，在第20組達到目標(biāo)函數(shù)最小的全局最優(yōu)解：

X=[zs,zp,zi,mn,β,b]T=[59,20,99,8,11,105]T

(16)

其程序運行示意圖如圖3所示。

(a) 局部最優(yōu)解的趨近情況 (b) 全局最優(yōu)解的趨近情況

(c) 退火溫度

對各參數(shù)和目標(biāo)函數(shù)值進行比較，結(jié)果如表4所示，可以發(fā)現(xiàn)計算安全系數(shù)方差顯著減小，基本上可以滿足各齒輪等強度。并且與單次模擬退火優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)更低，目標(biāo)函數(shù)值減少了36.16%。

表4 優(yōu)化前后參數(shù)對比

5 結(jié)論

本文提出了以安全系數(shù)的方差為目標(biāo)函數(shù)的2K-H

行星輪系的等強度優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，根據(jù)齒輪間約束條件利用模擬退火算法進行求解，得出以下結(jié)論：

(1)篩選出的優(yōu)化參數(shù)對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值明顯小于原始參數(shù)，表明各齒輪間的安全系數(shù)接近或趨于一致，能夠使壽命平均從而更加有效發(fā)揮各齒輪的性能，保證整體傳動系統(tǒng)的可靠性。

(2)通過與單次模擬退火算法優(yōu)化結(jié)果進行對比，三次模擬退火算法優(yōu)化結(jié)果中目標(biāo)函數(shù)值減少了36.16%，表明在退火過程中在適當(dāng)溫度下進行升溫可以避免算法陷入局部最優(yōu)解，從而更接近全局最優(yōu)解。