永磁同步直線電機(jī)自適應(yīng)反演滑?？刂?

李澤聲，賀云波，劉述進(jìn)，廖回隆，錢其豪

(廣東工業(yè)大學(xué)精密電子制造技術(shù)及裝備國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510006)

0 引言

目前數(shù)控機(jī)床、半導(dǎo)體封裝設(shè)備、檢測(cè)設(shè)備等自動(dòng)化設(shè)備正朝著高速高精度的方向發(fā)展，對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)提出了越來越高的要求。而傳統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)是旋轉(zhuǎn)電機(jī)加滾珠絲桿的驅(qū)動(dòng)方式，該驅(qū)動(dòng)方式因有聯(lián)軸器和滾珠絲桿等中間環(huán)節(jié)，那么就存在反向間隙和彈性變形等缺點(diǎn)，這都導(dǎo)致了傳統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)無法滿足高速高精度的加工要求[1]。直線電機(jī)的直接驅(qū)動(dòng)方式通過電能直接驅(qū)動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)，沒有中間傳動(dòng)環(huán)節(jié)和反向間隙，且直線電機(jī)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單緊湊、傳動(dòng)精度高、調(diào)速范圍寬[2]。

永磁同步直線電機(jī)(PMLSM)系統(tǒng)是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合的復(fù)雜系統(tǒng)，且系統(tǒng)本身容易受到系統(tǒng)參數(shù)變化、外界擾動(dòng)以及端部效應(yīng)等不確定因素的影響。滑?？刂剖且环N特殊的非線性控制策略，其根據(jù)當(dāng)前的狀態(tài)變量不斷地調(diào)整控制量，迫使響應(yīng)曲線跟蹤規(guī)劃曲線，且滑?？刂凭哂许憫?yīng)速度快、對(duì)外界動(dòng)不敏感等優(yōu)點(diǎn)。張育增等[3]提出了一種基于負(fù)載推力觀測(cè)器的新型變指數(shù)趨近律模糊滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，該方法的響應(yīng)速度快、魯棒性好且跟蹤誤差小。蘇普春等[4]針對(duì)直驅(qū)H型平臺(tái)設(shè)計(jì)了非奇異快速終端滑?？刂婆c交叉耦合控制的復(fù)合控制方法，該方法可以提高直驅(qū)H型平臺(tái)的位置跟蹤精度和同步控制精度，且魯棒性強(qiáng)。劉大偉[5]提出一種基于滑模變結(jié)構(gòu)控制方法的魯棒控制器，該控制器可以在較大的外界擾動(dòng)的情況下仍保持良好的跟蹤性能。劉正華等[6]提出了自適應(yīng)反演滑模神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法，該方法可以對(duì)存在多種不確定因素的仿真轉(zhuǎn)臺(tái)進(jìn)行較好的魯棒性控制?；酏埖萚7]提出一種反演滑模并行復(fù)合控制策略，對(duì)存在系統(tǒng)的參數(shù)變化及外界擾動(dòng)的情況下都可以實(shí)現(xiàn)魯棒控制。彭文典等[8]采用自適應(yīng)反演滑?？刂茖?duì)轉(zhuǎn)向電機(jī)進(jìn)行控制，在不同工況下都可以保證較高的控制精度和響應(yīng)速度。劉青等[9]提出了一種基于干擾觀測(cè)器的航向跟蹤自適應(yīng)反演滑?？刂扑惴?，可以對(duì)水下航行器在不同的水流干擾狀況下實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤。趙希梅等[10]提出了一種自適應(yīng)反推滑模控制和多階段速度規(guī)劃相結(jié)合的控制方法，該方法提高了PMLSM的響應(yīng)速度、跟蹤誤差及魯棒性，降低了超調(diào)量。

1 永磁同步直線電機(jī)數(shù)學(xué)模型

永磁同步直線電機(jī)系統(tǒng)是一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合、多變量的系統(tǒng)，為了簡(jiǎn)化分析，在建模前進(jìn)行以下假設(shè)[11]：

(1)忽略空間諧波，各相繞組的磁動(dòng)勢(shì)波形沿氣隙圓周正弦規(guī)律分布；

(2)忽略鐵心飽和，端部效應(yīng)；

(3)忽略渦流和磁滯損耗；

(4)忽略繞組電阻和氣隙磁場(chǎng)所受到的來自電流頻率和環(huán)境溫度的影響。

采用id=0的矢量控制方法，則永磁同步直線電機(jī)的電磁推力方程為：

(1)

永磁同步直線電機(jī)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程為：

(2)

式中，x為動(dòng)子的位移；v為動(dòng)子的速度；M為電機(jī)動(dòng)子及其所連接負(fù)載的總質(zhì)量；Bv為粘滯摩擦系數(shù)；Fl為總擾動(dòng)力。

2 加減速控制方法

加減速控制是數(shù)控系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的重要組成部分,是數(shù)控系統(tǒng)開發(fā)的關(guān)鍵技術(shù)之一[12]。自動(dòng)化設(shè)備要完成高速高精度的運(yùn)動(dòng)，一方面需要伺服系統(tǒng)的響應(yīng)速度快、定位時(shí)間短；另一方面還需要保證運(yùn)動(dòng)過程平穩(wěn)，不產(chǎn)生沖擊與殘余振動(dòng)，實(shí)現(xiàn)柔性加減速控制。常見的加減速控制方法有梯形加減速控制、指數(shù)加減速控制、三角函數(shù)加減速控制、S型加減速控制等。梯形加減速控制的算法簡(jiǎn)單、且計(jì)算量小，但存在加速度突變，會(huì)產(chǎn)生沖擊與殘余振動(dòng)，導(dǎo)致設(shè)備的使用壽命減短。指數(shù)加減速控制的算法復(fù)雜，因而需要的運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)，也存在加速度突變，導(dǎo)致產(chǎn)生沖擊與殘余振動(dòng)。三角函數(shù)加減速控制由于三角函數(shù)的運(yùn)算復(fù)雜，難以滿足系統(tǒng)的實(shí)時(shí)性要求，達(dá)不到響應(yīng)速度快的要求，滿足不了高速度、高加速度的運(yùn)動(dòng)要求。S型加減速控制根據(jù)速度表達(dá)式的最高階次不同可以分為二次多項(xiàng)式S型加減速控制、三次多項(xiàng)式S型加減速控制、四次多項(xiàng)式S型加減速控制等等。不同次數(shù)多項(xiàng)式的加減速控制算法的計(jì)算量各不相同，在實(shí)際運(yùn)用時(shí)應(yīng)當(dāng)根據(jù)伺服系統(tǒng)的運(yùn)算能力進(jìn)行選擇。

綜合不同的S型加減速控制方法的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種三次多項(xiàng)式S型速度規(guī)劃算法，該算法的計(jì)算量小，且可以保證速度和加速度連續(xù)光滑變化。

三次多項(xiàng)式S型速度規(guī)劃根據(jù)是否可以達(dá)到給定速度分為四段式三次多項(xiàng)式S型速度規(guī)劃和五段式三次多項(xiàng)式S型速度規(guī)劃。四段式三次多項(xiàng)式S型速度規(guī)劃如圖1所示，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程分為加加速段[0,t1]、減加速段[t1,t2]、加減速段[t2,t3]、減減速段[t3,t4]。五段式三次多項(xiàng)式S型速度規(guī)劃如圖2所示，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程分為加加速段[0,t1]、減加速段[t1,t2]、勻速段[t2,t3]、加減速段[t3,t4]、減減速段[t4,t5]。

圖1 四段式三次多項(xiàng)式S型速度規(guī)劃 圖2 五段式三次多項(xiàng)式S型速度規(guī)劃

在進(jìn)行速度規(guī)劃設(shè)計(jì)時(shí)，用戶需要先設(shè)置運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)位置Send、目標(biāo)速度Vmax和目標(biāo)加速度Amax，然后根據(jù)設(shè)置運(yùn)動(dòng)參數(shù)判斷是否存在勻速段，再根據(jù)設(shè)置運(yùn)動(dòng)參數(shù)和邊界條件計(jì)算出各個(gè)運(yùn)動(dòng)階段時(shí)間及推導(dǎo)出各個(gè)運(yùn)動(dòng)階段對(duì)應(yīng)的位置、速度、加速度和加加速度表達(dá)式。

若設(shè)置的運(yùn)動(dòng)參數(shù)關(guān)系式為：

(3)

當(dāng)設(shè)置的運(yùn)動(dòng)參數(shù)滿足式(3)時(shí)，此時(shí)速度規(guī)劃存在勻速段，即為五段式三次多項(xiàng)式S型速度規(guī)劃，則位置、速度、加速度、加加速度的表達(dá)式如下。

位置表達(dá)式為：

(4)

速度表達(dá)式為：

(5)

加速度表達(dá)式為：

(6)

加加速度表達(dá)式為：

(7)

式中，

(8)

3 自適應(yīng)反演滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

根據(jù)式(2)可得永磁同步直線電機(jī)的數(shù)學(xué)模型為：

(9)

F=ΔAx2+ΔBu+D+ΔD

(10)

定義位置跟蹤誤差為：

e1=x1-dr

(11)

式中，dr為規(guī)劃位置。

對(duì)位置跟蹤誤差求導(dǎo)可得速度誤差為：

(12)

定義穩(wěn)定函數(shù)為：

φ=ke1

(13)

式中，k>0。

定義：

(14)

定義李雅普諾夫函數(shù)為：

(15)

對(duì)式(15)求導(dǎo)得：

(16)

把式(13)代入式(16)得：

(17)

定義切換函數(shù)為：

s=ce1+e2

(18)

式中，c>0。

對(duì)式(18)求導(dǎo)得：

(19)

定義李雅普諾夫函數(shù)為：

(20)

對(duì)式(20)求導(dǎo)得：

(21)

由式(21)可得反演滑?？刂破鞯牡刃Э刂坡蔀椋?/p>

(22)

為了保證全局快速趨近滑模面，提高系統(tǒng)對(duì)外界擾動(dòng)和不確定因素的魯棒性，提出了一種基于冪指數(shù)的切換控制律，其表達(dá)式為：

(23)

式中，g>0；1>α>0。

因此，反演滑?？刂破鞯目刂坡蔀椋?/p>

(24)

將式(24)代入式(21)得：

(25)

取

(26)

由于

(27)

此時(shí)

(28)

由于

(29)

在實(shí)際的控制系統(tǒng)中，不確定因素總和F通常是未知的，且F的上界也難以精確確定到某一個(gè)值。因此采用自適應(yīng)算法對(duì)F進(jìn)行估計(jì)。

定義：

(30)

定義李雅普諾夫函數(shù)為：

(31)

式中，λ>0。

系統(tǒng)的不確定因素的總和F變化緩慢，則：

(32)

對(duì)式(31)求導(dǎo)得：

(33)

設(shè)計(jì)自適應(yīng)反演滑模控制律為：

(34)

(35)

將式(34)、式(35)代入式(33)得：

(36)

根據(jù)式(27)、式(36)可以化成：

(37)

因此，自適應(yīng)反演滑模控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

為了減小抖振現(xiàn)象，用sigmoid函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，式(34)可改為：

(38)

式中，sigmoid函數(shù)為：

(39)

式中，a>0。

4 仿真與結(jié)果分析

電機(jī)的參數(shù)為Kf=52.3 N/A，M=5 kg，Bv=0.6 N/(m/s)。在MATLAB中的simulink仿真環(huán)境下建立基于自適應(yīng)反演滑模控制器(ABSMC)的PMLSM的伺服系統(tǒng)仿真模型。采用所設(shè)計(jì)的三次多項(xiàng)式S型速度規(guī)劃，設(shè)置規(guī)劃位置為12 mm，加速度為100 m/s2。

PID與ABSMC的位置響應(yīng)曲線如圖3所示，PID與ABSMC的位置跟蹤誤差如圖4所示。PID與ABSMC的運(yùn)動(dòng)性能對(duì)比如表1所示。由圖3可得，PID上升時(shí)間比ABSMC快1.5 ms，但超調(diào)量比ABSMC大一倍，因此總體而言ABSMC的響應(yīng)性能更好。PID的調(diào)整時(shí)間比ABSMC長(zhǎng)，即PID定位時(shí)間長(zhǎng)。由圖4可得，ABSMC的最大動(dòng)態(tài)誤差比PID小，即ABSMC的跟蹤性能好；ABSMC的穩(wěn)態(tài)誤差比PID小，即ABSMC穩(wěn)態(tài)時(shí)的振動(dòng)小。

圖3 PID與ABSMC的位置響應(yīng)曲線 圖4 PID與ABSMC的位置跟蹤誤差

表1 PID與ABSMC的運(yùn)動(dòng)性能對(duì)比

在上個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)的條件下，在0.11 s時(shí)給系統(tǒng)加入60 N的干擾并持續(xù)0.01 s，則得到加入60 N干擾后PID與ABSMC的位置響應(yīng)曲線如圖5所示，加入60 N干擾后PID與ABSMC的位置跟蹤誤差如圖6所示。

圖5 加入60 N干擾后PID與ABSMC的位置響應(yīng)曲線 圖6 加入60 N干擾后PID與ABSMC的位置跟蹤誤差

由圖5和圖6可得，加入60 N干擾后，PID的最大位置跟蹤誤差為18.7 μm，ABSMC的最大位置跟蹤誤差為3.5 μm。與PID相比，ABSMC在受到外界干擾后能在更短的時(shí)間內(nèi)恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)，且受到外界干擾時(shí)的位置跟蹤誤差更小，即ABSMC的魯棒性更強(qiáng)。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)反演滑?？刂破鞯目刂菩阅埽罱烁咚俑呔鹊腦Y平臺(tái)，該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)由本實(shí)驗(yàn)室團(tuán)隊(duì)自主研發(fā)的永磁同步直線電機(jī)、固高的GHN系列控制卡、固高的GTHD系列驅(qū)動(dòng)器、海德漢的LIDA477系列讀數(shù)頭組成。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖7所示。

圖7 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

設(shè)置規(guī)劃位置為4 mm，加速度為20 m/s2。PID與ABSMC的位置響應(yīng)曲線如圖8所示，PID與ABSMC的位置跟蹤誤差如圖9所示。PID與ABSMC的運(yùn)動(dòng)性能對(duì)比如表2所示。

表2 PID與ABSMC的運(yùn)動(dòng)性能對(duì)比

圖8 PID與ABSMC的位置響應(yīng)曲線 圖9 PID與ABSMC 的位置跟蹤誤差

由圖8可得，PID上升時(shí)間比ABSMC快0.9 ms，但超調(diào)量比ABSMC大了75%，因此總體而言ABSMC的響應(yīng)性能更好。PID調(diào)整到±2 μm時(shí)間比ABSMC長(zhǎng)，即PID定位時(shí)間長(zhǎng)。由圖9可得，ABSMC的最大動(dòng)態(tài)誤差比PID小，即ABSMC的跟蹤性能好；ABSMC的穩(wěn)態(tài)誤差帶與PID一樣。因此，與PID相比，ABSMC的響應(yīng)性能和跟蹤性能更好，定位時(shí)間短。

6 結(jié)論

本文采用三次多項(xiàng)式S型速度規(guī)劃作為伺服系統(tǒng)的位置指令輸入，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)反演滑模控制器。仿真與實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，與PID控制相比，自適應(yīng)反演滑?？刂破鞯捻憫?yīng)時(shí)間較短且超調(diào)量小、最大動(dòng)態(tài)誤差小、調(diào)整時(shí)間短、受外界干擾后可以迅速恢復(fù)穩(wěn)態(tài)，即自適應(yīng)反演滑?？刂破骶哂休^好的響應(yīng)性能、跟蹤性能、定位性能，魯棒性強(qiáng)。由于采用sigmoid函數(shù)替代符號(hào)函數(shù)，該控制器也很好地抑制了滑?？刂乒逃械亩墩瘳F(xiàn)象。因此，自適應(yīng)反演滑?？刂破骺梢詽M足自動(dòng)化設(shè)備的高速高精度的運(yùn)動(dòng)要求。