設(shè)置連接阻尼器的相鄰結(jié)構(gòu)隨機地震動響應的簡明封閉解

李創(chuàng)第， 楊雪峰， 李宇翔， 葛新廣

(廣西科技大學 土木建筑工程學院，柳州 545006)

1 引 言

地震災害調(diào)查研究表明[1-3]，相鄰建筑結(jié)構(gòu)在地震激勵作用下發(fā)生碰撞導致結(jié)構(gòu)構(gòu)件的破壞甚至整體倒塌的問題日益凸顯，引發(fā)了專家學者的廣泛關(guān)注[4-6]。Wu等[7]對相鄰建筑間設(shè)置粘滯流體阻尼器的組合體系動力性能進行了研究，研究表明相鄰結(jié)構(gòu)間設(shè)置粘滯流體阻尼器具有良好的減震效果。劉佩等[8]對考慮碰撞效應的相鄰框架結(jié)構(gòu)易損性進行了研究，研究表明碰撞對結(jié)構(gòu)的局部響應影響較大。劉紹峰等[9]對連接粘滯阻尼器的相鄰結(jié)構(gòu)進行了振動臺試驗研究，研究表明連接阻尼器對相鄰結(jié)構(gòu)地震反應具有一定的控制作用。Hao等[10]對相鄰結(jié)構(gòu)間連接調(diào)諧粘滯質(zhì)量阻尼器進行了研究，發(fā)現(xiàn)調(diào)諧粘滯質(zhì)量阻尼器具有良好的減震性能。在抗震設(shè)計中層間位移大小決定了結(jié)構(gòu)內(nèi)力的大小，以上研究未能給出層間位移的表達式，因此，對結(jié)構(gòu)層間位移的研究具有重要的工程意義。

地震動觀測表明，地震動是一種隨機過程。工程界已提出了多種隨機激勵模型，如Kanai-Tajimi譜[11,12]、Clough-Penzien譜[13]和歐進萍譜[14]等。Kanai-Tajimi譜將場地土表層的震動看做場地土對下臥層基巖的震動過濾而來，而基巖具有白噪聲隨機過程的震動，是其他更復雜隨機地震動模型的基礎(chǔ)。結(jié)構(gòu)隨機地震動響應分析方法主要有時域法和頻域法[15,16]。時域法應用的前提[17,18]是隨機激勵模型具有協(xié)方差函數(shù)，Kanai-Tajimi雖然具有協(xié)方差表達式，但是獲得的地震動響應表達式復雜。而頻域法則是利用結(jié)構(gòu)響應功率譜密度函數(shù)等于結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)模值的平方與地震動激勵功率譜的代數(shù)乘積，該方法的不足之處是工程應用時需先得到結(jié)構(gòu)的響應方差和譜矩，而要獲得這些物理量需要對響應功率譜密度函數(shù)進行積分處理，其精度和效率受積分區(qū)間與積分步長的選取影響較大[19]。XU等[20]研究了在相鄰結(jié)構(gòu)設(shè)置主動控制下的組合體系基于Kanai-Tajimi譜隨機激勵下的封閉解，但表達式較為復雜。葛新廣等[17,18]利用Kanai-Tajimi譜的濾波方程與結(jié)構(gòu)的地震動方程重構(gòu)，從而將結(jié)構(gòu)的地震動方程轉(zhuǎn)化為易于獲得封閉解的白噪聲激勵，從時域法與頻域法聯(lián)合應用的角度獲得了結(jié)構(gòu)位移及層間位移的0階～2階譜矩的簡明封閉解。

本文對Kelvin型粘彈性阻尼器連接的相鄰結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi譜地震動激勵下的結(jié)構(gòu)系列響應方差和0階～2階譜矩進行了研究，提出了一種簡明解法。首先，利用Kanai-Tajimi譜的濾波方程與組合體結(jié)構(gòu)的運動方程聯(lián)立，將復雜的隨機地震動模型精確轉(zhuǎn)化為白噪聲激勵模型；其次，利用復模態(tài)法獲得了組合體結(jié)構(gòu)位移及層間位移等系列響應時域解的統(tǒng)一簡明表達式；然后，基于時域法與頻域法聯(lián)合應用獲得了組合體結(jié)構(gòu)相對于地面的絕對位移和層間相對位移的0階～2階譜矩的簡明封閉解。

2 組合體結(jié)構(gòu)地震動方程的重構(gòu)

兩相鄰結(jié)構(gòu)通過Kelvin型粘彈性阻尼器進行連接形成組合體結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)計算簡圖和Kelvin型粘彈性阻尼器本構(gòu)模型分別如圖1和圖2所示，其左側(cè)及右側(cè)結(jié)構(gòu)的運動方程分別為

(1)

(2)

圖1 結(jié)構(gòu)計算簡圖

圖2 Kelvin型粘彈性阻尼器本構(gòu)模型

式中O1L為JL-1個元素均為0的行向量，O2 L為nL-JL個元素均為0的行向量，O1 R為JR-1個元素均為0的行向量，O2 R為nR-JR個元素均為0的行向量，JL和JR分別為左右側(cè)結(jié)構(gòu)連接樓層號，T為向量轉(zhuǎn)置。

將式(1，2)聯(lián)立，則組合體系的地震動方程為

(3)

式中

式中o1為nL×nR階矩陣，內(nèi)部各元素均為0，組合體中設(shè)置阻尼器的左側(cè)與右側(cè)樓層的剛度及阻尼系數(shù)分別為kL,JLJL=kL,JL+kL,JL+ 1+kd，kR,JRJR=kR,JR+kR,JR+ 1+kd，其中,kL,JLJL和kR,JRJR分別為左右側(cè)結(jié)構(gòu)剛度矩陣的對角線元素；cL,JLJL=cL,JL+cL,JL+1+cd，cR,JRJR=cR,JR+cR,JR+ 1+cd，其中，cL,JLJL和cR,JRJR分別為左右側(cè)結(jié)構(gòu)阻尼矩陣中的對角線元素。組合體中未設(shè)置阻尼器的左側(cè)與右側(cè)樓層的剛度及阻尼系數(shù)分別為kL,i i=kL,i+kL,i + 1，kR,i i=kR,i+kR,i + 1；cL,i i=cL,i+cL,i + 1，cR,i i=cR,i+cR,i + 1。Cd和Kd為輔助矩陣，其中，Cd(JL,JR)=-cd，Kd(JL,JR)=-kd，其余元素均為0。

Kanai-Tajimi模型的濾波方程為[11,12,17,18]

(4a,4b)

CüR(τ)=2πS0δ(τ)

(5)

式中S0為地震動強度常數(shù),δ(τ)為Dirac函數(shù)。

聯(lián)立式(3，4)，并用狀態(tài)方程表示

(6,7)

q=2nL+2nR+2

式中o2為(nL+nR)個元素為0的行向量，o3為元素為0的(nL+nR)階方陣，E為(nL+nR)階單位對角陣。

3 地震動方程的復模態(tài)解耦

根據(jù)復模態(tài)理論[15,17-19]，存在特征值矩陣P、右特征向量矩陣U和左特征向量矩陣V，對式(6)復模態(tài)解耦，即存在

(8)

式中P為對角陣。

利用復模態(tài)變換

y=Uz

(9)

式中z為復模態(tài)變量。

將式(9)代入式(6)，利用復模態(tài)理論，式(6)可改寫為

(10)

式中

(11)

由于P為對角陣，故式(10)的分量表達式為

(j=1,2,…,q)(12)

(j=1,2,…,q)(13)

4 組合體結(jié)構(gòu)地震動響應的統(tǒng)一解

對組合體結(jié)構(gòu)各層相對于地面的地震動位移和層間地震動變形的分析是工程結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計的重要環(huán)節(jié)；而結(jié)構(gòu)層相對于地面的地震動速度(絕對速度)和層間速度是結(jié)構(gòu)抗震動力可靠度分析的基礎(chǔ)。由此，本文研究了上述參數(shù)的統(tǒng)一解。

4.1 組合體結(jié)構(gòu)地震動響應的絕對速度與位移

(14a)

(14b)

式中j=1～nL+nR(當j=1～nL時為組合體系中左側(cè)的結(jié)構(gòu)，當j=nL+1～nL+nR時為組合體系中右側(cè)的結(jié)構(gòu))，uj為右特征向量矩陣U的第j行向量；動力響應的模態(tài)強度系數(shù)λj,i為

(15)

式中uj,i為uj的第i個分量。

4.2 組合體結(jié)構(gòu)的層間位移與層間速度

(16a)

ΔxL,j=(uj-uj - 1)z=

(16b)

(16c)

式中j=2～nL。

(17)

(18a)

ΔxR,j=(unL+ j-unL+ j - 1)z=

(18b)

(18c)

式中j=2～nR。

(19)

由式(10，16，18)可得，結(jié)構(gòu)各層位移及其速度、層間位移及其速度可統(tǒng)一表示為

(20)

式中X(t)為地震動響應量;κi為響應量對應的模態(tài)強度系數(shù)，不同的響應量分別見式(14，16～19)；Xi(t)分量形式如下,

(i=1～q)(21)

5 地震動系列響應的簡明封閉解

5.1 組合體結(jié)構(gòu)地震動響應的協(xié)方差

由隨機振動理論及式(20)，結(jié)構(gòu)地震動響應X的協(xié)方差為

CX(τ)=E[X(t)X(t+τ)]=

(22)

式中E[·]為數(shù)學期望。

由式(21)可知結(jié)構(gòu)地震動響應的分量的協(xié)方差為

E[Xk(t)Xi(t+τ)]=κkκi×

(23)

式中u和v為積分變量。

把式(5)代入式(23)，得

E[Xk(t)Xi(t+τ)]=2πS0κkκi×

(24)

利用Dirac函數(shù)的性質(zhì)，式(24)簡化為

(25)

對式(25)積分可得

(26)

由式(22,26)，組合體結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi譜的動力響應的協(xié)方差為

(27)

由式(27)可知，組合體結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi譜隨機激勵的動力響應的協(xié)方差可用耗能體系的震動復特征值函數(shù)的線性組合表示，表達式簡潔明了，且為模態(tài)的完全組合解。

(28)

由隨機振動理論，結(jié)構(gòu)動力響應的單邊功率譜與協(xié)方差存在Wiener-Khinchin關(guān)系[15]，即

(29)

式中SX(ω)為結(jié)構(gòu)響應X的功率譜。

把式(27)代入式(29)并積分，可得

(30)

5.2 組合體結(jié)構(gòu)地震動響應0階～2階譜矩的簡明封閉解

由平穩(wěn)激勵的譜矩[15]定義，地震動響應的0階譜矩αX，0為

(31)

對式(31)進行積分運算，可得

(32)

由隨機振動理論，結(jié)構(gòu)隨機地震動響應的0階譜矩等于其方差，比較式(28，32)，可知本文方法計算0階譜矩的正確性。

由隨機振動理論[15,19]，平穩(wěn)地震動響應變化率的0階譜矩等于其平穩(wěn)響應的2階譜矩。因此，組合體系響應的2階譜矩可由對應響應量的變化率的0階譜矩表示，即

(33)

組合體系響應的一階譜矩[15]為

(34)

由文獻[17,18]，譜矩αX,1可表示為

(35)

根據(jù)式(14～19，32，33，35)，組合體結(jié)構(gòu)的地震動響應的0階～2階譜矩均有簡明封閉解。

6 算 例

一鋼筋混凝土組合體結(jié)構(gòu)，左側(cè)結(jié)構(gòu)(主結(jié)構(gòu))樓層數(shù)為10層，右側(cè)結(jié)構(gòu)(相鄰結(jié)構(gòu))為6層，左右側(cè)結(jié)構(gòu)層高均為3.6 m，兩建筑結(jié)構(gòu)均在6層設(shè)置粘彈性阻尼器相連接。左側(cè)結(jié)構(gòu)各層質(zhì)量均為 1.5×105kg，各層抗側(cè)剛度均為1.67×107N/m；右側(cè)結(jié)構(gòu)各層質(zhì)量均為0.9×105kg，各層抗側(cè)剛度為2.04×107N/m；結(jié)構(gòu)阻尼采用瑞雷阻尼模型，阻尼比0.05。粘彈性阻尼器采用Kelvin模型，其力學參數(shù)為kd=1.0×106N/m，cd=1.0×105N·s/m。Kanai-Tajimi隨機激勵模型的參數(shù)為ωg=25.13 rad/s，ξg=0.64，S0=23.17×10-4m2/s3。

6.1 功率譜對比分析

由式(3)可知，基于虛擬激勵的結(jié)構(gòu)響應的頻域解為

(36)

式中

x(ω)={xL,1(ω),…,xL,nL(ω),xR,1(ω),…,xR,nR(ω)}T

結(jié)構(gòu)層間位移的頻響域解Δx(ω)可以表示為

Δx(ω)={xL,1(ω),xL,2(ω)-xL,1(ω),…,

xL,nL(ω)-xL,nL- 1(ω),xR,1(ω),

xR,2(ω)-xR,1(ω),…,

xR,nL(ω)-xR,nL- 1(ω)}

則基于虛擬激勵法的結(jié)構(gòu)響應功率譜為

(37)

為驗證本文方法的正確性，分別將本文方法獲得功率譜密度函數(shù)與Kanai-Tajimi譜功率譜密度函數(shù)及虛擬激勵法獲得的結(jié)構(gòu)位移及結(jié)構(gòu)層間位移功率譜密度函數(shù)進行了對比。

從圖3和圖4可以看出，兩種方法獲得的功率譜密度函數(shù)值完全重合，驗證了本文方法計算功率譜密度函數(shù)的正確性。虛擬激勵法的功率譜密度函數(shù)為式(37)，每給定圓頻率變量ω，均需要進行矩陣運算，而本文方法的功率譜密度函數(shù)為式(30)，僅需要在求解組合體系運動方程的特征值及響應系數(shù)時進行一次矩陣運算。

圖3 左側(cè)10層結(jié)構(gòu)位移功率譜

structure on the left

圖4 右側(cè)6層層間位移功率譜對比

6.2 本文方法精度及效率分析

為了驗證本文所提組合體系響應方差和譜矩封閉解的正確性，與虛擬激勵法進行了對比分析。由式(37)可知，虛擬激勵法的結(jié)構(gòu)響應功率譜無顯示表達式，而隨機振動中的0階～2階譜矩是對功率譜的積分，故虛擬激勵法譜矩的計算只能采用梯形數(shù)值積分的方法進行，譜矩的計算結(jié)果受積分步長的影響較大。

從圖5～圖7可以看出，隨著虛擬激勵法積分步長的逐漸變小，虛擬激勵法計算結(jié)果逐漸逼近本文方法，在理論上說明本文方法的正確性。

圖5 積分步長對左側(cè)結(jié)構(gòu)位移0階譜矩的影響分析

圖6 積分步長對左側(cè)結(jié)構(gòu)位移1階譜矩的影響分析

圖7 積分步長對左側(cè)結(jié)構(gòu)位移2階譜矩的影響分析

6.3 組合體結(jié)構(gòu)設(shè)置阻尼裝置前后減震效果對比

為驗證相鄰結(jié)構(gòu)設(shè)置粘彈性阻尼器的減震效果，圖8和圖9給出了設(shè)置粘彈性阻尼器前后的位移及層間位移變化情況；圖10和圖11給出了設(shè)置粘彈性阻尼器前后的層間剪力及層間位移角對比分析。

從圖8可以看出，設(shè)置粘彈性阻尼器的組合體結(jié)構(gòu)能有效降低相鄰結(jié)構(gòu)在地震作用下的相對應地面的絕對位移，左側(cè)結(jié)構(gòu)頂端位移減少12.7%，右側(cè)結(jié)構(gòu)頂端位移減少15.8%。從圖9可以看出，當連接阻尼器設(shè)置在第6層時，左側(cè)結(jié)構(gòu)連接層以下的層間位移減小幅度較大，但連接層以上的層間位移出現(xiàn)少許增大；右側(cè)結(jié)構(gòu)1層～4層層間位移減小明顯，但6層層間位移出現(xiàn)少許增大。從圖9和圖10可以看出，層間剪力及層間彈性角的變化趨勢與層間位移一致。因此，相鄰結(jié)構(gòu)設(shè)置連接阻尼裝置時應對層間位移進行綜合評估來確定，以確保低層結(jié)構(gòu)的安全。從圖11可以看出，左右側(cè)建筑結(jié)構(gòu)的最大層間位移角發(fā)生在底層。設(shè)置阻尼器之前左側(cè)結(jié)構(gòu)1層的層間位移角為0.00737，未滿足現(xiàn)行高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程的規(guī)范值；而設(shè)置阻尼器之后層間位移角最大為0.00626，小于規(guī)范值。右側(cè)結(jié)構(gòu)設(shè)置阻尼器前后層間位移角均滿足現(xiàn)行規(guī)范要求，但設(shè)置阻尼器之后，層間位移角明顯減小。

圖8 左右側(cè)結(jié)構(gòu)減震前后絕對位移對比分析

圖9 左右側(cè)結(jié)構(gòu)減震前后層間位移對比分析

圖10 左右側(cè)結(jié)構(gòu)減震前后層間剪力對比分析

圖11 左右側(cè)結(jié)構(gòu)減震前后層間位移角對比分析

7 結(jié) 論

本文針對相鄰建筑結(jié)構(gòu)設(shè)置Kelvin型粘彈性阻尼器組成的組合體結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi譜的相對于地面的絕對位移、層間位移等系列響應的簡明封閉解進行了研究，獲得如下結(jié)論。

(1) 本文利用Kelvin型粘彈性阻尼器的微分型本構(gòu)關(guān)系及Kanai-Tajimi譜的濾波方程，與相鄰結(jié)構(gòu)的運動方程聯(lián)合建立全微分型且易于獲得簡明解的白噪聲激勵的地震動方程；利用復模態(tài)方法獲得組合體系的位移、層間位移的方差和0階～2階譜矩的簡明統(tǒng)一解。

(2) 通過與虛擬激勵法對比分析，驗證了本文所提的結(jié)構(gòu)系列響應的方差和0階～2階譜矩的簡明封閉解的正確性，避免了虛擬激勵法通過試算才能獲得結(jié)構(gòu)響應方差和譜矩高精度解的缺點，因此，本文方法更為簡便且具有較高的精度及效率。

(3) 通過對兩相鄰結(jié)構(gòu)設(shè)置連接阻尼裝置前后的結(jié)果對比，說明設(shè)置連接阻尼裝置對相鄰結(jié)構(gòu)具有良好的減震效果，降低了地震作用下結(jié)構(gòu)碰撞發(fā)生的概率，但某些樓層的層間位移和層間剪力可能增大，故需對結(jié)構(gòu)層間位移進行綜合評估。