非線性分?jǐn)?shù)階積分微分方程邊值問(wèn)題正解的存在性

楊曉瑩, 賈 梅, 劉錫平

(上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093)

0 引言

近年來(lái)，由于分?jǐn)?shù)階微分方程廣泛應(yīng)用于生物數(shù)學(xué)、信號(hào)識(shí)別、化學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域，受到了廣泛關(guān)注[1–8]。由于邊值問(wèn)題在流體力學(xué)、氣體湍流、熱傳導(dǎo)以及電學(xué)等許多問(wèn)題上有著廣泛應(yīng)用[9–10]，微分方程邊值問(wèn)題成為微分方程理論研究中的一個(gè)基本問(wèn)題。因此，對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的研究受到學(xué)者們的重視[1,11–17]，關(guān)于分?jǐn)?shù)階積分微分方程邊值問(wèn)題正解的研究也取得了許多有意義的研究成果[1,14–17]。

本文研究如下具有兩個(gè)Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的非線性分?jǐn)?shù)階積分微分方程積分邊值問(wèn)題

1) 對(duì)所有的u,v ∈R, f(·,u,v)均可測(cè)；

2) 對(duì)幾乎所有的t ∈[0,1], f(t,·,·)連續(xù)；

3) 對(duì)每個(gè)r> 0，都存在非負(fù)函數(shù)Φr ∈Lq[0,1]，使得當(dāng)|u|,|v|∈[0,r]且?guī)缀跆幪巘 ∈[0,1]時(shí)，有

上下解方法和單調(diào)迭代理論是研究微分方程邊值問(wèn)題解的存在性的有效方法[18–23]。當(dāng)所研究的問(wèn)題只含有一個(gè)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)，可以通過(guò)對(duì)原問(wèn)題定義的上下解獲得解的存在性。當(dāng)微分方程中含有兩個(gè)或兩個(gè)以上相互獨(dú)立的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)，直接定義上下解會(huì)遇到諸多麻煩。為了解決涉及兩個(gè)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的問(wèn)題直接定義上下解的困難，本文首先通過(guò)一個(gè)變換，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的等價(jià)形式，再定義等價(jià)問(wèn)題的上下解，利用單調(diào)迭代技術(shù)建立了原問(wèn)題正解的存在性與唯一性定理，給出了求唯一正解的迭代格式和誤差估計(jì)。最后，給出實(shí)例說(shuō)明所得結(jié)論的有效性和適用性。

1 預(yù)備知識(shí)

下面介紹本文所要用到的一些定義和引理。

定義1[1]函數(shù)y:(0,∞)→R 的γ>0 階Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)積分定義為

則(E,//·//)是Banach 空間。

定義3 設(shè)u ∈E，若u=u(t)滿足邊值問(wèn)題(1)，則稱u是邊值問(wèn)題(1)的一個(gè)解。若當(dāng)t ∈(0,1]時(shí)，u(t)≥0，則稱u是邊值問(wèn)題(1)的一個(gè)正解。

本文總假設(shè)下列條件成立：

(H1) 存在非負(fù)函數(shù)b1,b2∈C[0,1]，使得對(duì)任意的t ∈[0,1], u ∈R，有

(H2) 存在r>0, ψr ∈L1[0,1]，當(dāng)|u|∈[0,r]時(shí)，使得對(duì)幾乎處處的t ∈[0,1]，有

因此，將c1、c2代入(8)式可得，當(dāng)t ∈(0,1]時(shí)，有

同理可證，對(duì)任意的t,s ∈[0,1]，有

2 正解的存在唯一性

令P={u:u ∈E,t2?βu(t)≥0, t ∈[0,1]}，顯然P ?E為一個(gè)錐，即對(duì)任意的x,y∈E, x ?y，當(dāng)且僅當(dāng)y ?x ∈P。于是(E,?)為半序的Banach 空間。

定義4 如果x ∈P滿足

假設(shè)：

(H3) 對(duì)任意的u1,u2,v1,v2∈[0,+∞)，當(dāng)u1≤u2, v1≤v2時(shí)，對(duì)任意的t ∈[0,1]，都有

0≤f(t,u1,v1)≤f(t,u2,v2),0≤h(t,u1)≤h(t,u2),0≤g(t,u1)≤g(t,u2).

定理1 假設(shè)條件(H3)成立，邊值問(wèn)題(2)存在一個(gè)下解x0∈P和一個(gè)上解y0∈P，且滿足x0? y0。記序區(qū)間D= [x0,y0] ={u ∈P|x0?u ?y0}，則邊值問(wèn)題(1)在D中存在最小正解和最大正解。

故可得函數(shù)列{xm}，且xm=xm(t)(m= 1,2,···)是邊值問(wèn)題(2)的下解，xm?1?xm，所以{xm}是單調(diào)增序列。

類似，以y0=y0(t)作為迭代的初始函數(shù)，則有

因?yàn)镚(t,s)、G1(t,s)在[0,1]×[0,1]上連續(xù)，則t2?βG(t,s)、t2?βG1(t,s)在[0,1]×[0,1]上一致連續(xù)。因此，對(duì)任意的ε> 0，存在δ> 0，使得對(duì)所有的t1,t2,s ∈[0,1]，當(dāng)|t1?t2|<δ時(shí)，有

所以序列{xm}是等度連續(xù)的。類似可證明，序列{ym}是等度連續(xù)的。

由Arz′ela-Ascoli 定理可知，序列{xm}和{ym}是相對(duì)列緊的。而序列{xm}和{ym}又是單調(diào)的，則存在x?和y?，使得

故有x0?x??y??y0。

4) 證明x?和y?是邊值問(wèn)題(1)的解。由(13)式及Lebesgue 控制收斂定理，可得

所以x?是積分方程(5)的解。由引理3 及引理4 可得，x?是邊值問(wèn)題(1)的解。同理可得，y?也是邊值問(wèn)題(1)的解。

5) 證明x?和y?分別是邊值問(wèn)題(1)在D中的最小正解和最大正解。設(shè)z?∈D是邊值問(wèn)題(2)的解，則x0?z??y0。

假設(shè)xm?1?z??ym?1，所以對(duì)任意的t ∈(0,1]，有xm?1(t)≤z?(t)≤ym?1(t)。根據(jù)引理5 及假設(shè)(H3)，可得

即xm ?z?。

類似可證得z??ym。因此，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可得xm ?z??ym(m=0,1,···)。

令m →∞，可得x??z??y?，所以x?是邊值問(wèn)題(1)在D中的最小正解，y?是邊值問(wèn)題(1)在D中的最大正解。

綜上所述，定理1 得證。

定理2 假設(shè)定理1 的條件成立，并且滿足條件：

(H4) 存在常數(shù)M1,M2,M3,M4>0，使得對(duì)任意的v1,v2∈[x0,y0]，當(dāng)v1?v2時(shí)，對(duì)任意的t ∈(0,1]，有

對(duì)任意的u0∈[x0,y0]，則x0?u0?y0。由(17)式和(H3)，利用數(shù)學(xué)歸納法易得xm?um ?ym，則對(duì)任意的t ∈[0,1]，有

綜上所述，定理2 得證。

3 應(yīng)用舉例

為了說(shuō)明我們所得結(jié)論的有效性和適用性，考慮下列非線性分?jǐn)?shù)階積分微分方程邊值問(wèn)題

故易知f滿足Lq-Carath′eodory 條件。

于是，假設(shè)(H1)、(H2)成立。

根據(jù)引理3，邊值問(wèn)題(18)等價(jià)于邊值問(wèn)題

所以x0、y0分別是邊值問(wèn)題(19)的下解和上解，且滿足x0?y0。

對(duì)任意的u1,u2,v1,v2∈[0,+∞)，當(dāng)u1≤u2, v1≤v2時(shí)，對(duì)任意的t ∈[0,1]，有

所以滿足(H3)。

由以上討論，定理1 的條件成立。由定理1 可得，存在x?,y?∈P，使得x?是邊值問(wèn)題(18)在D中的最小正解，y?是邊值問(wèn)題(18)在D中的最大正解。另一方面，取

當(dāng)?shù)?0 次時(shí)，誤差不超過(guò)0.08，而迭代20 次時(shí)，誤差不超過(guò)0.000 18。