帶有非奇異核分?jǐn)?shù)階差分方程的比較原理及解的不確定性分布

陳雨婷, 李曉艷, 王雪芹

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

0 引言

分?jǐn)?shù)階微積分起源于1695 年左右，由于其應(yīng)用的廣泛，分?jǐn)?shù)階微積分和分?jǐn)?shù)階微分方程得到了迅速發(fā)展，如熱系統(tǒng)、動力系統(tǒng)、物理學(xué)等應(yīng)用領(lǐng)域[1–3]。因此，受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。隨著分?jǐn)?shù)微分方程理論的發(fā)展，文獻(xiàn)[4—7]對分?jǐn)?shù)階差分方程進(jìn)行了更深入的研究。一些學(xué)者致力于分?jǐn)?shù)階差分方程的應(yīng)用，文獻(xiàn)[8—9]研究了分?jǐn)?shù)階差分方程的初值問題，文獻(xiàn)[10—11]分別討論了不同類型分?jǐn)?shù)階差分方程的穩(wěn)定性問題。在文獻(xiàn)[12]中，作者研究了分?jǐn)?shù)階差分方程正解的存在性。最近，Abdeljawad 和Baleanu[13]提出了具有Mittag-Leffler 核的ABR 型分?jǐn)?shù)階差分算子的定義。之后，ABR 型分?jǐn)?shù)階差分算子的許多基本性質(zhì)和結(jié)果被給出，例如，文獻(xiàn)[14]研究了離散Mittag-Leffler 核的分?jǐn)?shù)階差分方程的初值問題；文獻(xiàn)[15]討論了ABC 型分?jǐn)?shù)階差分算子的單調(diào)性和均值定理。此外，在文獻(xiàn)[16]中，Abdeljawad 進(jìn)一步提出了具有Mittag-Leffler 核的高階分?jǐn)?shù)階差分算子。

另一方面，學(xué)者們研究了不同類型方程的比較原理，例如，文獻(xiàn)[17]討論了Riemann-Liouville 型分?jǐn)?shù)階微分方程的比較定理；Denton 和Vatsala[18]以積分不等式的形式給出了此定理；文獻(xiàn)[19]研究了分?jǐn)?shù)階微分方程的比較定理；文獻(xiàn)[20—21]推導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)階微分方程的比較定理。此外，文獻(xiàn)[22]給出了以下方程的比較定理

Liu 在文獻(xiàn)[23—24]中分別提出了不確定性理論和不確定性微分方程的概念，它們通常用于描述隨時間演化的不確定性動力系統(tǒng)，學(xué)者們無論是在理論，還是應(yīng)用中都討論了不確定性微分方程[25–28]。近年來，文獻(xiàn)[29]通過比較原理提供了一種求解不確定分?jǐn)?shù)微分方程的數(shù)值方法，并在文獻(xiàn)[30]中引入了不確定性分?jǐn)?shù)階微分方程的定義。此外，文獻(xiàn)[31]提出了一種Riemann-Liouville 型分?jǐn)?shù)階方程的比較定理，并應(yīng)用此定理建立了不確定性分?jǐn)?shù)階微分方程和分?jǐn)?shù)階微分方程之間的關(guān)系。因此，在以往結(jié)論的啟發(fā)下，本文的目的是利用ABR 型分?jǐn)?shù)差分方程的比較定理給出ABR 型分?jǐn)?shù)階差分方程和其對應(yīng)的不確定性分?jǐn)?shù)階差分方程之間的聯(lián)系。

本文結(jié)構(gòu)如下：第1 節(jié)介紹了分?jǐn)?shù)階微積分和ABR 型分?jǐn)?shù)階差分的基本定義；第2 節(jié)給出了ABR 型分?jǐn)?shù)階差分方程的比較定理；基于第2 節(jié)的比較定理，在第3 節(jié)建立了ABR 型不確定性分?jǐn)?shù)階差分方程的解與ABR 型分?jǐn)?shù)階差分方程的解之間的關(guān)系，并舉例闡述了定理的正確性；第4 節(jié)給出了具有對稱的不確定性變量的ABR 型不確定性分?jǐn)?shù)階差分方程解的不確定性分布。

1 預(yù)備知識

本節(jié)將介紹在整篇論文中用到的離散型分?jǐn)?shù)階積分的一些基本定義和結(jié)論。另外，在本文中我們記：Na={a,a+1,···}，其中a ∈R, aN={··· ,b ?1,b}，其中b ∈R。

定義1(離散型分?jǐn)?shù)階和分)[13]設(shè)ρ(t) =t ?1 為向后跳躍算子，0<β< 1，函數(shù)f:Na →R，則離散型β階和分的定義如下

定義2(雙參數(shù)離散的Mittag-Leffler 函數(shù))[13]對于λ ∈R,|λ|< 1，β,γ,z ∈C，Re(β)>0，雙參數(shù)離散的Mittag-Leffler 函數(shù)定義如下

引理1 離散的Mittag-Leffler 函數(shù)的分?jǐn)?shù)階和分和差分滿足：

更多關(guān)于離散的Mittag-Leffler 函數(shù)的性質(zhì)可以參考文獻(xiàn)[13]。

2 ABR 型分?jǐn)?shù)階差分方程的比較原理

考慮下列給出的ABR 型分?jǐn)?shù)階差分方程

本節(jié)將運(yùn)用反證法來給出ABR 型分?jǐn)?shù)階差分方程的比較原理。

定理2 設(shè)f(t,y)和g(t,y)是定義在Na×R 上的實(shí)值函數(shù)，函數(shù)g是連續(xù)的，關(guān)于y滿足利普希茨條件(利普希茨常數(shù)為Lg)，且滿足y1(t)和y2(t)分別是下列方程的解

(a) 如果f(t,y)≤g(t,y)，則y1(t)≤y2(t), t ∈Na；

(b) 如果f(t,y)>g(t,y)，則y1(t)>y2(t), t ∈Na。

證明 (a) 假設(shè)y1(t)≤y2(t)不成立，那么至少存在一點(diǎn)t0∈Na，使得y1(t0)>y2(t0)。定義{}

另一方面，由定理條件知f(t,y)≤g(t,y)，函數(shù)g是連續(xù)的且關(guān)于y滿足利普希茨條件，利普希茨常數(shù)Lg滿足

因此，我們有x(t1)<0，與(10)式矛盾，假設(shè)不成立，定理2 的(a)部分證畢。

(b)與(a)的證明過程類似，假設(shè)y1(t)>y2(t)不成立，則至少存在一點(diǎn)t0∈Na，使得y1(t0)≤y2(t0)。記

另一方面，由定理條件可知f(t,y)>g(t,y)，函數(shù)g是連續(xù)的且關(guān)于y滿足利普希茨條件，利普希茨常數(shù)Lg滿足

3 ABR 型不確定性分?jǐn)?shù)階差分方程的α-路徑

本節(jié)定義不確定性分?jǐn)?shù)階差分方程的對稱不確定性變量和α-路徑，并給出ABR 型不確定性分?jǐn)?shù)階差分方程的解和對應(yīng)的分?jǐn)?shù)階差分方程的解之間的聯(lián)系，然后結(jié)合第2 節(jié)中的比較定理，我們得出具有對稱不確定變量的不確定性分?jǐn)?shù)階差分方程的解及其α-路徑之間的聯(lián)系。首先，本節(jié)將給出有關(guān)不確定性理論的一些基本知識。

設(shè)Γ是一個非空集合，稱Γ中一些子集所構(gòu)成的集合L為σ代數(shù)，稱每個σ代數(shù)L中的元素Λ為事件，稱集函數(shù)M為不確定性測度，如果它滿足以下公理。

公理1(正則性)[23]對于所有的集合Γ, M{Γ}=1；

公理2(單調(diào)性)[23]M{Λ1}≤M{Λ2}, Λ1?Λ2；

公理3(自反性)[23]對于任意的Λ, M{Γ}+M{Γc}=1；

公理4(次可列可加性)[23]對于每個可數(shù)列Λi，我們有

定義5[23]不確定性變量ξ的不確定性分布Φ:R?→[0,1]的定義為

定義6[23]我們稱不確定性分布Φ(x)是均勻的，若它關(guān)于x是連續(xù)的、嚴(yán)格遞增的，0<Φ(x)<1，且

定義7[31]設(shè)ξ是具有均勻的不確定性分布Ψ(x)的不確定性變量，若Ψ(x)+Ψ(?x)=1，則稱ξ是對稱的。

定義8[31]若不確定性變量ξ的不確定性分布Φ(x)是均勻的，則稱函數(shù)Ψ?1(α)為ξ的不確定性逆分布。

當(dāng)N(t,x)<0 時，我們有

因此，對任意的y ∈V+∩V ?，都有

利用定理2，我們得到對任意的t ∈Na ∩[0,T]，都有Xt(y)≤Xαt成立。因此

根據(jù)單調(diào)原理，我們有

另一方面，令

重復(fù)上述步驟，對任意的y ∈U+∩U?，有

類似地，我們可以推斷出

因?yàn)?/p>

是對立事件，所以

根據(jù)單調(diào)原理可得

又因?yàn)?/p>

即

因此，由(23)～(25)式，我們可以得出下列等式成立：

4 ABR 型不確定性分?jǐn)?shù)階差分方程解的不確定性逆分布

關(guān)于x是利普希茨連續(xù)的，利普希茨常數(shù)為Lg且滿足

且利普希茨常數(shù)為

則函數(shù)

關(guān)于x是利普希茨連續(xù)的。因此，根據(jù)存在唯一性定理可得方程(27)有唯一解。

由定理4，我們得到方程

有唯一解

5 結(jié)論

本文主要介紹了ABR 型分?jǐn)?shù)階差分方程的比較原理，并應(yīng)用比較原理給出了ABR 型分?jǐn)?shù)階差分方程的解與具有對稱不確定性變量的ABR 型不確定性分?jǐn)?shù)階差分方程之間的聯(lián)系。通過引入α-路徑的概念，本文證明了ABR 型不確定性分?jǐn)?shù)階差分方程解的逆分布就是解的α-路徑。此外，還通過例子來闡述結(jié)果的正確性。我們未來可能的工作是討論ABR 型不確定性分?jǐn)?shù)階差分方程的其它不確定性變量，并研究相關(guān)文獻(xiàn)中提出的ABR 型不確定性分?jǐn)?shù)階差分方程的數(shù)值解。