解析幾何中“非對(duì)稱式”問題的解題策略
——解析幾何中的一類開放性試題探究

張 軍

(遼寧省大連市第二十四中學(xué))

數(shù)學(xué)教育承載著落實(shí)立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能.高考評(píng)價(jià)體系確立了高考考查中要增強(qiáng)試題的靈活性和開放性,改變相對(duì)固化的試題形式,減少死記硬背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象.開放性試題是與封閉性試題相對(duì)應(yīng)的概念,一般來說,封閉性試題具有確定的條件、方法和答案,而開放性試題是指圍繞某一個(gè)核心主題,提供一定的核心材料,要求學(xué)生就試題設(shè)問進(jìn)行深層分析和開展探究的一種命題形式,即題目的條件是不完備的、解題策略是多種多樣的.數(shù)學(xué)開放性試題的核心是考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力,從而激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新的意識(shí).

解決開放性問題難在要求學(xué)生的思維要多向輻射,它沒有固定的解題模式.由于開放性試題所提的問題要么是條件不充足或條件是多種多樣的,要么結(jié)論被隱去或不確定,要么只是給出一定的問題情境,其條件、解題策略和結(jié)論都需解題者從情境中尋找和設(shè)定,收集其他必要的信息,才能著手解題,所以它的解答有的是沒有固定的、現(xiàn)成的模式可循,有的是答案可能易于被發(fā)現(xiàn),但是求解過程中往往需要學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)思考,從多個(gè)角度進(jìn)行探究.這一探究過程往往能夠拓寬和深化解題思維過程,揭示解題過程的思維途徑,培養(yǎng)學(xué)生的探究思維,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一個(gè)含有若干個(gè)變量的多項(xiàng)式中,如果任意交換兩個(gè)變量的位置,多項(xiàng)式不變,則稱這樣的多項(xiàng)式關(guān)于這兩個(gè)變量是對(duì)稱的,否則稱為非對(duì)稱式.在解析幾何中,當(dāng)直線和曲線相交時(shí)經(jīng)常會(huì)涉及與交點(diǎn)有關(guān)的開放性試題.對(duì)于這類試題,在求解過程中如果相應(yīng)的目標(biāo)式子是關(guān)于兩個(gè)交點(diǎn)的橫(或縱)坐標(biāo)x1,x2(或y1,y2)的和或積的式子,這個(gè)式子往往是關(guān)于x1,x2(或y1,y2)對(duì)稱的,這時(shí)只要把直線方程和曲線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解決問題.然而在有的時(shí)候,往往也會(huì)出現(xiàn)相關(guān)的目標(biāo)式子不是簡(jiǎn)單的關(guān)于x1,x2(或y1,y2)的和或積的對(duì)稱式子,也就是出現(xiàn)了非對(duì)稱的形式,此時(shí)就不能通過根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)單的代換來解決,下面舉例介紹如何解決這類開放性試題.

1 多解探究

2 鞏固練習(xí)

圖1

圖2

練習(xí)3 如圖3 所示,已知點(diǎn)F1(－1,0),F2(1,0),以線段F2G為直徑的圓內(nèi)切于圓O:x2＋y2＝4,點(diǎn)G的軌跡為F.

圖3

(1)求點(diǎn)G的軌跡E的方程;

(2)若軌跡E與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)分別為M,N,過定點(diǎn)P(－3,0)的直線l與軌跡E交于R,S兩點(diǎn),設(shè)直線MR與NS交于點(diǎn)T.試探究點(diǎn)T是否在一條定直線上.若是,求出此定直線方程;若不是,說明理由.

圖4