一道課本例題到一道高考試題的衍變之路

高 磊

(山東省青島第二中學(xué))

每一道高考試題追根溯源都是一道課本題目的延伸和衍變,因此課堂教學(xué)要緊扣教材,對(duì)例題開展深度研究.本文闡述一道例題逐步衍變成一道道高考試題的過程,通過對(duì)圓錐曲線性質(zhì)進(jìn)行逐層剖析,探尋課本例題與高考試題之間的聯(lián)系,為高三復(fù)習(xí)提供新視角.

圖1

1 衍變第一步:調(diào)換例題的已知和結(jié)論

2 衍變第二步:將定弦AB 改為過原點(diǎn)的動(dòng)弦AB

3 衍變第三步:過原點(diǎn)的動(dòng)弦AB 改為過定點(diǎn)T(t,0)的動(dòng)弦

圖2

4 衍變第四步:過定點(diǎn)T(t,0)的動(dòng)弦端點(diǎn)與長軸兩端點(diǎn)連接形成蝴蝶三角形

圖3

5 衍變第五步:蝴蝶定理與圓錐曲線相結(jié)合

蝴蝶定理(ButterflyTheorem):設(shè)P為圓內(nèi)弦AB的中點(diǎn),過P作弦EF和CD,設(shè)CF和DE與AB分別相交于點(diǎn)M和N(如圖4),則P是MN的中點(diǎn).

圖4

此定理還可以推廣到橢圓、雙曲線和拋物線中,下述只證明在橢圓中的情形.

證明 設(shè)P(m,n),A(x1,y1),B(x2,y2).

6 衍變第六步:將性質(zhì)3的條件和結(jié)論對(duì)調(diào)

一道試題通常包括顯性要素和隱性內(nèi)涵,顯性要素就是能看到的情境與設(shè)問形式,而教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其隱性內(nèi)涵做進(jìn)一步探討、遷移,引導(dǎo)學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

7 衍變第七步:試題遷移與拓展

7.1 試題遷移

圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題一直是高考的熱點(diǎn),解決此類問題常見的方法有兩種:

一是從特殊入手,求出定點(diǎn)、定值,再證明這個(gè)定點(diǎn)、定值與變量無關(guān);

二是通過引入?yún)?shù),并在計(jì)算推理過程中消去參數(shù),從而得到定點(diǎn)、定值.

7.2 試題拓展

對(duì)例5的第(2)問進(jìn)行如下變式.

變式1 設(shè)點(diǎn)F(－1,0),直線MF與曲線C相交于點(diǎn)N,證明:kAM·kAN為定值.

變式3 設(shè)直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)M,N,若直線MB與直線AN的斜率存在,且kAN＝3kBM,證明:直線MN過定點(diǎn).

分析 由性質(zhì)6可知直線MN過定點(diǎn)(－1,0).

變式4 設(shè)點(diǎn)F(－1,0),直線MF與曲線C相交于點(diǎn)N,設(shè)直線MB與直線AN相交于點(diǎn)E,證明:點(diǎn)E在定直線上.

分析 由性質(zhì)4可知點(diǎn)E在定直線x＝－4上.

高考真題是復(fù)習(xí)備考的重要素材,每一道高考題都含有豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵,也體現(xiàn)了很多命題專家的心血和智慧.教師應(yīng)探本求源,建立高考試題與教材的對(duì)接點(diǎn),并以高考為導(dǎo)向挖掘其隱含的復(fù)習(xí)資源,立足教材,引導(dǎo)學(xué)生把握通性通法,引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行梳理歸納,形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò);明確典型例題的解題思路,總結(jié)解題方法,觸類旁通,探究解題規(guī)律.只有夯實(shí)雙基、突出重點(diǎn),才能以不變應(yīng)萬變.