獨(dú)辟蹊徑優(yōu)解三道高考題

孫 琳

(江蘇省南京市金陵中學(xué)河西分校 210000)

在高考二輪復(fù)習(xí)中，研究高考真題是“規(guī)定動(dòng)作”，其重要性不言而喻.高考真題如同一壇老酒,越品越醇,愈久彌香.每次研究都有新的發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)她的蘊(yùn)味，發(fā)現(xiàn)她的內(nèi)涵，發(fā)現(xiàn)她的獨(dú)特魅力——不同層次的學(xué)生有不同的解法，以致單位時(shí)間內(nèi)創(chuàng)造不同的價(jià)值(分?jǐn)?shù)).

1 逆向思維出奇招

文獻(xiàn)[1]提到李白買酒與逆向思維的趣事：李白無事街上走,提壸去買酒.遇店加一倍, 見花喝一斗.三遇店和花, 喝光壸中酒.試問酒壺中，原有多少酒？

不同年齡段的學(xué)生有不同的方法，如果學(xué)過方程，首先想到這是一個(gè)關(guān)于一元一次方程的問題, 設(shè)壸中原有酒x斗,第一次遇到酒店后壺中有酒2x斗，遇到花后壺中有酒(2x-1)斗,第二次遇到酒店后壺中有酒2(2x-1)斗,遇到花后壺中有酒[2(2x-1)-1]斗,第三次遇到酒店后壺中有酒2[2(2x-1)-1]斗,遇到花后壺中有酒{2[2(2x-1)-1]-1}斗.

這種做法有點(diǎn)麻煩,若反過來考慮, 問題就簡(jiǎn)單多了，并且用不到方程，下面我們用逆推法求出壺中原有多少酒:

第三次遇花之后第三次遇花之前第三次遇店之前第二次遇花之前第二次遇店之前第一次遇花之前第一次遇店之前壺中有酒(斗)00+1=11÷2=1212+1=3232÷2=3434+1=7474÷2=78

逆向思維用到下面這道高考題中再也恰當(dāng)不過.

例1 (2019年浙江省數(shù)學(xué)高考第21題)如圖1，已知點(diǎn)F(1，0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q在點(diǎn)F的右側(cè).記△AFG,△CQG的面積分別為S1,S2.

圖1

(1)求p的值及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

解法1(官方提供的標(biāo)準(zhǔn)答案，筆者略有添加)

求面積比，最后幾步看似簡(jiǎn)單，實(shí)則不然，倒數(shù)第二步省略不少運(yùn)算過程.

再令m=t2-2，則m>0，

由于題目的“忽悠”，順向思維設(shè)直線AB方程再正常不過了，后果是運(yùn)算量大得無法做或不敢做下去，因?yàn)锳C是題設(shè)中最后出現(xiàn)的，所以常規(guī)思維是將其作為最后考慮的條件，但運(yùn)用李白買酒的逆向思維，如果設(shè)AC方程有意想不到的方便.

2 選擇地形建系

用坐標(biāo)法求解立體幾何大題是考生在考試時(shí)的首選方法，即通過坐標(biāo)運(yùn)算代替了運(yùn)用空間想象的純幾何證明.

例2 (2020年浙江數(shù)學(xué)高考題第19題)如圖2，三棱臺(tái)DEF-ABC中，平面ADFC⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC.

(1)證明：EF⊥DB；

(2)求DF與平面DBC所成角的正弦值.

為了追求效益最大化，也是最為保險(xiǎn)，一般學(xué)生都會(huì)用建系坐標(biāo)法，平時(shí)學(xué)生建系方法用得非常溜，官方提供的建系解法，中規(guī)中矩，不再呈現(xiàn)，筆者提供下面別解短小精悍，令人耳目一新：

圖2 圖3

沒有繁雜的運(yùn)算，沒有詭異的思路，短短幾行就解決了當(dāng)年“卡住”不知多少考生的難題.

3 數(shù)形結(jié)合省筆墨

數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的.

例3(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第18題)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),記M(a,b)是|f(x)|在[-1,1]上的最大值.

圖4

(1)證明：當(dāng)|a|≥2時(shí),M(a,b)≥2；

(2)當(dāng)a,b滿足M(a,b)≤2時(shí), 求|a|+|b|的最大值.

分析官方提供的答案在代數(shù)運(yùn)算方面發(fā)揮極大優(yōu)勢(shì)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上取最值問題，充分挖掘?qū)ΨQ軸隱含條件(略)，下面方法1充分利用圖象直觀功能.

解析(1)由已知得|f(x)|≤M(a,b)=M,去掉絕對(duì)值有-M≤x2+ax+b≤M.

即-x2-M≤ax+b≤-x2+M.

記f1(x)=-x2-M,f2(x)=ax+b,f3(x)=-x2+M，如圖4，在x∈[-1,1]上，函數(shù)f2(x2)=ax+b被夾逼在拋物線f1(x)和f3(x)之間.

因?yàn)樾甭蔭的正負(fù)性不知道，所以寫成絕對(duì)值形式：-|a|+b≤f2(x)≤|a|+b.

根據(jù)圖象有-1-M≤-|a|+b.

即1+M≥|a|-b,-1+M≥|a|+b.

兩式相加,得2M≥2|a|.故M≥|a|≥2成立.