一道不等式證明題的多角度探究

岳 強(qiáng)

(廣東省深圳市華僑城中學(xué) 518053)

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升，數(shù)學(xué)解題能力在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升方面至關(guān)重要.“一題多解”作為問(wèn)題解法變式，是長(zhǎng)期存活于中國(guó)本土文化土壤的中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的小策略，效果真實(shí)有效.下面我們通過(guò)探究一道不等式的多種證明方法，去感受百川到海、殊途同歸的美妙.

1 試題呈現(xiàn)

設(shè)函數(shù)f(x)=ex，g(x)=lnx．

(1)若f(x)≥ax+1，求a的值；(a=1，解法略)

(2)證明：f(x)+x·g(x)>x(1+x)．

2 解法探究

解法1(構(gòu)造函數(shù)找最值)構(gòu)造函數(shù)

g(x)=ex+xlnx-x(1+x)，

則g′(x)=ex+lnx-2x.

再令h(x)=ex+lnx-2x，

所以g′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

由g′(1)=e-2>0，

設(shè)其為x0，則有ex0+lnx0-2x0=0．

顯然函數(shù)g(x)在x0取得最小值.

即g(x)≥g(x0)=ex0+x0lnx0-x0(1+x0)

=(1-x0)(x0-lnx0)．

即ex+xlnx>x(1+x)，不等式得證．

評(píng)注這種方法思路常規(guī)，但最不“省力”.直接構(gòu)造函數(shù)，但是構(gòu)造的函數(shù)g(x)極值點(diǎn)不易求得，要得到最值就要用到“設(shè)而不求”的思想，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到原函數(shù)的最值表達(dá)，此策略通常被稱(chēng)為“零點(diǎn)虛設(shè)”，這是解決不等式的一種重要方法．

解法2 (“對(duì)數(shù)單身狗”分離對(duì)數(shù))將原不等式兩邊同時(shí)除以x，只需證

由ex≥x+1>x知，函數(shù)f(x)在x=1處取得最小值且f(1)=e-2>0.

所以f(x)>0.

即ex+xlnx>x(1+x)，不等式得證．

評(píng)注在證明含對(duì)數(shù)函數(shù)的不等式時(shí)，將對(duì)數(shù)型的函數(shù)“獨(dú)立分離”出來(lái)，這樣再對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，就不含對(duì)數(shù)了，只需一次求導(dǎo)就可以求出它的極值點(diǎn)，從而避免了多次求導(dǎo)．這種相當(dāng)于讓對(duì)數(shù)函數(shù)“孤軍奮戰(zhàn)”的變形過(guò)程，我們形象地稱(chēng)之為“對(duì)數(shù)單身狗”．

解法3(“指數(shù)找朋友”結(jié)合指數(shù))原不等式變形為ex>x(1+x)-xlnx，只需證

所以f(x)<1，不等式得證．

評(píng)注在證明含指數(shù)函數(shù)的不等式時(shí)，將指數(shù)型的函數(shù)“結(jié)合”起來(lái)，即讓指數(shù)型的函數(shù)乘以或除以一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，這樣再對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，只需一次求導(dǎo)就可以求出它的極值點(diǎn)，從而避免了多次求導(dǎo)．這種相當(dāng)于讓指數(shù)函數(shù)尋找“合作伙伴”的變形過(guò)程，我們形象地稱(chēng)之為“指數(shù)找朋友”．

即ex>x2-xlnx+x，不等式得證．

A. (-∞,1-e] B. (-∞,-3]

C. (-∞,-2] D.(-∞,2-e2]

即證ex-x2-1>0．

令g(x)=ex-x2-1(x≥0)，

g′(x)=ex-2x，

再令h(x)=ex-2x，

則h′(x)=ex-2，令h′(x)=0,

解得g′(x)在x=ln2處取極(最)小值.

即g′(x)≥g′(ln2)=2-2ln2>0.

所以函數(shù)g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.

則當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=ex-x2-1>g(0)=0.

所以ex+xlnx>x(1+x)，不等式得征．

評(píng)注對(duì)于“切線(xiàn)不等式”及其變式的運(yùn)用，可以給我們證明不等式提供一些有效的思路，尤其是含有l(wèi)nx或ex的超越函數(shù)不等式證明，在解決具體問(wèn)題時(shí)應(yīng)根據(jù)這兩類(lèi)函數(shù)的特點(diǎn)及結(jié)構(gòu)特征，對(duì)不等式實(shí)施靈活變形，找到突破口．

拓展2(2021年深圳市南山區(qū)高二期末質(zhì)檢)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=ex-ax(a∈R)．(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

(1)求f(x)的極值；(解答略)

利用“指數(shù)找朋友”，構(gòu)造函數(shù)

故g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)

不等式得證．

通過(guò)近幾年的高考試題分析，不等式與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合的綜合問(wèn)題既是考查的熱點(diǎn)，也是重點(diǎn)．此類(lèi)問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，融合了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)為一體，能有效考查綜合解題能力．除了涉及函數(shù)與方程、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想之外，還有“設(shè)而不求”“以直代曲無(wú)限逼近”等重要方法，對(duì)學(xué)生的綜合素養(yǎng)要求較高，本文介紹的幾種通法，可以為學(xué)生在證明不等式選擇解題方向時(shí)提供一定的借鑒與參考．

探求一道優(yōu)質(zhì)問(wèn)題的一題多解，不僅可以有效鞏固學(xué)生在同一知識(shí)體系中學(xué)到的基礎(chǔ)知識(shí)，訓(xùn)練基本技能，而且還能幫助學(xué)生跳出這一知識(shí)體系，到其他知識(shí)體系中尋求相關(guān)性.學(xué)生在一題多解的過(guò)程中將知識(shí)靈活運(yùn)用，觸類(lèi)旁通，從不同角度探尋解決問(wèn)題的思路，能夠拓寬學(xué)生的視野，鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力.除了提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，還發(fā)展了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，有利于提高學(xué)生的綜合素質(zhì).教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)從解法出發(fā)，倡導(dǎo)一題多解的策略，拓寬學(xué)生的知識(shí)面，讓學(xué)生核心素養(yǎng)真正落地.