例談構(gòu)造方程在解題中的應(yīng)用

吳俊明

(廣東省華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 510407)

學(xué)生在高中數(shù)學(xué)的解題中，相比于自己構(gòu)造方程，更多地會(huì)遇到直接解方程的情形.而有時(shí)候，利用構(gòu)造方程的方法，可以將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單.所謂構(gòu)造方程的方法，是指根據(jù)題目已有信息構(gòu)造方程，再利用所構(gòu)造方程的解或者性質(zhì)返回得到原問(wèn)題的解.

1 在證明等式與不等式中的應(yīng)用

證明由已知式子通分易得

(a+b)bsin4x+(a+b)acos4x=ab.

從而得到關(guān)于a的一元二次方程

a2cos4x+ab(cos4x+sin4x-1)+b2sin4x=0.

計(jì)算得關(guān)于此方程的根的判別式為

Δ=b2(cos4x+sin4x-1)2-4b2cos4xsin4x

=b2(cos4x+sin4x-1)2-(2cos2xsin2x)2

=b2(cos2x+sin2x)2-1(cos2x-sin2x)2-1

=0.

由于b>0，故

又因?yàn)閟in2x+cos2x=1，

證明當(dāng)-7a+b-3c=0時(shí)，命題顯然成立.當(dāng)-7a+b-3c≠0時(shí)，構(gòu)造關(guān)于x的一元二次方程

(-7a+b-3c)x2+2(a-3b+4c)x+5(a+b-c)=0.

注意到該一元二次方程有一實(shí)根1，那么關(guān)于此方程的根的判別式為Δ=4(a-3b+4c)2-20(-7a+b-3c)(a+b-c)≥0.

化簡(jiǎn)即得(a-3b+4c)2-5(-7a+b-3c)(a+b-c)≥0.

評(píng)注本題中，根據(jù)求證式子的形式，容易讓人聯(lián)想到一元二次方程根的判別式，在給原求證式乘上系數(shù)4后，只需用該式中的若干多項(xiàng)式作為系數(shù)構(gòu)造恒有解的一元二次方程即可.

2 在求值中的應(yīng)用

例3 求sin18°和cos36°的值.

新一輪基礎(chǔ)教育課程改革明確提出要求教師積極突破傳統(tǒng)的教學(xué)模式，轉(zhuǎn)變以往以教師說(shuō)教為重點(diǎn)的教學(xué)方式，要求教師明確自身在教學(xué)中引導(dǎo)者與組織者的身份，并充分發(fā)揮自身的引導(dǎo)者與組織者的重要作用。在初中道德與法治課堂教學(xué)中，教師應(yīng)該積極的優(yōu)化教學(xué)的方法，以適合初中生身心特點(diǎn)和符合初中生興趣的方式開展道德與法治教學(xué)，有效激活初中生的思維，從而達(dá)到事半功倍的效果。

-sin18°+cos36°=sin54°-sin18°

由于-sin18°<0，cos36°>0，

評(píng)注本題的主要思路是將-sin18°和cos36°看作某個(gè)一元二次方程的兩根，利用韋達(dá)定理將該一元二次方程構(gòu)造出來(lái)，從而解該方程即可求得-sin18°和cos36°的值.

那么x3=40+6x.

于是考慮方程x3-6x-40=0，

即(x-4)(x2+4x+10)=0.

因?yàn)閤2+4x+10=(x+2)2+6>0恒成立，

所以x-4=0.

即上述方程有唯一實(shí)根x=4.

3 在解方程(組)中的應(yīng)用

將原方程兩邊平方可得

評(píng)注本題首先引入雙變?cè)猽,v，看似將問(wèn)題變復(fù)雜了，但實(shí)際上由原方程可得u+v的值，從而可將u,v看作是某個(gè)一元二次方程的兩根，為此只需求出uv的值.此后，解由u,v得到的一元二次方程，即可得到x=u的值.

評(píng)注觀察兩根式內(nèi)式子的系數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩根式內(nèi)式子相減為一常數(shù)，于是兩相加根式乘與之“對(duì)偶”的相減式，即可得到一個(gè)恒成立的方程.利用原方程，容易算得相減式的值，從而得到兩個(gè)根式的值.再利用其中一個(gè)根式的值解方程即得原方程的解.

例7 解關(guān)于u,v,w的方程組

(1)

(2)

(3)

其中a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù).

解析將上述方程組中的三個(gè)式子相加得

3u+2(a+b+c)v+2(a2+b2+c2)w

=2(a3+b3+c3).

(4)

由(4)-2×(3),(4)-2×(2),(4)-2×(1)可以分別得到(5)(6)(7)，即

(5)

(6)

(7)

那么a,b,c是該一元三次方程的三個(gè)不同根.

從而由韋達(dá)定理得

即u=2abc,v=-ab-bc-ac,w=a+b+c.

經(jīng)檢驗(yàn)，這確實(shí)是原方程組的解.

評(píng)注本題首先要將由(1)(2)(3)式得到的方程組化簡(jiǎn)為由(5)(6)(7)式得到的方程組，再由(5)(6)(7)式的規(guī)律性容易想到構(gòu)造與之相關(guān)的一元三次方程，從而利用韋達(dá)定理即可得到原方程組的解.在整個(gè)過(guò)程中，變?cè)c系數(shù)相互轉(zhuǎn)化的思路起到了重要作用.

構(gòu)造方程的方法可以概括為以下幾點(diǎn)：

(1)根據(jù)已知條件直接變形導(dǎo)出所需的方程，在求解該方程后容易得到原問(wèn)題的解；

(2)根據(jù)判別式來(lái)構(gòu)造相應(yīng)的一元二次方程；

(3)根據(jù)韋達(dá)定理的形式構(gòu)造相應(yīng)的一元n次方程，在求解該方程后容易得到原問(wèn)題的解；

(4)根據(jù)已有條件構(gòu)造一元n次方程，利用韋達(dá)定理得到原問(wèn)題的解，其中需利用變?cè)c系數(shù)相互轉(zhuǎn)化的思路.

總而言之，對(duì)于一些有技巧性或者有難度的題目，如果根據(jù)題目特征能構(gòu)造相應(yīng)方程，那么求解將會(huì)更加便捷，思路更加清晰.教師在日常教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行構(gòu)造方程解決問(wèn)題的訓(xùn)練.這種訓(xùn)練不僅有助于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，而且也是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力、創(chuàng)新能力以及逆向思維、發(fā)散思維的鍛煉.