構(gòu)建數(shù)學(xué)模型巧解一類數(shù)學(xué)問題

樂和順

(湖北隨州市曾都區(qū)第一中學(xué) 441300)

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，有些數(shù)學(xué)問題其本身蘊(yùn)含著明確的幾何意義，若能有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真讀題，注意挖掘出此道數(shù)學(xué)問題所蘊(yùn)含的幾何意義，通過直觀想象，構(gòu)建出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，揭示數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系、規(guī)律，進(jìn)行合理地轉(zhuǎn)化，可以化繁為簡，讓問題得以快速地解決.

1 利用兩點(diǎn)間的距離求解

解析因?yàn)镸a,b在直線3x+4y=15上，

所以3a+4b=15.

2 利用點(diǎn)到直線的距離求解

例2若動(dòng)點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2分別在直線l1:x+y-7=0，l2:x+y-5=0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為( ).

解析由題意知，點(diǎn)M所在直線與l1，l2平行且與兩直線距離相等．

設(shè)該直線的方程為x+y+c=0，

所以點(diǎn)M在直線x+y-6=0上運(yùn)動(dòng)．

則點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值就是原點(diǎn)到直線x+y-6=0的距離，即

故選A.

點(diǎn)評(píng)此例的點(diǎn)M在一條定直線上，要求點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值，其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)就是原點(diǎn)到直線的距離，對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)模型為點(diǎn)到直線的距離.

3 利用點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系求解

A．a(chǎn)2+b2≤1 B．a(chǎn)2+b2≥1

分析點(diǎn)M的坐標(biāo)為cosα,sinα，其數(shù)學(xué)模型是點(diǎn)M在單位圓上，問題轉(zhuǎn)化成直線與圓有公共點(diǎn)，利用直線與圓的位置關(guān)系即可求解.

解析因點(diǎn)M的坐標(biāo)為cosα,sinα，所以點(diǎn)M在單位圓上.

例4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1:kx-y+2=0與直線l2:x+ky-2=0相交于點(diǎn)P，則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，點(diǎn)P到直線x-y-4=0的距離的最大值為____．

分析直線l1過定點(diǎn)A0,2，直線l2過定點(diǎn)B2,0，且兩直線相互垂直，垂足即為點(diǎn)P，說明點(diǎn)P在以點(diǎn)AB為直徑的定圓上，問題轉(zhuǎn)化為考查直線與圓的位置關(guān)系.

因?yàn)閳A心到直線x-y-4=0的距離為

4 利用圓與圓的位置關(guān)系求解

例5 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y2-4x=0及點(diǎn)A-1,0，B1,2．在圓C上存在點(diǎn)P，使得PA2+PB2=12，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為( ).

A．1 B．2 C．3 D．4

分析依據(jù)圓的定義由條件“PA2+PB2=12”可知點(diǎn)P在圓上，問題化歸為考查兩圓的位置關(guān)系.

解析設(shè)Px,y，圓C：x2+y2-4x=0即圓C：x-22+y2=4.

因?yàn)镻A2+PB2=12，

所以PA2+PB2=x+12+y-02+x-12+y-22=12.

化簡,得x2+y-12=4.

問題即為點(diǎn)P要同時(shí)在兩個(gè)圓上.

所以圓x-22+y2=4與圓x2+y-12=4相交，故點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2.故選B.

5 利用直線的斜率求解

分析本題關(guān)鍵點(diǎn)是將條件“∠APO=∠BPO”轉(zhuǎn)化為直線PA與PB的斜率之和為0,再用斜率公式，問題獲得解決.

很顯然當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),t可以為任意實(shí)數(shù).

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)AB的方程為y=kx-1,其中Ax1,y1，Bx2,y2,

得1+2k2x2-4k2x+2k2-2=0.

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有

整理,得2x1x2-t+1x1+x2+2t=0.

解得t=2.

6 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義構(gòu)建對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)模型

例7若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足lna=b，c+1=d，則a-c2+b-d2的最小值為____.

分析數(shù)學(xué)式a-c2+b-d2可理解為曲線y=lnx上一點(diǎn)a,b與直線y=x+1上一點(diǎn)c,d間的距離的平方，根據(jù)函數(shù)圖象及性質(zhì)可知，函數(shù)y=lnx在1,0處的切線方程x-y-1=0與直線y=x+1之間的距離的平方為我們要求的a-c2+b-d2的最小值.

圖1

解析因?yàn)槭阶觓-c2+b-d2表示兩點(diǎn)間的距離的平方，又有b=lna，d=c+1，令函數(shù)y=lnx與直線y=x+1.

a-c2+b-d2的最小值即為函數(shù)y=lnx與直線y=x+1平行的切線與直線y=x+1之間的距離的平方.

即函數(shù)y=lnx在1,0處的切線方程為x-y-1=0，與直線y=x+1平行.

故a-c2+b-d2的最小值為d2=2.

教師在課堂教學(xué)中可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生分析條件，找到條件與基礎(chǔ)知識(shí)間的相互聯(lián)系，思考知識(shí)與技能所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，構(gòu)建合適的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo).同學(xué)們在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的學(xué)習(xí)與積累，認(rèn)真審題，抓住題眼，學(xué)會(huì)合理建模，善于舉一反三，不斷提升自己的分析問題與解決問題的能力.