關(guān)注解題方法上的類比

楊海軍

(甘肅省民樂縣第一中學(xué) 734500)

靈活運(yùn)用解題思維上的“類比”觀點(diǎn)，往往可幫助我們巧妙借用熟悉的解題思路、方法迅速求解相關(guān)數(shù)學(xué)問題，令人倍感解題成功的喜悅.顯然，有意識(shí)地去關(guān)注解題方法上的類比，有利于幫助我們創(chuàng)新思維能力，啟迪數(shù)學(xué)智慧，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 考查等比數(shù)列前n項(xiàng)之積

例1設(shè)an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)之和為Sn，則利用“倒序相加法”可求得2Sn=na1+an.運(yùn)用類比推理的思想可知：設(shè)bn是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)之積為Tn，則利用“____”可求得____.

解析由于等差數(shù)列an中的特性“若n+m=p+q，則an+am=ap+aq”可類比為等比數(shù)列bn中的特性“若n+m=p+q，則bn·bm=bp·bq”，所以類比推理知：在等比數(shù)列中，應(yīng)該利用“倒序相乘法”.

因?yàn)門n=b1b2…bn,Tn=bnbn-1…b1，

所以將這兩個(gè)等式相乘，得

又易知b1bn=b2bn-1=…=bnb1.

評(píng)注根據(jù)等差、等比數(shù)列中的相關(guān)特性，借助類比思維可知，要得到等比數(shù)列中前n項(xiàng)之積，需要利用“倒序相乘法”.

2 考查一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系

解析由題設(shè)得

ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=ax3-ax1+x2+x3x2+ax1x2+x2x3+x1x3x-ax1x2x3，

從而比較兩邊系數(shù)，可得

這就是一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系．

評(píng)注本題主要類比解題技巧——先將多項(xiàng)式分解因式、展開，再利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相等的充要條件.

3 考查平面的方程

例3平面內(nèi)，直線的法向量是指與直線垂直的非零向量，根據(jù)求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的思維方法，我們可得到法向量為n=(1,-2)，且經(jīng)過點(diǎn)A(-3,4)的直線方程是1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0，整理可得x-2y+11=0.類比該解題方法，在空間直角坐標(biāo)系中，法向量為n=(-1,-2,1)，且經(jīng)過點(diǎn)A(1,2,3)的平面方程是____.

所以1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0.

化簡(jiǎn),得x-2y+11=0.

所以(-1)×(x-1)+(-2)×(y-2)+1×(z-3)=0.

從而整理可得x+2y-z-2=0.

因此，可知所求平面方程為x+2y-z-2=0.

評(píng)注本題求解需要先理清平面內(nèi)所給直線方程的求解過程(本質(zhì)是靈活運(yùn)用了數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算)，再由平面到空間，利用“類比”思維，即可順利求解所給平面的方程.

4 考查數(shù)列求和

5 考查證明恒等式

例5請(qǐng)看以下例題及其證明過程.

例題：已知α是方程2x+x=3的一個(gè)根，β是方程log2x+x=3的一個(gè)根，求證：α+β=3.

證明：設(shè)函數(shù)fx=2x+x，

則由題設(shè)得fα=2α+α=3，

flog2β=2log2β+log2β=β+log2β=3，

所以fα=flog2β.

又函數(shù)fx在R上單調(diào)遞增，從而α=log2β.

故α+β=log2β+β=3.

試運(yùn)用類比推理的思想，求解如下問題：

已知α是方程2x·x=3的一個(gè)根，β是方程log2x·x=3的一個(gè)根，求證：αβ=3.

證明設(shè)函數(shù)fx=2x·x，

則由題設(shè)得fα=2α·α=3，

flog2β=2log2β·log2β=β·log2β=3，

所以fα=flog2β.

又易知α>0,β>0，且函數(shù)fx在0,+∞上單調(diào)遞增，從而必有α=log2β.

故所求αβ=log2β·β=3.

評(píng)注本題首先要從所給例題的證明過程中找到解題方法(先構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性求解)，經(jīng)過如此探尋就獲得了求解所給問題的證明思路.

6 考查求代數(shù)式的取值范圍

例6請(qǐng)認(rèn)真學(xué)習(xí)以下典例及其完整的解析過程.

解答：易知x>0,y>0.對(duì)已知不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得

lg3≤lgx+2lgy≤lg8,lg4≤2lgx-lgy≤lg9.

lgM=3lgx-4lgy

=-(lgx+2lgy)+2(2lgx-lgy)

∈[-lg8+2lg4,-lg3+2lg9]=[lg2,lg27].

所以M∈[2,27].

試借助類比推理思維，解答如下數(shù)學(xué)問題：

解析由已知可知x>0,y>0，所以對(duì)題設(shè)不等式兩邊可以同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，即得

lg2≤2lgx+lgy≤lg6,lg3≤lgx-2lgy≤lg5.

設(shè)M=x3y4，則兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，可得

評(píng)注本題主要類比解題方法——借助“取對(duì)數(shù)”變形(多次靈活運(yùn)用)以及“線性表示”，可巧求目標(biāo)代數(shù)式的取值范圍.

總之，通過上述歸類舉例解析可知：在解題過程中，靈活借用“類比”思維，往往可獲得目標(biāo)問題的巧思妙解，有利于幫助我們拓寬解題思維.一言以蔽之，在探尋解題思路方面，可將“類比”思維看作是一種比較重要的數(shù)學(xué)思想.