數(shù)學建模核心素養(yǎng)層級下提升數(shù)學思維品質的教學探究*

蔡 璐李新菊韓祥臨

（1.湖州師范學院教師教育學院，浙江湖州，313000；2.湖州師范學院外國語學院，浙江湖州，313000）

數(shù)學學科核心素養(yǎng)和數(shù)學思維品質的培養(yǎng)與發(fā)展是一個相互促進、相互作用的過程，每一種數(shù)學核心素養(yǎng)的提升蘊含著多種數(shù)學思維品質的加持，每一種數(shù)學思維品質的滲透也離不開多種數(shù)學核心素養(yǎng)的助力。喻平教授從知識分類視角將數(shù)學核心素養(yǎng)劃分了三個逐次遞增的水平層級，即知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新[1]。每一層級都有數(shù)學思維品質的融入，且有對應的發(fā)展側重點。數(shù)學建模核心素養(yǎng)層級也不例外，PISA2021數(shù)學核心素養(yǎng)測評框架中對數(shù)學建模過程進行了重構，在強調問題情境真實性的同時加強了對問題解決能力的考察[2]。但現(xiàn)下數(shù)學建模教學活動中，許多教師利用“編好”的數(shù)據(jù)引導學生得出“正確”答案，為達到解決問題的短期效應，忽視了學生建模能力的長期培養(yǎng)和提高[3]。蔡金法、朱立明等多位學者認為數(shù)學核心素養(yǎng)既可以在相關數(shù)學內容的學習與探究過程中養(yǎng)成，也可以在特定情境中后天培養(yǎng)獲得[4，5]。那么，數(shù)學建模教學活動就是數(shù)學建模核心素養(yǎng)有效成長的主陣地。

因此，我們需要深入探究數(shù)學建模核心素養(yǎng)三個不同知識層級下數(shù)學思維品質的滲透情況，明晰二者之間的聯(lián)動關系，并在數(shù)學建模教學中有效把控、合理利用。

一、數(shù)學建模核心素養(yǎng)的三個層級

知識的學習是核心素養(yǎng)生成的基礎，核心素養(yǎng)的水平與知識學習的質量息息相關，所以從學科素養(yǎng)生成的本源——學科知識出發(fā)，以“學知識”為自變量，才能有效促進因變量“核心素養(yǎng)”的生成和發(fā)展[6]。

1.知識理解

知識理解屬于核心素養(yǎng)劃分的第一層級。依據(jù)數(shù)學概念的二重性理論，可以將數(shù)學建模的相關知識看成“對象”或“過程”[7]。在對象層面，強調結構化，多體現(xiàn)為學習者能夠從不同角度去認識常規(guī)模型的性質和特征，如函數(shù)模型、數(shù)列模型、初等概率模型等。學習者需要熟悉模型產(chǎn)生的實際背景，明確模型的內涵及外延，了解模型中參數(shù)的抽象原型，理解模型與其他知識之間的邏輯關系。在過程層面，強調操作性，多展現(xiàn)為學習者利用已有建構數(shù)學模型的經(jīng)驗和知識儲備，通過同化或順應的方式學習新模型，在一定程度上加深了對以往模型的理解及應用，體現(xiàn)了“認知—應用—再認知—再應用”的邏輯建構過程。在實際問題情境中，能夠聯(lián)想到已有數(shù)學模型并進行簡單應用，既有利于知識技能的形成與發(fā)展，也有助于加強對模型的理解與運用。

2.知識遷移

知識遷移處于核心素養(yǎng)的第二層級，構建于對知識理解與反思的基礎之上，數(shù)學知識的相似性，強化了新舊知識的縱橫關聯(lián)，拓寬了知識的應用領域，有利于形成完善的知識脈絡。在數(shù)學建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)方面，主要關注模型在新情境中的運用，這一過程蘊含了多個知識、多種方法。這里指的“模型”屬于固定模型，是學生在觀察、分析問題情境，對數(shù)學信息進行抽象提煉后可直接運用的，在知識理解中合理構建的常規(guī)模型。由于數(shù)學建模的復雜性，類比的結果往往具有不確定性，遷移時需要注意所研究對象之間的共性，依據(jù)問題要求，尋找已學習模型做類比，找到模型間的差異并優(yōu)化模型，如研究傳染病問題、捕魚問題、銷售問題等都可類比于人口增長模型[8]，體現(xiàn)了同一模型在多種問題情境中的遷移應用。

3.知識創(chuàng)新

知識創(chuàng)新位居核心素養(yǎng)劃分的最高層級，如果說知識理解和知識遷移屬于應用模型層面，那知識創(chuàng)新就已經(jīng)上升到了建構模型層面[9]。這一層級的培養(yǎng)在數(shù)學探究活動中，多以非常規(guī)的開放性問題呈現(xiàn)，有的研究表明國外教材在應用題教學方面呈現(xiàn)出這樣一種變化趨勢：問題來源更加貼合實際，體現(xiàn)生活化；條件和結論更加模糊，可用信息和最終結論有待學生自己去探尋和挖掘[10]。數(shù)學建模的知識創(chuàng)新主要表現(xiàn)為：第一，模型知識的延伸和拓展方面。在探究活動中，學生能夠主動聯(lián)結模型間的關系，自我探尋“新”知識或“新”方法，發(fā)現(xiàn)知識的發(fā)展空間。第二，數(shù)學模型的檢驗與完善方面。在問題最優(yōu)化解決的過程中，導引學生合理進行元認知調控，對已建立的模型進行反思，讓學生發(fā)現(xiàn)更為簡潔有效且易于實施的解決方案，提升學生證偽和證實問題的能力，樹立科學的求真意識。第三，數(shù)學探究活動之后，數(shù)學建模素養(yǎng)的發(fā)展不應局限于當下問題的解決，可以通過變式、拓展、類比推理和轉換表征方式衍生出新的問題，當新的問題得以解決后，就能生成新的模型，習得新的方法，促進知識層級地提高。

二、數(shù)學建模核心素養(yǎng)與數(shù)學思維品質的關聯(lián)

數(shù)學建模教學活動開展的重要目的包括培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，而思維能力通常體現(xiàn)在思維品質上，它是評價和衡量學生思維水平的重要標志，培養(yǎng)一個學生良好的數(shù)學思維品質是一個長期的、綜合的發(fā)展過程[11]。在數(shù)學建模核心素養(yǎng)的培育過程中逐步提升數(shù)學思維品質是數(shù)學建模教學的著力點。周春荔老師將數(shù)學思維品質劃分為：思維的寬度、思維的速度、思維的力度，稱作“三度”。接下來，基于“三度”從三個方面探究數(shù)學建模核心素養(yǎng)與數(shù)學思維品質的關聯(lián)。

1.以知識理解拓思維寬度

思維的寬度具有深刻性和廣闊性。數(shù)學思維的深刻性和廣闊性都從不同方面表現(xiàn)出“寬”的特征。深刻性的“寬”體現(xiàn)在能夠深入鉆研知識的內涵與外延，善于在復雜事物中全面地看待問題，進而把握知識的本質，增強對知識的理解。數(shù)學思維品質的廣闊性是指可以多角度、多方面地去思考問題，善于發(fā)現(xiàn)事物之間的內在聯(lián)系，發(fā)掘解決問題的多種方法，并能把它推廣到類似的問題中去[12]。廣闊性的“寬”一方面體現(xiàn)在思路的寬廣上，基于知識的積累和理解，既能把握整體，多角度提煉有效信息，又能關注細節(jié)，抓住本質，打破思路的枷鎖。另一方面則強調了對所學模型應用范圍的擴寬，合理探求適用該模型的現(xiàn)實問題。

思維寬度的培養(yǎng)在高中數(shù)學人教版（A）必修“三角函數(shù)的應用”中有所體現(xiàn)，該節(jié)以“簡諧運動”問題作為引入，從收集數(shù)據(jù)到繪制散點圖，再到函數(shù)擬合得出具體模型，不僅形象直觀地展現(xiàn)了三角函數(shù)模型的建構過程，還體現(xiàn)了學科融合的研究形式。在復雜的實際問題背景中，分析變量關系，將文字轉化為直觀的符號或圖像，實現(xiàn)生活情境的數(shù)學化，為進一步建構模型、解決問題做準備。

2.以知識遷移促思維速度

思維的速度具有敏捷性和靈活性。敏捷性展現(xiàn)的是思維過程的“快”，比如學生具有敏銳的洞察力，能夠迅速抓住問題核心，縮短運算環(huán)節(jié)和邏輯推理過程。靈活性的“快”則指應變能力，在分析具體問題時善于根據(jù)具體的情景變化，高效地調整原來的思維過程和方法。章建躍教授強調“思維靈活性的實質是遷移，舉一反三是高水平的靈活，它的實現(xiàn)正是來自思維材料和數(shù)學知識的遷移”[13]。隨著學習的深入，概念也愈加抽象，揭示概念本質特征的重要性就凸顯了出來，有效區(qū)別本質與非本質特征，逐漸加強知識間的聯(lián)系，提高知識的概括程度，才能進一步提升遷移水平，展現(xiàn)思維的靈活性。

例如，在“潮汐問題”中的三角函數(shù)模型，可以靈活運用于“錯峰用電”“日影照射”以及“月亮圓缺”等實際問題，其落腳點都在事物的周期性變化，能讓學生真切感受變化背景下不變的數(shù)學規(guī)律，提升思維的靈活性和敏捷性。知識遷移著重考查學生對于模型的識別、判斷、提取、決策和遷移等多種能力，當所選的模型或方法無法解決當前問題時，能夠靈活有效地轉向其他模型加以解決，這與思維品質的靈活性和敏捷性都有很大關聯(lián)。

3.以知識創(chuàng)新強思維力度

思維的力度具有批判性和獨創(chuàng)性。批判性主要表現(xiàn)為敢于自我反思、辨別是非，在建模、解模、用模的過程中都有所滲透。學生在教學活動中要勇于探究、勤于思考、善于發(fā)現(xiàn)，不拘泥于現(xiàn)有思路，能從不同角度尋找變量之間的關系，探索事物變化的規(guī)律，同時能獨立有效的運用元認知檢驗模型建構的整個過程，而不只停留于解決當前的問題。思維批判性的培養(yǎng)著重點在于學生能夠檢驗和調節(jié)自己的數(shù)學思維活動，保證建模過程的有效性和正確性。在對數(shù)學模型進行組合分析、延伸拓展時，學生的猜想、假設、方案制定等都蘊含著創(chuàng)新的因素，體現(xiàn)了思維獨創(chuàng)性。在探索性思維活動中，這兩種思維品質相輔相成、相互影響，在思維的力度中起著不可或缺的作用。開放包容、實踐性強的建模學習為學生提供了思維的發(fā)展空間和知識的創(chuàng)新平臺，有利于數(shù)學知識結構的不斷優(yōu)化，在豐富創(chuàng)新知識經(jīng)驗和提升數(shù)學建模核心素養(yǎng)的同時加強思維力度。

基于上述數(shù)學建模核心素養(yǎng)和數(shù)學思維品質的關聯(lián)，建立了關聯(lián)圖（如圖1）。從圖中看出，數(shù)學思維品質的發(fā)展隨著知識的逐級建構而不斷深化，每一素養(yǎng)層級上三個維度的思維品質都有所涉及，圖中虛線所對應的是該層級思維品質的發(fā)展側重點。將數(shù)學教學活動融入圖中，把教學活動分為三個環(huán)節(jié)，每一環(huán)節(jié)的教學蘊含著多種思維品質的發(fā)展，對角線與虛線的交點則是預期達到的教學效果，最終指向是教學活動的整體目標。圖中位于坐標原點的方塊表示學生進入數(shù)學教學活動前已經(jīng)具備的知識經(jīng)驗和思維水平。

圖1 數(shù)學建模核心素養(yǎng)與數(shù)學思維品質關聯(lián)圖

三、數(shù)學建模核心素養(yǎng)下數(shù)學思維品質的發(fā)展

接下來以“三角函數(shù)的應用”教學為例，從與數(shù)學建模核心素養(yǎng)三個層級相對應的三個教學環(huán)節(jié)入手，探討數(shù)學建模核心素養(yǎng)下數(shù)學思維品質發(fā)展的有效策略。

1.關注現(xiàn)實基礎，把握知識理解，拓展思維寬度

知識理解是后續(xù)環(huán)節(jié)的基礎，只有知識學習達到一定的理解水平，遷移才會自然的發(fā)生，對于數(shù)學模型的理解不能僅僅依靠感知和記憶，需要讓學生明確數(shù)學模型的現(xiàn)實原型，在抽象反思中強化知識間的邏輯關系。高一學生具有一定的數(shù)學模型知識儲備，但對模型的加工還不夠到位，具體應用和聯(lián)系實際的能力比較單一，還停留在具體習得該模型的情境中，識破現(xiàn)實問題的數(shù)學本質存在一定難度。建模教學活動應從小型建模情境出發(fā)，即只需一兩個要素就能組成的完整建模周期，由淺入深。讓學生對實際問題中錯綜復雜的變量關系和晦澀難懂的背景描述進行抽象，拋去無關的物理性質，挖掘問題本質，樹立建模意識。

環(huán)節(jié)一：回顧舊知，創(chuàng)設情境，加深模型理解

（1）回顧水利灌溉工具——筒車，梳理函數(shù)性質及圖像特點；

（2）簡諧運動實驗

①利用計算機實驗操作平臺演示彈簧振子實驗，學生觀察實驗現(xiàn)象并收集、分析相關數(shù)據(jù)，辨析自變量與因變量，繪制散點圖并勾畫曲線（如圖2）；

圖2 彈簧振子實驗示意圖及函數(shù)圖像

②求出物體相對于平衡位置的位移和時間的函數(shù)解析式；

③設置問題鏈，讓學生深入剖析實驗現(xiàn)象和數(shù)據(jù)，解釋問題的實際意義；

④課堂小結并介紹簡諧運動，推廣三角函數(shù)模型應用，滲透數(shù)學文化：從三角學到三角函數(shù)。

在計算機實驗操作平臺上展示彈簧振子的全振過程，并將數(shù)據(jù)與模型位置一一對應，借助信息技術化抽象為直觀，有效降低模型建立的難度，讓學生親身經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集過程，并從中抽象出時間與位移兩個變量，構建小型建模情境，感知簡諧運動中物體相對于平衡位置的位移隨時間呈現(xiàn)的周期變化，進一步明確可以運用三角函數(shù)模型解決問題的現(xiàn)實情境，體會三角函數(shù)模型的功能與價值。以簡諧運動實驗為學習新知的起點，既深化了對三角函數(shù)的理解，豐富了應用情形，又為振相、周期等概念的學習提供了直觀的實驗現(xiàn)象。同時，數(shù)學文化的滲透可以促使學生在了解知識發(fā)生、發(fā)展的過程中感悟人文精神，在溯源思想方法的過程中明晰研究內容及方法的本質，穿插推動三角學發(fā)展的數(shù)學家歐拉的故事，助益文化育人和立德樹人的落實。

2.著眼應用實效，促進知識遷移，加快思維速度

知識遷移在整個教學活動中起著承上啟下的作用，既是知識理解的“強心針”，也是知識創(chuàng)新的“催化劑”。完善的認知結構是塑造學生遷移能力的核心[14]，一方面要在模型的遷移應用中加強知識的類比、概括與聯(lián)結，注重模型知識結構化、條理化，建模過程清晰化、簡潔化；另一方面要重視數(shù)學建模方法的掌握和思想的內化，要讓學生知其然，更知其所以然。以相關知識、方法和思想為基點，引導學生在多變的情境中探尋模型應用的不變規(guī)律，挖掘問題本質，促進學生對模型的識別和選取，加快思維的敏捷性，提高思維的靈活性，更快地找到解決問題的突破口，構建合理的數(shù)學模型。教師應有意識地在建模的關鍵環(huán)節(jié)設定指向明確而條件不同的變式問題，引導學生能夠類比遷移之前的建模過程，激發(fā)學生的問題意識和思考能力，促進學生對知識的靈活遷移。

環(huán)節(jié)二：問題探究，類比聯(lián)想，促進模型遷移

潮汐現(xiàn)象

（1）微視頻科普潮汐現(xiàn)象，提供某港口某季節(jié)的每日時刻與水深的數(shù)據(jù)：

時刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00水深/m 5 7.5 5 2.5 5 7.5 5 2.5 5

（2）分析數(shù)據(jù)，刻畫散點圖并選取合適的函數(shù)來擬合x，y之間的關系（如圖3）。

圖3 潮汐現(xiàn)象函數(shù)圖像

問題1：船底與水面距離被稱為吃水深度，條例規(guī)定船底與水底的安全距離至少為1.5m，現(xiàn)有一艘貨船吃水深度為4m，那么貨船安全水深至少為多少米？該船何時能夠進入港口？能在港口停留多長時間？

注：分小組依據(jù)解析式求取港口整點時水深的近似值，鼓勵學生運用計算機或計算器等工具進行數(shù)據(jù)計算。

問題2：貨船吃水深度為4m，安全距離至少為1.5m，該船在2：00開始卸貨，吃水深度以0.3m/h的速度降低，貨船什么時候必須停止卸貨，駛向較深海域以確保安全（如圖4）？

圖4 問題2圖像

立足于簡諧運動引出潮汐現(xiàn)象，體現(xiàn)了模型的遷移性和實用性。在列出時間和水深的相關數(shù)據(jù)時，應強調數(shù)據(jù)會根據(jù)潮汐現(xiàn)象的特征及模型建立的目的進行合理化便于求解。學生在擬合函數(shù)時，類比簡諧運動實驗的經(jīng)驗，將時間抽象為x，水深抽象為y，探究水深隨時間的變化情況就變?yōu)樗伎紉與y之間的關系，依據(jù)潮汐周期性的變化規(guī)律選用三角函數(shù)模型，實現(xiàn)模型遷移。問題鏈可以讓學生形成分析問題的思路，把貨船安全進港的現(xiàn)實問題轉化為“實際水深≥安全水深”的不等式問題，考察了函數(shù)圖像與不等式解集之間的關系，提升了數(shù)形結合的能力。將依據(jù)自然現(xiàn)象建立起來的函數(shù)模型用于解決現(xiàn)實問題，極大的展現(xiàn)了數(shù)學模型的價值。

3.反思模型建構，啟發(fā)知識創(chuàng)新，提升思維力度

知識創(chuàng)新環(huán)節(jié)的教學主要落實在兩個方面：第一，反思數(shù)學模型的建構過程，充分利用元認知能力，加強對已有模型的檢驗和完善，使問題的解決能夠以最優(yōu)化形式呈現(xiàn)，學生體驗過程越完整越高效，領悟的建模思想就越深刻，思維力度的提升就越有效。第二，非常規(guī)的開放性問題是這一環(huán)節(jié)的主力軍，大部分知識創(chuàng)新都來自于學生對此類問題的探究。教師應該結合學情恰當?shù)卦O計開放性問題，以多樣的形式，探究其他合理有效的數(shù)學模型，形成獨具風格的解決問題方案，并鼓勵學生向大家展示完整的數(shù)學建模過程。數(shù)學建模教學不僅局限于解決問題本身，還在于提升思維品質和培養(yǎng)關鍵能力，要在學數(shù)學、用數(shù)學的過程中讓學生意識到模型的建立不是簡單的線性過程，需要不斷的檢驗與完善，并以發(fā)展和批判的眼光進行建構。在師生交互中，尊重學生思維的批判性和獨創(chuàng)性，逐步增強數(shù)學建模應用意識，能夠通過數(shù)學建模的結論和思想闡釋科學規(guī)律和社會現(xiàn)象，傳遞數(shù)學學科的育人價值。

環(huán)節(jié)三：優(yōu)化總結，反思建構，實現(xiàn)模型創(chuàng)新

（1）師生共同總結（如圖5）

圖5 三角函數(shù)模型建構過程

（2）拓展練習“人體節(jié)律問題”：引導學生依據(jù)自己的出生日期繪制專屬自己的體力、情緒和智力曲線，打造屬于自己的節(jié)律圖；

（3）課外作業(yè)：結合教材5.6節(jié)例2，尋找生活中的周期現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學問題，嘗試依據(jù)收集到的數(shù)據(jù)構建三角函數(shù)模型來解決問題，并形成數(shù)學報告。

以流程圖的形式總結函數(shù)建模過程，貼合學生思維邏輯。在體驗建模的過程中，每位學生看待問題的角度存在差異，因此模型的建構和應用存在不同程度的創(chuàng)新?！叭梭w節(jié)律問題”是一道開放性問題，每位學生依據(jù)自己的生日為出發(fā)點，得到的周期結果也各有特色，體現(xiàn)了題目條件及結論的多樣性。結合學生的最近發(fā)展區(qū)布置任務，使學生能用新視角觀察生活現(xiàn)象，以數(shù)學報告的形式促使學生將生活問題數(shù)學化，搭建基礎模型，提高數(shù)學建模核心素養(yǎng)，感悟數(shù)學建模的實際價值。

數(shù)學建模教學為學習者創(chuàng)造了學數(shù)學、用數(shù)學的良好環(huán)境，讓學生主動投入生動完整的數(shù)學建模過程，使數(shù)學模型在解決實際問題的價值與意義得以體現(xiàn)，強化了數(shù)學與日常生活和其他學科的密切聯(lián)系。做到想用、能用、會用數(shù)學模型，夯實數(shù)學建模核心素養(yǎng)層級，在數(shù)學建模核心素養(yǎng)培育過程中充分激發(fā)數(shù)學思維活躍性，推動數(shù)學思維品質的有效發(fā)展。