作業(yè)設(shè)計(jì)：提升線(xiàn)上教學(xué)質(zhì)量的有效抓手*

范世祥 (江蘇省太倉(cāng)高級(jí)中學(xué) 215411)

2022年上半年，鑒于嚴(yán)峻復(fù)雜的新冠疫情防控形勢(shì)，我市復(fù)學(xué)復(fù)課工作按下“暫停鍵”．因?yàn)橛辛?020年線(xiàn)上教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)積累，本次線(xiàn)上教學(xué)組織有序，師生在技術(shù)上均能熟練操作，但對(duì)線(xiàn)上教學(xué)的積極探索、創(chuàng)新、實(shí)踐從未停止．聚焦從“新鮮感”向“新常態(tài)”轉(zhuǎn)變，從“教師中心”向“學(xué)生中心”轉(zhuǎn)變，從滿(mǎn)堂灌的“單聲道”向互動(dòng)式的“雙聲道”轉(zhuǎn)變，從“教學(xué)設(shè)計(jì)”向“作業(yè)設(shè)計(jì)”轉(zhuǎn)變，一線(xiàn)教師一直在實(shí)踐中思考．本文以一節(jié)高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)課為例，就如何優(yōu)化作業(yè)設(shè)計(jì)、提升線(xiàn)上教學(xué)質(zhì)量，談?wù)劰P者的思考，與大家交流．

1 瞻前顧后的昨天作業(yè)

作業(yè)1 (1)求曲線(xiàn)f(x)=ex在x=0處的切線(xiàn)方程，并作出相應(yīng)的圖象；

(2)求曲線(xiàn)f(x)=lnx在x=1處的切線(xiàn)方程，并作出相應(yīng)的圖象；

(3)求曲線(xiàn)f(x)=sinx在x=0處的切線(xiàn)方程，并作出相應(yīng)的圖象；

(4)過(guò)原點(diǎn)作f(x)=ex的切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程，并作出相應(yīng)的圖象；

(5)過(guò)原點(diǎn)作f(x)=lnx的切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程，并作出相應(yīng)的圖象．

作業(yè)2 給定函數(shù)f(x)=ex-e-x．

(1)請(qǐng)研究該函數(shù)的性質(zhì)與圖象；

(2)求該函數(shù)圖象在x=0處的切線(xiàn)方程．

(1)請(qǐng)研究該函數(shù)的性質(zhì)與圖象；

(2)求該函數(shù)圖象在x=0處的切線(xiàn)方程．

設(shè)計(jì)意圖基于線(xiàn)上教學(xué)的特殊性，我們?cè)谧鳂I(yè)布置上盡可能少而精，以原創(chuàng)和改編題為主，問(wèn)題設(shè)計(jì)更具探究性，讓不同的學(xué)生可以有自由發(fā)揮的空間．本節(jié)課是高二導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)結(jié)束后安排的第一節(jié)導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)課，此項(xiàng)作業(yè)設(shè)計(jì)的教學(xué)目標(biāo)是：一方面鞏固前面所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能；另一方面，通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，從中積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟?qū)?shù)應(yīng)用的基本思想，提升綜合運(yùn)用的能力．作業(yè)的設(shè)計(jì)更加關(guān)注大單元觀念，本章研究的數(shù)學(xué)對(duì)象是函數(shù)，所以上述作業(yè)設(shè)計(jì)中既有常見(jiàn)的基本初等函數(shù)，又有略微復(fù)雜的函數(shù)；研究的內(nèi)容包括高一階段學(xué)過(guò)的函數(shù)的性質(zhì)與圖象以及高二階段導(dǎo)數(shù)的幾何意義；研究方法在高一函數(shù)方法的基礎(chǔ)上還增加了導(dǎo)數(shù)作為工具；研究路徑體現(xiàn)了由數(shù)到形、再由形到數(shù)的思考?xì)v程，深刻體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法．所以該項(xiàng)作業(yè)就是注重讓學(xué)生經(jīng)歷以“一般觀念”為引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲得猜想，并通過(guò)數(shù)學(xué)的推理、論證來(lái)證明結(jié)論的過(guò)程，以提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)．

2 融會(huì)貫通的今天課堂

·作業(yè)1講評(píng)

借助常見(jiàn)的基本初等函數(shù)，復(fù)習(xí)回顧切線(xiàn)的計(jì)算方法，引導(dǎo)學(xué)生作出函數(shù)圖象，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)曲線(xiàn)與切線(xiàn)的位置關(guān)系，再由形到數(shù)，提煉出不等關(guān)系(如ex≥1+x).接著帶領(lǐng)學(xué)生分析問(wèn)題，從圖象直觀到代數(shù)論證，引導(dǎo)學(xué)生按照波利亞的“解題表”進(jìn)行問(wèn)題分析與解決．

·作業(yè)2講評(píng)

第一環(huán)節(jié)：根據(jù)高一所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)不難發(fā)現(xiàn)該函數(shù)是單調(diào)遞增的奇函數(shù)，可以作出大致圖象，同時(shí)求出曲線(xiàn)在x=0處的切線(xiàn)方程為y=2x，進(jìn)一步根據(jù)圖形提煉出以下兩個(gè)不等關(guān)系：(1)當(dāng)x>0時(shí)，ex-e-x>2x；(2)當(dāng)x<0時(shí)，ex-e-x<2x．

第二環(huán)節(jié)：對(duì)上述兩個(gè)不等關(guān)系進(jìn)行嚴(yán)格的代數(shù)論證，具體方法同作業(yè)1．

·作業(yè)3講評(píng)

教是為了不教，當(dāng)帶領(lǐng)學(xué)生評(píng)講了作業(yè)2之后，就可以放手讓學(xué)生自主探究作業(yè)3.這時(shí)他們的上課興趣自然提升很多，而且也主動(dòng)參與進(jìn)來(lái)，整個(gè)作業(yè)3的講評(píng)經(jīng)歷了“學(xué)生先行——交流在中——教師總結(jié)”的過(guò)程，學(xué)生對(duì)自己收獲的這些不等式(表1)倍感親切，既體驗(yàn)了成功的樂(lè)趣，又深度理解了此類(lèi)指數(shù)與對(duì)數(shù)型的不等關(guān)系．

表1

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生做作業(yè)基本都是“就題寫(xiě)題”，這三道作業(yè)題的解答并不困難，教師“就湯下面”的評(píng)析拓展才是本節(jié)課的重點(diǎn)，尤其是帶領(lǐng)學(xué)生一起研究這類(lèi)問(wèn)題，獲取研究這類(lèi)問(wèn)題的一般套路．研究的內(nèi)容、過(guò)程和方法是一脈相承的，正所謂“研究的函數(shù)在變，研究套路不變，思想方法不變”．本節(jié)課我們以“研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路”為指導(dǎo)設(shè)計(jì)和展開(kāi)課堂教學(xué)，促使學(xué)生通過(guò)一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究，體悟具有普適性的數(shù)學(xué)思想和方法，逐步掌握解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的那個(gè)“相似的方法”，進(jìn)而逐步形成“數(shù)學(xué)的思維方式”．在這樣的過(guò)程中，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)就潛移默化、潤(rùn)物無(wú)聲地得到落實(shí)了．

3 意猶未盡的今天作業(yè)

作業(yè)(2) 請(qǐng)從作業(yè)(1)中任選一個(gè)函數(shù)，模仿本節(jié)課的研究路徑，從函數(shù)的圖象、性質(zhì)、切線(xiàn)、不等式角度對(duì)其進(jìn)行研究，寫(xiě)出一份研究的微報(bào)告.

思考(1) 當(dāng)x>0時(shí)，不等式ex-e-x-ax>0恒成立，求a的取值范圍；

思考(2) 若函數(shù)f(x)=ex-e-x-ax在(0,+∞)上存在零點(diǎn)，求a的取值范圍．

設(shè)計(jì)意圖作業(yè)(1)是從基本初等函數(shù)出發(fā)，通過(guò)乘法和除法構(gòu)造出形式各異的函數(shù)，讓學(xué)生畫(huà)函數(shù)圖象是函數(shù)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)；作業(yè)(2)是鞏固今天的教學(xué)內(nèi)容，開(kāi)放的試題便于不同層次的學(xué)生有更好的自主探究空間.思考題是將作業(yè)2講評(píng)中不等式的系數(shù)2用參數(shù)a隱藏，設(shè)計(jì)出恒成立問(wèn)題和零點(diǎn)問(wèn)題，自然過(guò)渡到后續(xù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)內(nèi)容，引發(fā)學(xué)生課后的自主探究學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)環(huán)環(huán)相扣的教學(xué)流程．

4 作業(yè)設(shè)計(jì)的實(shí)踐思考

4.1 注重知識(shí)融合

作業(yè)即教學(xué)鞏固，作業(yè)的功能之一就是鞏固與評(píng)價(jià)學(xué)生當(dāng)堂所學(xué)內(nèi)容的掌握程度，所以作業(yè)設(shè)計(jì)中每一道題都應(yīng)該有明確的指向，作業(yè)題應(yīng)該與本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)或方法技能有對(duì)應(yīng)關(guān)系，盡量做到不重復(fù)考查，以此減輕學(xué)生的作業(yè)負(fù)擔(dān)．另外，設(shè)計(jì)的內(nèi)容盡可能要“瞻前顧后”，設(shè)計(jì)的作業(yè)可以自然過(guò)渡到下一課時(shí)，如學(xué)習(xí)二項(xiàng)分布之后，為了更好地銜接下一節(jié)課時(shí)“超幾何分布”，可以設(shè)計(jì)如下作業(yè)：

示例1已知10件產(chǎn)品中有2件次品，分別選擇下列抽取方式進(jìn)行試驗(yàn)．設(shè)抽取的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．

方式(1)：逐個(gè)有放回地抽取3件產(chǎn)品；

方式(2)：逐個(gè)不放回地抽取3件產(chǎn)品；

方式(3)：一次性抽取3件產(chǎn)品．

通過(guò)設(shè)計(jì)三種不同的抽取方式，對(duì)比深化理解概率分布類(lèi)型，方式(1)是二項(xiàng)分布，方式(2)和方式(3)的分布列應(yīng)該是相同的，方式(3)的另一個(gè)意圖是自然過(guò)渡到下一課時(shí)“超幾何分布”，實(shí)現(xiàn)作業(yè)與新授課的無(wú)縫銜接，作業(yè)即學(xué)習(xí)延伸．

類(lèi)似這樣的案例有很多．再如，在講授“獨(dú)立性檢驗(yàn)”之前可以布置下面這道代數(shù)式的恒等變形題作為課前作業(yè)，以便為課堂中推導(dǎo)卡方公式做好鋪墊．

4.2 豐富作業(yè)形式

為了保護(hù)學(xué)生的視力，線(xiàn)上教學(xué)時(shí)間縮短，這就需要將更多的教學(xué)內(nèi)容通過(guò)作業(yè)的形式延伸至課外.提升線(xiàn)上教學(xué)質(zhì)量的重要一環(huán)就是提升作業(yè)設(shè)計(jì)的質(zhì)量，而此與教師命制試題的能力有關(guān)，這就需要教師花心思設(shè)計(jì)高質(zhì)量的試題，試題的形式盡可能多樣，盡可能改編或原創(chuàng)，一方面提高學(xué)生課后做題的興趣，另一方面原創(chuàng)或改編的試題避免學(xué)生使用軟件搜題．

示例3寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)=．

①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②當(dāng)x∈(0, +∞)時(shí)，f′(x)>0；③f′(x)是奇函數(shù)．

示例4一個(gè)盒子中放有大小相同的4個(gè)黃球和2個(gè)白球，其中4個(gè)黃球標(biāo)號(hào)為1～4，2個(gè)白球標(biāo)號(hào)為5和6．

規(guī)則1：每次從盒中摸出一球，記下號(hào)碼后放回，共摸球兩次，根據(jù)所得兩數(shù)和的情況進(jìn)行設(shè)獎(jiǎng)．

規(guī)則2：每次從盒中摸出一球，記下顏色后放回，共摸球兩次，根據(jù)所得白球數(shù)的情況進(jìn)行設(shè)獎(jiǎng)．

規(guī)則3：若摸出1個(gè)黃球得1分，摸出1個(gè)白球得3分，從盒中任意摸出三個(gè)球，根據(jù)得分和的情況進(jìn)行設(shè)獎(jiǎng)．

(1)探求上述三個(gè)規(guī)則中相關(guān)隨機(jī)變量的分布列，并給出設(shè)獎(jiǎng)方案；

(2)自主設(shè)計(jì)新的摸球游戲規(guī)則，并求相關(guān)隨機(jī)變量的分布列，小組交流．

示例5我們知道，排列組合的內(nèi)容都源自生活，對(duì)于排列組合數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，若能尋根于生活背景，構(gòu)造一個(gè)實(shí)際問(wèn)題模型加以解釋?zhuān)瑢⒂兄谖覀儗?duì)問(wèn)題的深入理解．先閱讀下面組合數(shù)性質(zhì)(1)的生活化解釋?zhuān)缓髧L試給出(2)(3)(4)的生活化解釋?zhuān)诖瑢W(xué)們的精彩故事．

生活化解釋 原式左端可看成一個(gè)班有m個(gè)同學(xué)，從中選出n個(gè)同學(xué)組成興趣小組，在選出的n個(gè)同學(xué)中，p個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組，余下的n-p個(gè)同學(xué)參加物理興趣小組的選法數(shù)．原式右端可看成直接在m個(gè)同學(xué)中選出p個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組，在余下的m-p個(gè)同學(xué)中選出n-p個(gè)同學(xué)參加物理興趣小組的選法數(shù)．顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立．

以上三個(gè)示例中作業(yè)題命制的形式多樣，有舉例題、設(shè)計(jì)題，還有講故事題.注重作業(yè)設(shè)計(jì)是提升教師命題能力的有效途徑，而且作業(yè)的設(shè)計(jì)不必拘泥于考試的命題，可以更加自由、開(kāi)放，給了我們一線(xiàn)教師更為廣闊的發(fā)揮空間．命制一系列精彩的、有價(jià)值的、質(zhì)量高的作業(yè)應(yīng)是我們每位教師的日常追求．

作業(yè)設(shè)計(jì)即教研提升.試題命制是一次由內(nèi)而外的工作，編題的過(guò)程不僅僅是解題的過(guò)程，而且是將解題引向深入的研究過(guò)程．因此，編擬數(shù)學(xué)試題需要深厚的數(shù)學(xué)功底和良好的思維品質(zhì)，這就需要教師不斷地學(xué)習(xí)、不斷地提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在平時(shí)多注意身邊的各種事物和細(xì)節(jié)，養(yǎng)成隨時(shí)記錄的習(xí)慣和批判的思維意識(shí)．

4.3 善用激勵(lì)評(píng)價(jià)

如果說(shuō)做作業(yè)是學(xué)生的責(zé)任，那么設(shè)計(jì)、批改、分析和講評(píng)作業(yè)就是教師的義務(wù)，再好的作業(yè)設(shè)計(jì)若離開(kāi)了及時(shí)有效的評(píng)價(jià)其價(jià)值將會(huì)大打折扣．一方面，當(dāng)我們帶著明晰的設(shè)計(jì)意圖批改作業(yè)時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解答是否與我們的預(yù)設(shè)一致、是否出現(xiàn)我們意想不到的答案；鞏固性作業(yè)反饋了學(xué)生對(duì)我們所學(xué)內(nèi)容的掌握程度，拓展性作業(yè)反饋了學(xué)生對(duì)后續(xù)內(nèi)容的了解程度.據(jù)此，在分析和講評(píng)作業(yè)時(shí)就會(huì)更具針對(duì)性．另一方面，為了在進(jìn)行作業(yè)講評(píng)的同時(shí)開(kāi)展新課教學(xué)，我們?cè)谠O(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)盡可能要有“瞻前顧后”的作業(yè)，以便我們?cè)谥v評(píng)作業(yè)過(guò)程中無(wú)縫銜接到新課教學(xué)，達(dá)到潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲的境界．最后，還要做好典型作業(yè)解答的收集與展示，既有典型錯(cuò)誤的友情提醒，又有精彩想法的思維碰撞，這樣方能激勵(lì)每位學(xué)生認(rèn)真對(duì)待自己的作業(yè)、認(rèn)真學(xué)習(xí)別人的作業(yè)，以作業(yè)貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，實(shí)現(xiàn)真正意義上的自主學(xué)習(xí)．

5 結(jié)束語(yǔ)

新冠肺炎疫情的爆發(fā)，沖擊了學(xué)校教育的傳統(tǒng)教學(xué)方式，提升了在線(xiàn)教育教學(xué)的責(zé)任與功能，并促使人們重新認(rèn)識(shí)“作業(yè)設(shè)計(jì)”面臨的新需求、新要求和新思考．當(dāng)前，疫情防控進(jìn)入常態(tài)化階段，居家學(xué)習(xí)期間形成的有關(guān)作業(yè)設(shè)計(jì)的良好經(jīng)驗(yàn)，值得在后疫情時(shí)期繼續(xù)完善提升，并以此推動(dòng)構(gòu)建作業(yè)管理的長(zhǎng)效機(jī)制，形成“教學(xué)—作業(yè)—評(píng)價(jià)”的系統(tǒng)化設(shè)計(jì)．