轉(zhuǎn)化與化歸思想在初中數(shù)學中的應(yīng)用

文 /黃秀娘

引 言

數(shù)學思想是指在現(xiàn)實生活中對各類數(shù)學理論形成的本質(zhì)認知，體現(xiàn)了數(shù)學學科中的總結(jié)性、廣泛性和奠基性特點。研究數(shù)學中體現(xiàn)的思想和方法，有助于提高課堂教學的效率，發(fā)展和改善學生的認知結(jié)構(gòu)。數(shù)學思想和方法包括轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類與討論、函數(shù)與方程。

數(shù)學問題的研究與求解過程，是一種從未知到已知的變化過程，即通過聯(lián)想和類比來分析數(shù)學問題，選擇合適的方式進行演化，最終確定比較合理且容易的解決方法。將轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用到初中數(shù)學教學活動中，有利于學生掌握數(shù)學知識以及解題技巧。

一、研究轉(zhuǎn)化與化歸思想教學的必要性

（一）從初中數(shù)學教學現(xiàn)狀來看

轉(zhuǎn)化與化歸思想是初中數(shù)學階段的重要數(shù)學思想之一，培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化與化歸思想能夠有效提高學生對初中階段各類數(shù)學理念的理解水平，對于激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，提高學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)有非常重要的作用[1]。

（二）從初中數(shù)學教材內(nèi)容來看

初中數(shù)學教科書中包含了大量關(guān)于轉(zhuǎn)化與化歸思想的內(nèi)容。在學習有理數(shù)的基礎(chǔ)上，可以用加法、減法、除法、乘法以及二元一次方程的代入法來求出加、減、乘、除的結(jié)果；也可運用加減法、一元一次方程或分式方程求出整式方程。在證明平行四邊形對角、對邊相等時，連接對角線可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為兩個全等

三角形，得到平行四邊形對角、對邊相等；利用相似比和直角三角形函數(shù)的簡單應(yīng)用來求解直角三角形，在適當條件下，非直角三角形可轉(zhuǎn)化成直角三角形。

轉(zhuǎn)化與化歸思想在中學數(shù)學教科書中隨處可見，因此，教師在教學過程中應(yīng)進行更高層次的教育和理解，甚至要結(jié)合數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的橫向和縱向聯(lián)系，有意識地將轉(zhuǎn)化與化歸思想滲透到教學中，并在教學過程中對其進行編輯和改造。

轉(zhuǎn)化是一種將一個困難的問題變?yōu)榭梢越鉀Q的、具有更明確客觀特征的問題的方法。數(shù)與形的結(jié)合是幾何與代數(shù)的相互變換，但有些問題在變換后無法立即解決，因此，需要重新變換?；瘹w的概念也可用于簡化計算，一般來說，中學數(shù)學課常用化歸的思想來解決代數(shù)問題，用轉(zhuǎn)化的思想來證明幾何問題。

二、轉(zhuǎn)化與化歸的基本原則

轉(zhuǎn)化分為兩種形式，一種是等價轉(zhuǎn)化，另一種是非等價轉(zhuǎn)化。在此基礎(chǔ)上，轉(zhuǎn)化與化歸應(yīng)遵循一定的基本原則。

（一）熟悉性原則

在解決中學數(shù)學問題時，我們常常把一些不熟悉的問題變成常見的、熟悉的問題，這樣就可以利用已有的知識和豐富的經(jīng)驗來解決。中學數(shù)學知識中的許多元素都可以通過新舊知識的聯(lián)系來轉(zhuǎn)化和解決問題。例如，解一元二次方程x2-4=0：通過因式分解，得出（x+2)（x-2）=0；然后轉(zhuǎn)化成解熟悉的一元一次方程x+2=0 與x-2=0；得出x1=-2，x2=2。

（二）簡捷性原則

在解決中學數(shù)學問題時，我們的目標是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題然后解決。所以，在處理實際問題時，一定要考慮到簡單原則并運用簡化思維來完成解題。

（三）直觀性原則

直觀性原則就是在數(shù)學教學的過程中，能指導(dǎo)學生對學習對象進行直接的感知，并能幫助他們在各種數(shù)學理論知識和實際事物之間建立聯(lián)系。學生在解決具體的數(shù)學問題時，要培養(yǎng)自身的思維能力，將抽象的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為可理解的和可視化的問題。代數(shù)問題是抽象的，而如果把它們轉(zhuǎn)換成直接可見的圖像，它們就更容易解決了[2]。

（四）和諧性原則

和諧性原則就是教師可以指導(dǎo)學生了解不同數(shù)學概念（如分數(shù)和除法）間的內(nèi)在關(guān)系。而依據(jù)數(shù)學和諧性原則進行教學，可以有效培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和增強學生對數(shù)學教學內(nèi)容的本質(zhì)性認識。

三、初中數(shù)學中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想存在的問題

（一）習慣于直觀思維

我們發(fā)現(xiàn)在解題過程中，學生往往采用常規(guī)的方式，創(chuàng)造力不足。一方面，“錄取率”的壓力使得教師疲于演示解題過程而忽略思維過程的呈現(xiàn)，從而導(dǎo)致學生無法深刻地認識與了解思維轉(zhuǎn)變的實質(zhì)；另一方面，面對大量的課程和任務(wù)，學生沒有時間掌握創(chuàng)新方法，只能接受傳統(tǒng)的解決方案。

（二）知識銜接困難

轉(zhuǎn)化與化歸思想是一種不斷變化的思維方式，它將陌生、難解的題目轉(zhuǎn)化為熟悉的、有規(guī)律的、淺顯的題目，讓學生在學習過程中解決未知的問題。這不僅需要系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和知識框架，還需要掌握新舊知識之間的聯(lián)系，以便獲得相關(guān)信息，及時解決新的問題。若學生掌握的知識不夠系統(tǒng)，轉(zhuǎn)化和化歸過程就會受阻，學生就無法把所掌握的知識精確地聯(lián)系在一起，找不到解題突破口。

四、掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想的基本途徑

（一）熟練掌握基礎(chǔ)知識

掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能是靈活運用轉(zhuǎn)化與化歸思想的前提和基礎(chǔ)。因此，教師必須幫助學生打好堅實的數(shù)學基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上，進而開展聯(lián)想、觀察、比較、類比的實踐探究。教師還應(yīng)指導(dǎo)學生在理解了公式、理論和規(guī)律后，在解決問題時一定要有意識地進行總結(jié)。

（二）增強轉(zhuǎn)化與化歸的意識

就學生的學習而言，數(shù)學思想和方法的習得不是一個刻意和固定的過程，而是依據(jù)學生的自身經(jīng)驗在各種應(yīng)用中逐漸產(chǎn)生的，轉(zhuǎn)化與化歸思想就是其中之一。在解決問題的過程中，學生必須根據(jù)學科信息的多樣性、多角度性和動態(tài)性來看待問題，并將其轉(zhuǎn)化為另一種方式。在解決問題后，學生可以總結(jié)經(jīng)驗，整理解決方案中使用的思想，并將它們應(yīng)用到下一個問題解決方案中。

（三）在日常教學中注意滲透轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學教師必須按照課程的要求，逐步將自己的思想轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生的思想。在教學過程中，教師不應(yīng)直接將轉(zhuǎn)變后的思想灌輸給學生，而是應(yīng)把思想融入教學內(nèi)容和行為，讓學生在潛移默化中逐漸形成相應(yīng)的思想。

五、在數(shù)學解題過程中運用轉(zhuǎn)化和化歸思想的策略

（一）通過經(jīng)典例題滲透轉(zhuǎn)化和化歸思想

轉(zhuǎn)化和化歸可以將一些無法解決的問題通過變革性的思想來解決，教師必須充分引導(dǎo)學生體會轉(zhuǎn)化和化歸的優(yōu)勢。

例如，在“函數(shù)與圖像”的教學中，教師引導(dǎo)學生對交點的作用進行了深入的探究。其中一個問題是“當直線y=x+b與直線y=2x+4 的交點在第二象限，則b的取值范圍是什么？”。當學生第一次遇到這個問題時，他們會感到困惑：如何保證兩條直線的交點在第二象限呢？根據(jù)第二象限點的坐標特點，其交點坐標就是聯(lián)立這兩個方程組組成的方程組的解，也就是這個問題的最終結(jié)果。這時一切都迎刃而解，學生會產(chǎn)生頓悟的體驗。

（二）將轉(zhuǎn)化與化歸思想進行分類，促進學生理解數(shù)學問題

首先，轉(zhuǎn)化與化歸思想可以應(yīng)用于代數(shù)問題。轉(zhuǎn)化與化歸思想旨在把一個復(fù)雜的問題變成一個簡單的問題，然后用一個更熟悉的知識點來解決。例如，因式分解就是以小學的知識為出發(fā)點，通過不斷的整合和變形，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的知識點。其次，變換的思想突出了它在幾何問題解答中的優(yōu)勢。例如，在探究圓柱側(cè)面積公式的計算方法時，由于圓柱的側(cè)面是一個曲面，所以必須用化歸思想來解決這些問題。將圓柱體的側(cè)面延一條垂直于底面的線剪開，再剪去圓柱體頂面和底面的兩個圓，然后將圓柱體的側(cè)面完全展開。此時，學生會發(fā)現(xiàn)圓柱體的側(cè)面展開圖實際上是一個矩形。這樣學生就會明白為什么圓柱表面積的計算公式是S=2πr2+2πrh。

（三）加強對轉(zhuǎn)化與化歸思想的認識

要想將化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想熟練地使用到解決問題的過程中，首先要對該思想有深刻的認識，掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體含義；同時也要打牢基礎(chǔ)知識的根基，清楚認知知識體系內(nèi)各個知識點的內(nèi)在聯(lián)系，這樣在遇到復(fù)雜問題時才能迅速對基礎(chǔ)知識點做出選擇。熟練掌握基礎(chǔ)知識和理解轉(zhuǎn)化與化歸思想不僅是對學生提出的要求，更是對初中數(shù)學教師提出的要求。教師自身得嚴格要求自己，能夠在解決問題的過程中駕輕就熟地使用轉(zhuǎn)化與化歸思想。同時，學生也要有清晰的認知，將教師所傳授的學習方法內(nèi)化于心。如果在使用過程中出現(xiàn)力不從心的情況，要考慮是否是因為基礎(chǔ)知識掌握不牢靠所導(dǎo)致的。例如，在初中數(shù)學幾何題中，已知正方形ABCD，A（1，1）、B（2，-1），求C、D的坐標，若一次函數(shù)y=kx-2（k≠0）的圖像過C點，求k的值。在這一例題中，相對抽象的幾何問題可以轉(zhuǎn)化為平面視覺圖形，利用坐標軸建立A、B兩點，并根據(jù)A、B兩點之間的距離獲得正方形ABCD的邊長。之后，可利用一次函數(shù)進行解題，將C點坐標帶入y=kx-2（k≠0）中，求出k的值。

（四）將復(fù)雜問題簡單化

初中數(shù)學問題大都對知識的集成度較高，容易使學生產(chǎn)生畏難的心理。教師應(yīng)在日常的課堂上就復(fù)雜問題的解決步驟對學生進行詳細的講解，使學生發(fā)現(xiàn)并仔細分析其中包含的基礎(chǔ)知識，一步步化簡，最終得到答案。例如，對于分式方程“=4”，學生拿到題目便覺得有些復(fù)雜，看到分式方程之后更是無從下手。此時，教師可以引導(dǎo)學生使用化歸思想，將分式方程化為整式方程。首先，尋找分式方程的最簡公分母“2x-3”，在等式兩邊同時乘以“2x-3”，將分式方程化為簡單熟悉的整式方程，就可解整式方程得“x=1”，最后提醒學生分式方程需要檢驗。

（五）強化教學設(shè)計，開展化歸主題教學

在中學數(shù)學教學中，教師必須不斷加強教學設(shè)計，優(yōu)化實施創(chuàng)新的教學方法，積極轉(zhuǎn)變教學觀念。教師在設(shè)計教學和研究教材時，必須注意教材中包含的思維方法。在數(shù)學教學過程中，要注意合作探究或訓(xùn)練方式的改變，將新的數(shù)學知識和舊的數(shù)學知識建立聯(lián)系，使學生進入逆向思維。在數(shù)學課上，創(chuàng)新可以讓學生理解和感受到思維的有效性，教師可以有意為學生創(chuàng)造獨立發(fā)展和學習的空間，展示數(shù)學問題的相似之處，引導(dǎo)學生得出結(jié)論，最終產(chǎn)生相應(yīng)的模型來反映思想的轉(zhuǎn)變。

如教師可借助信息技術(shù)這一多媒體設(shè)備使學生對“余角與補角”中角的個數(shù)及其相互關(guān)系進行觀察與預(yù)測，加深他們對“余角”與“補角”的認識，增強他們獨立學習與獨立思考的能力。

結(jié) 語

作為一種重要的思維方法，轉(zhuǎn)化和化歸有助于學生透過現(xiàn)象認識事物本質(zhì)，把目光轉(zhuǎn)向具體事物，把復(fù)雜的問題簡單化，有利于提高解題效率。在教學過程中，教師要幫助學生克服學習困難，提高學習效率，這對于提升中學數(shù)學教師的實踐能力具有十分重要的意義。