一類半線性退化Schr?dinger方程解的存在性

冉 玲，陳尚杰，李 麟

(重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400067)

1 關(guān)于半線性退化Schr?dinger方程的介紹和主要結(jié)論

本文主要研究如下半線性退化Schr?dinger方程

(1)

其中?γ=(γ1?x1u,…,γN?xNu)。

退化算子Δγ中的函數(shù)γj:RN→R是連續(xù)的，是RNΠ上不等于零的C1函數(shù)，其中:

而且，函數(shù)γj滿足如下條件[1]：

1)存在一個擴(kuò)張{δt}t>0的半群使得δt:RN→R，δt(x1,…,xN)=(tε1x1,…,tεNxN),其中1=ε1≤ε2≤…≤εN，使函數(shù)γj關(guān)于δt是εj-1階齊次的，即：

γj(δt(x))=tεj-1γj(x)，?x∈RN，?t>0，j=1,…,N,

2)γ1=1，γj(x)=γj(x1,x2,…,xj-1)，j=2,…,N；

4)等式γj(x)=γj(x*)(j=1,…,N)對任意x∈RN成立，這里x*=(|x1|,|x2|,…,|xN|)；

5)等式γj(x+z)=γj(x)(j=1,…,N)對任意x∈RN和z∈ZN成立。

退化算子Δγ包含了如下的Gru?in型算子：

其中(x,y)表示RN1×RN2中的點。GRUIN[2]研究了α是整數(shù)的情況，F(xiàn)ranchi和Lanconelli[3-4]研究了α不是整數(shù)的情況。Δγ算子還包含如下強(qiáng)退化算子：

其中α,β是非負(fù)常數(shù)，Anh[5]研究了這個算子Pα,β。在文獻(xiàn)[1]中有關(guān)于Δγ算子的更多信息介紹。

目前，Anh和My[6]，Luyen等[7]及Chen等[8]在RN的有界域Ω中研究了半線性退化Schr?dinger方程解的存在性及多解的存在性問題，在有界區(qū)域中對于方程所對應(yīng)的能量泛函所在的空間嵌入到Lq(Ω)中的緊性是很容易得到的，但是本研究的方程是在RN上進(jìn)行的,加大了研究的難度。在RN上的帶Δγ算子的半線性橢圓型偏微分方程解的存在性的研究結(jié)果還相當(dāng)稀少，僅Luyen和Tri[9]運用對稱山路定理得到了如下的帶Δγ算子的半線性橢圓型偏微分方程

(2)

無窮多解的存在性，其函數(shù)空間是：

其中位勢函數(shù)V(x)滿足：對任何實數(shù)C>0集合{x∈RN∶V(x)

本文考察帶有常數(shù)位勢函數(shù)的帶Δγ算子的橢圓型偏微分方程(1)解的存在性，結(jié)果如下：

1)b∈L∞(RN)且b(x)≥1,?x∈RN；

則方程(1)至少有一個非平凡解。

為了完成定理的證明，需要如下的臨界點定理[10]：

定理2(山路定理)假設(shè)H是Banach空間，J∈C1(H,R)滿足J(0)=0，存在正常數(shù)α和ρ使得

1)當(dāng)‖u‖H=ρ時，J(u)≥α；

2)存在v∈H使得‖v‖H>ρ且J(v)<0；

如果J滿足(PS)c條件，則c是J的臨界值，這里

2 變分結(jié)構(gòu)和定理證明

首先考慮極限情形，即方程(1)中的b(x)=b∞=1時非平凡解的存在性，也就是考慮方程

(3)

(4)

(5)

(6)

證明取{un}?B是Sp+1的極小化序列，即當(dāng)n→∞時有|un|p+1=1,‖un‖2→Sp+1。根據(jù)文獻(xiàn)[10]中的引理2.1得

其中B(y,1)表示以y為圓心1為半徑的球。由此可知存在序列{yn}?RN使得

(7)

令vn(x)=un(x+zn)，通過平移不變性得

|vn|p+1=1,‖vn‖2→Sp+1,

(8)

(9)

根據(jù)文獻(xiàn)[11]的Brézis-Lieb引理：如果hj∈Lq(RN),q∈(1,∞)是有界的并且?guī)缀跆幪幵赗N中有hj(x)→h(x)，則

(10)

從而易得

(11)

由Sobolev不等式和(11)式可得

函數(shù)t在(-ε,ε)上是可導(dǎo)的，其導(dǎo)函數(shù)如下：

由上可得

(12)

即

(13)

(14)

(15)

1)當(dāng)‖u‖=ρ時，Jb(u)≥α；

證明根據(jù)Jb(u)的定義顯然有Jb(0)=0。

1) 從(6)式可得

因此，存在實數(shù)M>0，當(dāng)t>M時，有v=te0滿足‖v‖>ρ以及Jb(v)<0。

引理4 假設(shè)函數(shù)b(x)滿足定理1中條件1)，2)成立，則泛函Jb(u)滿足(PS)cb條件，這里

Jb(un)→cb,J′b(un)→0。

(16)

顯然當(dāng)n充分大時，

(17)

(18)

根據(jù)(18)式以及(un-u1,u1)=o(1)，顯然

=Jb(un-u1)+Jb(u1)+o(1)。

結(jié)合(16)式以及(17)式，推出

Jb(un-u1)≤cb+o(1)。

(19)

通過相似的方法，有

因為〈J′b(u1),u1〉=0并且當(dāng)n→∞時，〈J′b(un)，un〉=0，可得存在β≥0滿足

(20)

由定理1中條件2可推出對任何ε>0，當(dāng)n,R充分大時有

從而由(20)式可知

(21)

結(jié)論與前面c∞>cb矛盾。因此β=0，則‖un-u1‖2=0，泛函Jb(u)滿足(PS)cb條件。

3 結(jié) 語

本文主要對帶有Δγ算子的Schr?dinger方程進(jìn)行了研究，利用山路定理以及變分法找到帶有Δγ算子的Schr?dinger方程非平凡解的存在性，所研究的方程中b(x)是漸進(jìn)常數(shù)的，如果將b(x)換成漸進(jìn)線性的，是否同樣可以得到帶有Δγ算子的Schr?dinger方程非平凡解的存在性呢？這將是未來研究工作之一。