以模型為例 探究幾何最值問題

張海霞

摘 要： 在初中數(shù)學(xué)中，常常遇見求解幾何最值的問題，由于這類題型的綜合性強(qiáng)，形式靈活多變，知識點(diǎn)涉及廣泛，學(xué)生常常束手無策.想要掌握這類題目并不難，需要學(xué)生把握好常見的類型，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，深度挖掘題目背后的知識點(diǎn)，再結(jié)合相關(guān)知識來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就可以化繁為簡了.本文就初中數(shù)學(xué)幾何最值問題的探究做出詳細(xì)的思路分析，并且提出相關(guān)的學(xué)習(xí)建議.

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué);幾何最值;模型;合理轉(zhuǎn)化

中圖分類號： G632?????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A?????? 文章編號： 1008-0333（2021）35-0034-02

一、“將軍飲馬”模型解讀 幾何最值問題的形式靈活多變，但是它之間蘊(yùn)含的基本模型是一定的，模型如下：

模型滿足的條件：如圖1所示，有一條已知直線l和直線外兩點(diǎn)A、B，并且點(diǎn)A、B在直線l的同一側(cè)，點(diǎn)P為一個動點(diǎn)，它只能在直線l上運(yùn)動.

根據(jù)模型提出問題：如果要使得PA+PB的值最小，那么，動點(diǎn)點(diǎn)P應(yīng)該處在直線l的哪一處？

解析? 作出所需的輔助線，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)A1，然后連接線段A1B，并且線段A1B與直線l相交產(chǎn)生交點(diǎn)，此交點(diǎn)為了符合題意時點(diǎn)P的位置，那么，PA+PB=A1P+PB=A1B.

方法解讀? 因?yàn)樵谧鬏o助線時，首先找的是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動，所以不管點(diǎn)P在直線l上的哪一點(diǎn)，根據(jù)軸對稱的特性可以知道：PA=A1P，這時這個題目就被轉(zhuǎn)化為求A1P+PB的最小值，又因?yàn)榍蟮氖侨齻€點(diǎn)之間的所連線段的最小值，因此，可以根據(jù)原理：“兩點(diǎn)之間線段最短”，將三點(diǎn)化為兩點(diǎn)，即當(dāng)點(diǎn)A1、P、B共線時，A1P+PB可以取得最小值，從而實(shí)現(xiàn)了線段的“化”“折”“為”“直”.

二、問題探究

類型? 幾何圖形中的線段與最值

例1? 如圖2所示，此圖由一個正方形ABCD和一個等邊三角形ABE所組成，并且已知在正方形ABCD的對角線BD上有一個動點(diǎn)M，點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合，如若將線段BM以點(diǎn)B 為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)60°，這時點(diǎn)B落在了點(diǎn)N處，最后將CM、AM和EN連接起來，請根據(jù)以上條件回答問題.

（1）試證明：ΔAMBΔENB.

（2）①如要使得AM+CM有最小值，那么，點(diǎn)M應(yīng)該在線段BD的哪一處;

②如果要使得AM+BM+CM有最小值，那么，這時點(diǎn)M又該位于和位置呢，請說明理由.

解析? 對于第一小問，本小題比較簡單，只需要根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)，找到兩個需要證明全等的三角形對應(yīng)邊相等即可，過程略.

第二小問，①這道題目和例題“將軍飲馬”很相似，解題方法是一樣的，其中涉及三個點(diǎn)，由于兩點(diǎn)之間線段最短，可以得出線段AC與線段BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M時，就是題目所求的最小值的情況，那么，此時點(diǎn)M為BD的中點(diǎn).

②求解線段和的最小值，我們需要采用等線段轉(zhuǎn)化的方法，如圖3所示，首先作出所需輔助線，連接CE、MN，然后過點(diǎn)E作CB延長線上的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)F，在這里我們需要利用第一小問的結(jié)論即△AMB△ENB，∴AM=EN，∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN為等邊三角形，∴BM=MN，那么，AM+BM+CM=EN+MN+CM.

又兩點(diǎn)之間線段最短，可知當(dāng)點(diǎn)E、N、M、C共線時，有EN+MN+CM=EC，

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M為EC和BD的交點(diǎn)時距離最短.

解析? 這道例題是幾何圖形的線段和最值問題，涉及三線、四點(diǎn)，但是不管怎樣，解題的原理還是一樣的，碰到需要化“折”為“直”的問題時，可以采用軸對稱來進(jìn)行變換，還可以利用“兩點(diǎn)之間線段最短”的原理來確定最值的情況.

三、幾何圖形的周長最值問題

例2? 如圖4所示，在四邊形ABCD之中有兩個直角，分別為∠B和∠D，并且∠C=50°，已知點(diǎn)E位于線段BC上，點(diǎn)F位于線段DC上，試求當(dāng)△AEF的周長取得最小值時，∠EAF的度數(shù)是多少？

解析? 本道例題求解周長的最值問題，我們可以先確定ΔAEF周長最小時的情況，再來求∠EAF的度數(shù)，L△AEF=AE+AF+EF，需要根據(jù)基本的模型來進(jìn)行轉(zhuǎn)化才可以解出題目.

如圖5，過點(diǎn)A作出關(guān)于BC的對稱點(diǎn)M，再過點(diǎn)A作關(guān)于CD對稱的點(diǎn)N，然后將MN連接起來，設(shè)線段MN與線段BC的交點(diǎn)為E，線段MN與線段CD的交點(diǎn)為F，那么在這時點(diǎn)M、E、F、N四點(diǎn)共線，AE+AF+EF=EM+NF+EF=MN，ΔAEF的周長是最小的.

由軸對稱的特性可以知道，∠M=∠BAE，∠N=∠DAF，

又∵∠BAD=130°，并且∠M+∠N=50°，

∴∠BAE+∠DAF=50°，

∴∠EAF=130°-50°=80°.

本題屬于幾何圖形周長的最值問題，需要結(jié)合周長公式將求解幾何圖形的最值問題轉(zhuǎn)化為求解線段和的最值問題，此類題型的特點(diǎn)就在于它涉及到的線段和關(guān)鍵點(diǎn)更多，雖然難度增加了，但是只要掌握了原理，在實(shí)際分析時進(jìn)行多次軸對稱變換，這類題目就會迎刃而解.

通過上述幾道例題的解析與思路分析，我們不難發(fā)現(xiàn)這類題型的關(guān)鍵點(diǎn)在于掌握“兩點(diǎn)之間線段最短”原理，并根據(jù)原理進(jìn)行多次轉(zhuǎn)換就可以簡化題目，根據(jù)軸對稱的特性，做到化“折”為“直”，再結(jié)合“兩點(diǎn)之間線段最短”找出動點(diǎn)滿足題意的位置，當(dāng)涉及三線、四點(diǎn)時，更應(yīng)該找到線段相等的線段，將其替換，然后找到它們的交點(diǎn)，一般這個交點(diǎn)就是我們所求的點(diǎn).不難發(fā)現(xiàn)，這類題型涉及的知識點(diǎn)還是挺多的，比如“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”以及“線段平移”，還有軸對稱的特性，因此，在平時就要求學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識點(diǎn)非常熟悉，并且需要掌握一些基礎(chǔ)的問題模型，研究透這些模型，夯實(shí)基礎(chǔ)，勤加練習(xí)才是最重要的.

參考文獻(xiàn)：

[1]汪仁林，朱養(yǎng)鋒.例析與圓有關(guān)的最值問題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2014（03）：4-5.

[2]楊路.這類幾何最值問題有意思[J].數(shù)理天地（初中版），2021（05）：22-23.

[3]楊路.例談幾何最值問題的破解思考[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2020（10）：16-18.

[責(zé)任編輯：李 璟]