雙向激勵(lì)下非線性壓電俘能系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析

夏光輝, 康小方, 李 聰, 陳雷雨, 許慶虎, 滿大偉

(1.安徽建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院,合肥 230601；2.安徽建筑大學(xué) 安徽省BIM工程中心,合肥 230601；3.安徽建筑大學(xué) 安徽省裝配式建筑研究院,合肥 230601)

隨著物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)等為代表的高科技飛速發(fā)展，使得微機(jī)電系統(tǒng)和無線傳感系統(tǒng)、射頻識(shí)別、無線通訊、嵌入式系統(tǒng)等為代表的高新技術(shù)突飛猛進(jìn)。越來越多的微型執(zhí)行器、傳感器不斷涌現(xiàn)。為了給微電子器件提供自供電系統(tǒng)，采用壓電振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)將環(huán)境中的動(dòng)能轉(zhuǎn)換成電能為微電子器件提供能源是一種切實(shí)可行的途徑。近20年來，壓電俘能技術(shù)被廣泛研究和應(yīng)用[1-2]。包括用于生物體運(yùn)動(dòng)的俘能技術(shù)[3]、建筑健康監(jiān)測(cè)的分布式傳感器節(jié)點(diǎn)[4]、用于醫(yī)療的嵌入式或植入式傳感器節(jié)點(diǎn)[5]、汽車輪胎壓力監(jiān)測(cè)系統(tǒng)[6]、無人飛行器以及物聯(lián)網(wǎng)智能家居系統(tǒng)[7-8]等。

在早期的數(shù)學(xué)建模中，大多數(shù)研究者都集中在使用振動(dòng)俘能系統(tǒng)的線性模型[9-11]，同時(shí)研究者們也多使用了集總參數(shù)模型(單自由度模型)[12]。雖然集總參數(shù)模型通過簡(jiǎn)單的方法給出了對(duì)問題的初步理解，但是它只局限于單一振動(dòng)模式，缺少物理耦合系統(tǒng)的振型信息，準(zhǔn)確的應(yīng)變分布以及它們對(duì)電學(xué)響應(yīng)的影響等。為了從外界環(huán)境中俘獲更多的振動(dòng)能量，需要使壓電俘能器件的工作頻率接近環(huán)境振動(dòng)頻率，也就是讓俘能器在接近共振的狀態(tài)下工作。而在接近共振的狀態(tài)下，俘能器件振動(dòng)的幅度往往是比較大的。在這種振幅較大的情況下，俘能系統(tǒng)及其環(huán)境中的非線性因素將會(huì)對(duì)俘能器件的性能有明顯影響，所以必須加以考慮。預(yù)測(cè)壓電俘能器件在非線性共振現(xiàn)象發(fā)生時(shí)的工作狀態(tài)，對(duì)于其設(shè)計(jì)非常重要，其非線性分析是非常有必要的[13]。Stanton等[14-15]對(duì)一懸臂梁雙晶片壓電俘能器進(jìn)行模型數(shù)值理論計(jì)算以及實(shí)驗(yàn)分析，在幾何線性和無端部質(zhì)量塊的情況下考慮了非線性壓電材料的本構(gòu)方程[16-17]。由于在相當(dāng)?shù)偷幕A(chǔ)加速度值的情況下非線性效應(yīng)變得明顯，研究結(jié)果得出，在共振點(diǎn)附近運(yùn)行的壓電俘能器的性能評(píng)估時(shí)有必要考慮材料非線性，包含適當(dāng)非線性項(xiàng)的物理模型可以用來充分捕捉實(shí)驗(yàn)觀察到的行為。Erturk等[18]對(duì)一個(gè)壓電磁彈性結(jié)構(gòu)的極限環(huán)振蕩進(jìn)行了非線性分析和實(shí)驗(yàn)，在一個(gè)相對(duì)寬的頻率范圍內(nèi)，此結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了一個(gè)數(shù)量級(jí)較大的功率輸出。Abdelkefi等[19]研究了考慮幾何非線性和阻尼非線性的參數(shù)激勵(lì)下的壓電式俘能器模型。根據(jù)激勵(lì)頻率，得出對(duì)于二次非線性阻尼較小值的情況下，存在一個(gè)與亞臨界分叉有關(guān)的跳躍。Daqaq等[20]對(duì)振動(dòng)俘能的非線性研究進(jìn)行了較為系統(tǒng)和全面的總結(jié)。Leadenham等[21]對(duì)雙晶片懸臂梁壓電俘能、傳感和驅(qū)動(dòng)進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。由于上述的研究基本上都只是涉及單向激勵(lì)狀態(tài)，但是自然界中的振動(dòng)源往往存在很多雙向以及多向振動(dòng)，所以對(duì)于混合振動(dòng)的研究在近幾年來引起了學(xué)者們的較高關(guān)注。Fang等[22]研究了懸臂式壓電俘能系統(tǒng)在參數(shù)激勵(lì)和外部直接激勵(lì)下的俘能性能，采用單模Galerkin方法和諧波平衡法求出頻率響應(yīng)曲線的解析表達(dá)式，得出一些有意義的結(jié)論，但在他們的研究中未曾考慮非線性阻尼對(duì)壓電俘能系統(tǒng)俘能性能的影響。Xia等[23-26]研究了參數(shù)激勵(lì)和直接激勵(lì)下懸臂梁壓電俘能系統(tǒng)的非線性問題，得出大多數(shù)參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)具有初始閾值，低于初始閾值，參數(shù)激勵(lì)收斂到零穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，沒有能量可以俘獲。對(duì)于參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)，阻尼系數(shù)和負(fù)載電阻對(duì)參數(shù)激勵(lì)下壓電俘能系統(tǒng)的初始閾值影響較大。

基于基礎(chǔ)激勵(lì)的多向性和實(shí)際環(huán)境中的低頻率環(huán)境，研究了參數(shù)激勵(lì)和直接激勵(lì)下附加端部質(zhì)量塊懸臂梁壓電俘能系統(tǒng)的非線性問題。通過Hamilton原理對(duì)一個(gè)附加端部質(zhì)量塊懸臂梁雙晶片壓電俘能系統(tǒng)模型的非線性偏微分方程進(jìn)行理論推導(dǎo)和計(jì)算分析。此壓電俘能系統(tǒng)模型在固定基礎(chǔ)端受到水平和垂直的雙向激勵(lì)，假設(shè)此懸臂梁為軸向不可伸長(zhǎng)的Euler-Bernoulli梁，此模型主要包含幾何非線性和阻尼非線性。利用Galerkin法將非線性偏微分方程降階得到參數(shù)激勵(lì)和直接激勵(lì)作用下附加端部質(zhì)量塊懸臂式壓電俘能系統(tǒng)的機(jī)電耦合運(yùn)動(dòng)微分方程。為了研究壓電俘能系統(tǒng)在其主要的一階共振情況下的響應(yīng)，采用多尺度法獲得了俘能系統(tǒng)的垂直位移、輸出電壓和輸出功率的解析表達(dá)式。得到其主要一階垂直位移幅值，輸出電壓幅值和輸出功率幅值。分析了不同激勵(lì)情況下，激勵(lì)相位等對(duì)壓電俘能系統(tǒng)俘能性能的影響。

1 俘能系統(tǒng)模型

1.1 幾何模型

圖1表示雙向激勵(lì)下壓電俘能系統(tǒng)的模型圖。梁由基層和上下兩層壓電層組合而成，假設(shè)壓電層與基層緊密結(jié)合，基層與壓電層之間的電極厚度可以忽略不計(jì)。梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，寬度為b，厚度為hb=2tp+ts，ts為基層的厚度，tp為單層壓電層的厚度。采用雙晶串聯(lián)方式與外載電阻RL相連接。M為端部的質(zhì)量塊質(zhì)量，lM為質(zhì)量塊的水平長(zhǎng)度，hM為質(zhì)量塊的縱向高度。

圖1中oxy為慣性坐標(biāo)系，o′x′y′為局部坐標(biāo)系，懸臂梁固定端的水平位移為wx(t)，垂直位移為wy(t)。s為沿著梁中性面處的坐標(biāo)，其在x′方向?yàn)閡(s,t)，在y′方向?yàn)関(s,t)。

1.2 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)文獻(xiàn)[26]中的式(16)～(17)得到雙向激勵(lì)下壓電俘能系統(tǒng)機(jī)電耦合的無量綱運(yùn)動(dòng)方程如下

(1)

(2)

(a) 立面圖

2 近似解析解

為了獲得式(1)和(2)的解析解，首先利用Galerkin法將式(1)和(2)轉(zhuǎn)化為一組非線性常微分方程，然后采用多尺度法獲得機(jī)電耦合方程的解析解，研究壓電俘能系統(tǒng)非線性特性并分析穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)定性。

在參數(shù)激勵(lì)和直接激勵(lì)下附加端部質(zhì)量塊的懸臂式壓電俘能器的非線性機(jī)電耦合降階方程如下

(3)

(4)

其中：

(5)

(6)

我們采用多尺度法求解式(3)和(4)的解析解，假設(shè)取第一階主振型，n=1，基底受到諧和激勵(lì)為

(7)

(8)

(9)

其中：

μ=μ0,ηn=η0,χn=χ0

(10)

(11)

消除永年項(xiàng)，即令exp(iΩ0T0)的系數(shù)為零，得：

(12)

我們將復(fù)數(shù)A寫成極坐標(biāo)的形式

(13)

式中,a，θ都為時(shí)間T1的函數(shù)。

將式(13)代入式(12)，進(jìn)行實(shí)部和虛部的分離得到：

c8asin(2φ)

c8acos(2φ)

(14)

式中,φ=σT1-θ。

c1a+cQa2+c2a3+c3a5+c4sin(φ+ψ)+c8asin(2φ)=0

(15)

式中,

(16)

式(14)的φ為相位變化，從-π≤φ≤π。由式(15)第一式求出a的值，然后將a以及相應(yīng)的φ值代入式(15)第二式求出σ。將求出的a，σ及相應(yīng)的φ值代入式(10)和(11)，即可獲得無量綱位移響應(yīng)和輸出電壓響應(yīng)的解析表達(dá)式

(17)

(18)

式中,θ1=arctan(μ0/Ω0)。

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的輸出功率響應(yīng)的解析表達(dá)式為

(19)

對(duì)于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的非平凡解，為了確定非平凡解是否穩(wěn)定，通過在定常點(diǎn)(a0，φ0)上引入一個(gè)時(shí)變的無窮小擾動(dòng)(δa(t)，δφ(t))，即：a=a0+δa(t),φ=φ0+δφ(t)可以求出定常點(diǎn)的穩(wěn)定性。我們考察式(14)，它的Jacobi矩陣為

(20)

其中，

k12=-c4cosφ0-2c8a0cos(2φ0)

k22=c4sinφ0/a0+2c8sin(2φ0)

(21)

Jacobi矩陣的特征方程如下

(22)

Δ1=-(k11+k22)>0

Δ2=-(k11+k22)(k11k22-k12k21)>0

(23)

3 結(jié)果分析

利用前面導(dǎo)出的解析解，本章主要研究雙向激勵(lì)下非線性壓電俘能系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中相位的影響。文中所有圖形實(shí)線部分表示穩(wěn)定解，虛線部分表示不穩(wěn)定解。ρM為質(zhì)量塊的密度，bM為質(zhì)量塊的水平寬度。梁的幾何和材料參數(shù)為：

L=50 mm,b=20 mm,ts=0.2 mm,tp=0.2 mm,

m=96 g/m,Ys=20×109N/m2,Yp=60.9×109N/m2,

ρM=7 165 kg/m3,lM=5 mm,bM=20 mm,

3.1 單獨(dú)參數(shù)激勵(lì)和單獨(dú)直接激勵(lì)作用下相位的影響

當(dāng)單獨(dú)參數(shù)激勵(lì)的時(shí)候，直接激勵(lì)為零，即δy=0，此時(shí)c4=0，包含相位項(xiàng)的系數(shù)為零，相位變化對(duì)壓電俘能系統(tǒng)無影響。

單獨(dú)直接激勵(lì)的時(shí)候，δx=0，從而c8=0。相位ψ變化對(duì)單獨(dú)直接激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的位移幅值、輸出電壓幅值和輸出功率幅值幅頻響應(yīng)曲線都沒有影響。

3.2 參數(shù)激勵(lì)和直接激勵(lì)同時(shí)作用下相位的影響

為了研究相位變化對(duì)壓電俘能系統(tǒng)的影響，分別研究了ψ變化的九種取值。

(a)

(a)

(a)

3.3 參數(shù)激勵(lì)和直接激勵(lì)同時(shí)作用下激勵(lì)幅值的影響

(a)

4 結(jié) 論

對(duì)雙向激勵(lì)下考慮幾何非線性和阻尼非線性的附加端部質(zhì)量塊懸臂梁壓電俘能器數(shù)學(xué)模型進(jìn)行理論推導(dǎo)，得出輸出功率的解析解表達(dá)式。研究了激勵(lì)相位和參數(shù)激勵(lì)幅值變化對(duì)壓電俘能系統(tǒng)性能的影響。具體結(jié)論如下：

(1) 單獨(dú)參數(shù)激勵(lì)或單獨(dú)直接激勵(lì)下，激勵(lì)相位的變化對(duì)此壓電俘能系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)位移幅值、輸出電壓幅值和輸出功率幅值都沒有明顯影響。

(2) 在同時(shí)參數(shù)激勵(lì)和直接激勵(lì)下，激勵(lì)相位的變化對(duì)壓電俘能系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)有較大影響，雙向激勵(lì)下壓電俘能系統(tǒng)的相位變化響應(yīng)周期是π。合適的相位取值，可以使壓電俘能系統(tǒng)的工作頻帶拓寬，提高壓電俘能系統(tǒng)的俘能性能。

(3) 固定直接激勵(lì)不變，選取合適的激勵(lì)相位，參數(shù)激勵(lì)幅值的增加，會(huì)顯著加強(qiáng)非線性軟化現(xiàn)象，并且使壓電俘能系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進(jìn)入到一個(gè)雙峰狀態(tài)，從而使壓電俘能系統(tǒng)的俘能效率得到提高。