基于Peano分形的亞波長(zhǎng)尺度聲學(xué)超材料

吳光華, 柯藝波, 張 林, 陶 猛

(貴州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 貴陽(yáng) 550025)

聲學(xué)超材料是一類周期性排列，可以對(duì)振動(dòng)波的散射特性進(jìn)行操控的人工結(jié)構(gòu)，展現(xiàn)出自然材料中未發(fā)現(xiàn)的、獨(dú)特的聲學(xué)特性，為亞波長(zhǎng)尺度上的聲調(diào)控提供了可行性[1]。人工設(shè)計(jì)的超材料具有特殊的聲學(xué)性能，原因在于其特殊的結(jié)構(gòu)而不是材料成分，展現(xiàn)出廣泛的應(yīng)用前景，如聲聚焦[2-4]、聲學(xué)隱身[5]等。聲波的調(diào)控基于布拉格散射機(jī)理和局域共振機(jī)理，前者在低頻范圍內(nèi)產(chǎn)生帶隙時(shí)，需要很大的結(jié)構(gòu)尺寸[6]，后者是由亞波長(zhǎng)尺度的共振單元引起的，可以不受空間尺寸的限制，產(chǎn)生低于傳統(tǒng)的布拉格散射帶隙的頻帶[7]?；诰钟蚬舱駲C(jī)理的人工聲學(xué)超材料，可以在低頻范圍內(nèi)進(jìn)行聲波調(diào)控，因而成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。

Liu等[8]將硅膠包覆在鉛球外構(gòu)成結(jié)構(gòu)單元，并嵌入基體材料中，在結(jié)構(gòu)共振頻率附近，第一次實(shí)現(xiàn)了負(fù)質(zhì)量密度的響應(yīng)。Fang等[9]將亥母霍茲共振腔周期性排列，實(shí)現(xiàn)了負(fù)體積模量的響應(yīng)，并通過(guò)改變共振腔腔體尺寸來(lái)調(diào)控帶隙的頻段。Yang等[10]采用薄膜結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)出可以實(shí)現(xiàn)負(fù)質(zhì)量密度的聲學(xué)超材料。Lee等[11]在前人的基礎(chǔ)上，將薄膜型結(jié)構(gòu)和亥母霍茲共振腔結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了質(zhì)量密度和體積模量同時(shí)為負(fù)值的超構(gòu)材料。結(jié)構(gòu)在特定頻帶內(nèi)的帶隙與聲學(xué)超材料的負(fù)參數(shù)有關(guān)，單極共振時(shí)引起負(fù)的體積模量，偶極共振引起負(fù)的質(zhì)量密度，當(dāng)這兩個(gè)參數(shù)任意一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，聲的相速度為純虛數(shù)，聲波無(wú)法在介質(zhì)內(nèi)傳播形成帶隙[12]。Cheng等[13]基于Mie共振設(shè)計(jì)出一個(gè)具有8個(gè)聲通道的圓形對(duì)稱空間卷曲結(jié)構(gòu)，研究了在單極和偶極共振時(shí)，結(jié)構(gòu)中心區(qū)域產(chǎn)生能量聚集，實(shí)現(xiàn)了負(fù)等效質(zhì)量密度和體積模量并設(shè)計(jì)出三維結(jié)構(gòu)，為設(shè)計(jì)新型聲學(xué)器件提供了新的途徑。張嵩陽(yáng)等[14]基于局域共振原理，設(shè)計(jì)了一種輕量的聲學(xué)超材料板，并從試驗(yàn)測(cè)試的角度證明了設(shè)計(jì)的超材料板具有良好的低頻寬帶隔聲性能。

基于結(jié)構(gòu)共振機(jī)理設(shè)計(jì)的聲學(xué)超材料會(huì)導(dǎo)致能量的高損耗，同時(shí)還有一些缺點(diǎn)，如結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定，使用壽命短以及產(chǎn)生的帶隙窄等?；谟行Ы橘|(zhì)理論設(shè)計(jì)的空間卷曲超材料，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，具有高對(duì)稱性，可以產(chǎn)生負(fù)的色散關(guān)系，實(shí)現(xiàn)負(fù)折射。卷曲空間作為一種可以實(shí)現(xiàn)聲學(xué)反常參數(shù)的方法，為超材料的設(shè)計(jì)提供了一種簡(jiǎn)單、可靠的方法[15-16]。Liang等首先提出一種對(duì)稱性迷宮型超材料，通過(guò)延長(zhǎng)聲波在結(jié)構(gòu)中的傳播路徑，實(shí)現(xiàn)了負(fù)折射率和密度接近零時(shí)的聲隧穿現(xiàn)象。Liu等設(shè)計(jì)了一個(gè)螺旋形迷宮超材料，實(shí)現(xiàn)了聲波在彎曲管道內(nèi)的均勻傳輸。Xia等[17]設(shè)計(jì)出的亞波長(zhǎng)尺度超結(jié)構(gòu)，在低頻下可以進(jìn)行濾波和聲隱身。

分形曲線作為一種空間填充曲線，因其曲線排列的規(guī)律性和自相似性，受到了廣泛的關(guān)注[18-21]。本文基于Peano曲線，構(gòu)建出一個(gè)對(duì)稱的、具有亞波長(zhǎng)內(nèi)部通道的聲學(xué)超材料，使聲波沿著聲通道傳播，延長(zhǎng)了聲波路徑長(zhǎng)度，相位發(fā)生延遲。當(dāng)結(jié)構(gòu)尺寸有限時(shí)，能夠通過(guò)改變結(jié)構(gòu)中聲通道的寬度來(lái)調(diào)控帶隙和負(fù)群速度模式到所需的頻率范圍內(nèi)。通過(guò)周期性排列結(jié)構(gòu)單元進(jìn)行仿真分析，觀察到設(shè)計(jì)出的超材料具有波前整形、聲隱身以及聲隧穿等效應(yīng)，為構(gòu)建在低頻下具有雙負(fù)聲學(xué)特性的聲學(xué)超材料提供了一種新的思路。

1 分形結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)

1.1 分形曲線

圖1表示Peano分形曲線的一階、二階形式。如圖1(a)所示，正方形區(qū)域被劃分為3×3個(gè)單元，從第一個(gè)單元的中心出發(fā)，按1-3-4-6-7-9順序連接各個(gè)單元的中心，構(gòu)成一階Peano分形曲線。如圖1(b)所示，將正方形區(qū)域劃分為9個(gè)區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域都由一階分形曲線填充，按照同樣的連接方式的將各個(gè)小區(qū)域按照順序連接，構(gòu)成了二階分形曲線。二階分形曲線是一階分形曲線迭代延伸的結(jié)果，具有規(guī)律性和自相似性。

1.2 分形結(jié)構(gòu)

如圖2所示，基于上述Peano曲線設(shè)計(jì)出了分形結(jié)構(gòu)，通過(guò)卷曲空間和增加分形階數(shù)的方法，延長(zhǎng)聲波的傳播路徑，使得結(jié)構(gòu)中的等效聲傳播速度低于在背景場(chǎng)中的速度，相當(dāng)于構(gòu)成了具有超低聲速的人工介質(zhì)。為確保結(jié)構(gòu)對(duì)于來(lái)自于各個(gè)方向的聲波都可以起到調(diào)控的作用，排列后可應(yīng)用于更加廣泛的場(chǎng)景，將其設(shè)計(jì)成對(duì)稱結(jié)構(gòu)。

(a) 一階

選擇環(huán)氧樹(shù)脂作為構(gòu)建分形結(jié)構(gòu)的基體材料，其密度ρ1=1 050 kg/m3，聲速c1=2 500 m/s；空氣密度ρ0=1.29 kg/m3，聲速c0=343 m/s。單元的晶格常數(shù)d=100 mm，基體材料邊長(zhǎng)a=94 mm。一階Peano分形結(jié)構(gòu)的內(nèi)部聲通道寬度w1=8 mm，二階分形結(jié)構(gòu)的內(nèi)部聲通道寬度w2=2 mm。

2 帶隙特性與模態(tài)分析

量化分析與評(píng)價(jià)聲學(xué)超材料中聲波傳輸特性時(shí)，常用的表征參數(shù)包括帶隙特性、模態(tài)分析、傳輸特性、態(tài)密度、等頻率曲線、波長(zhǎng)分布等。在本文中主要從其中主要的幾個(gè)表征量:帶隙特性、模態(tài)分布進(jìn)行分析。

2.1 帶隙特性

如圖3(a)所示，在正方形點(diǎn)陣中均勻分布分形結(jié)構(gòu)，其中正方形點(diǎn)陣的基向量為e=(e1,e2)，晶格點(diǎn)r的響應(yīng)為u(r)。因?yàn)檎叫吸c(diǎn)陣具有周期性，響應(yīng)u(r)的周期性表達(dá)式為

u(r)=u(r+R)

(1)

式中，R是點(diǎn)陣的晶格矢量。

(a) 正方形點(diǎn)陣

位移響應(yīng)u(r)利用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)表示

(2)

將式(2)代入(1)式可得

Gj·R=2πk

(3)

式中,Gj是晶格的倒易點(diǎn)陣，其基向量表示為:

(4)

根據(jù)Bloch定理，響應(yīng)向量u(r)可表達(dá)為

u(r)=eik·ruk(r)

(5)

式中：k=(kx,ky)是布里淵區(qū)的約束矢量；uk(rr)是點(diǎn)陣中的周期響應(yīng)矢量。采用有限元法對(duì)分形結(jié)構(gòu)的帶隙進(jìn)行分析，通過(guò)在單元周期性邊界上設(shè)置Bloch-Floquet條件，從而計(jì)算獲得結(jié)構(gòu)的能帶特性。

圖4是兩種分形結(jié)構(gòu)的帶隙分布圖。從圖4(a)中可以看出，在[0,1 600]Hz的頻率范圍內(nèi)，一階分形結(jié)構(gòu)存在2條完全禁聲帶，分別是[580.4,750.4]和[1 008.4,1 158.2]Hz，在這些范圍內(nèi)，不存在任何彈性波的本征模式，聲波或振動(dòng)無(wú)法進(jìn)行傳播，實(shí)現(xiàn)了對(duì)彈性波能量傳播的控制，帶隙占比為20.3%。如圖4(b)所示，在[0,1 600]Hz范圍內(nèi)，二階分形結(jié)構(gòu)存在6條帶隙，分別是[210.1,327.6]、[408.8,423.0]、[630.2,695.4]、[813.4,845.8]、[1 209.8,1 276.8]和[1 559.9,1 600.0] Hz，帶隙區(qū)域之外的聲波都可以進(jìn)行傳播，帶隙占比為21.6%。

(a) 一階分形結(jié)構(gòu)

在波長(zhǎng)大于結(jié)構(gòu)單元尺度的頻段內(nèi)，本文設(shè)計(jì)的亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)單元產(chǎn)生了彈性波帶隙，具有質(zhì)量小、尺寸小但控制的波長(zhǎng)大的特點(diǎn)，有助于突破傳統(tǒng)降噪減振技術(shù)的局限。比較圖4(a)和4(b)中的帶隙分布特點(diǎn)不難看出：隨著階數(shù)的增加，帶隙出現(xiàn)在更低的頻段中。這是因?yàn)槎A分形結(jié)構(gòu)的聲通道的卷曲程度增加，聲波的傳播的距離增加。從這個(gè)角度出發(fā)，可以通過(guò)增加分形曲線的階數(shù)，來(lái)設(shè)計(jì)出亞波長(zhǎng)尺度的濾波器。

需要說(shuō)明的是，分形結(jié)構(gòu)的兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，聲通道寬度和中心區(qū)域的面積，是考慮到結(jié)構(gòu)體的魯棒性而取的兩個(gè)初始值，在合理的范圍內(nèi)可進(jìn)行調(diào)整，當(dāng)需要應(yīng)用于不同的隔聲降噪場(chǎng)合時(shí)，可以通過(guò)調(diào)整和優(yōu)化結(jié)構(gòu)的參數(shù)，來(lái)調(diào)整禁帶的區(qū)域從而滿足不同的需求。

2.2 模態(tài)分析

本征模態(tài)的計(jì)算是在有限元軟件特征頻率模塊下，基于建立的Peano分形結(jié)構(gòu)模型來(lái)進(jìn)行的，結(jié)果用于理解禁聲帶隙的產(chǎn)生機(jī)理。如圖5(a)所示，一階分形結(jié)構(gòu)的單極共振頻率為987.9 Hz，其中心區(qū)域產(chǎn)生單一振動(dòng)模式，并且均勻地向外擴(kuò)展；如圖5(c)所示，偶極共振頻率為745.9 Hz，其結(jié)構(gòu)左右兩側(cè)區(qū)域產(chǎn)生了相位完全相反的振動(dòng)。一階分形結(jié)構(gòu)的單極和偶極共振產(chǎn)生的帶隙分別為[1 008.4,1 158.2]和[580.4,750.4]Hz。圖5(b)和(d)分別表示的是，二階分形結(jié)構(gòu)單極共振頻率為328.4 Hz，偶極共振頻率為388.9 Hz，其振動(dòng)規(guī)律與一階分形結(jié)構(gòu)相同，單極和偶極共振產(chǎn)生的帶隙分別為[210.1,327.6]和[408.8,423.0] Hz。不同于由局域共振單元產(chǎn)生的帶隙，分形結(jié)構(gòu)單極共振和偶極共振產(chǎn)生帶隙時(shí)，其自身結(jié)構(gòu)并不隨著振動(dòng)而變化。

3 等效密度

由聲速與體積模量和質(zhì)量密度關(guān)系式

(6)

式中:c是聲速；ρ是質(zhì)量密度；B是體積模量。

可以得出，介質(zhì)的質(zhì)量密度和體積模量中，任意一個(gè)聲學(xué)參數(shù)為負(fù)值時(shí)，聲的相速度為純虛數(shù)，其中的聲波以指數(shù)形式衰減，不能在介質(zhì)中傳播[12]。因此，分形結(jié)構(gòu)產(chǎn)生帶隙的原因在于材料的負(fù)等效聲學(xué)參數(shù)，其單負(fù)聲學(xué)參數(shù)處的頻帶對(duì)應(yīng)的是聲傳播禁帶。以下通過(guò)計(jì)算分形結(jié)構(gòu)的聲學(xué)特性曲線來(lái)驗(yàn)證帶隙分布。

(a) 987.9 Hz

本文提出的分形結(jié)構(gòu)質(zhì)量分布不均，沒(méi)有計(jì)算其動(dòng)態(tài)質(zhì)量密度和體積模量的固定算式，但作為一種亞波長(zhǎng)結(jié)構(gòu)，工作頻段的彈性波在其中傳播時(shí)，波長(zhǎng)大于特征尺寸，從宏觀角度來(lái)看，結(jié)構(gòu)的聲學(xué)特性近似于均勻介質(zhì)，因此，可基于等效的理念，用均一化材料參數(shù)來(lái)描述其聲學(xué)響應(yīng)。

3.1 S參數(shù)提取法

研究周期性結(jié)構(gòu)的聲學(xué)特性的方法有以下幾種：S參數(shù)提取法、變分法、平面波擴(kuò)張法和傳遞矩陣法等。S參數(shù)提取法是在長(zhǎng)波長(zhǎng)尺寸的條件下，將材料結(jié)構(gòu)視作一塊各向同性的均勻等效介質(zhì)板，通過(guò)提取等效介質(zhì)板的反射系數(shù)(R)和透射系數(shù)(T)來(lái)計(jì)算材料的等效參數(shù)[22]。

如圖6所示，在有限元模型中，介質(zhì)兩邊設(shè)置周期性邊界條件，波導(dǎo)兩端區(qū)域設(shè)置完美匹配層模擬無(wú)限周期域，防止邊界處產(chǎn)生反射聲波，在壓力聲學(xué)模塊下進(jìn)行計(jì)算。圖中Pi表示入射聲波，Pr表示反射波，Pi表示透射波，箭頭表示聲波的傳播方向。超材料的厚度為d。

圖6 仿真計(jì)算原理圖

如圖7(a)所示，一階分形結(jié)構(gòu)在其偶極共振頻率745.9 Hz附近產(chǎn)生了負(fù)等效質(zhì)量密度，負(fù)響應(yīng)的頻率范圍為[760.2,1 173.9] Hz。如圖7(b)所示，結(jié)構(gòu)在單極共振頻率987.9 Hz附近，產(chǎn)生了負(fù)等效體積模量，對(duì)應(yīng)的頻率范圍為[564.7,1 013.7] Hz。

(a) 等效質(zhì)量密度

如圖8(a)所示，二階分形結(jié)構(gòu)在[404.2,423.4] Hz頻率范圍內(nèi)有負(fù)等效質(zhì)量密度，對(duì)應(yīng)其偶極共振頻率388.9 Hz。如圖8(b)所示，在[210.1,574.8] Hz頻率范圍內(nèi)有負(fù)等效體積模量，對(duì)應(yīng)其單極共振頻率328.4 Hz。

分形結(jié)構(gòu)的單極共振頻率附近產(chǎn)生負(fù)等效體積模量，偶極共振頻率附近產(chǎn)生負(fù)等效質(zhì)量密度。從一階、二階分形結(jié)構(gòu)的等效聲學(xué)參數(shù)可以看出，兩者都存在負(fù)等效質(zhì)量密度和負(fù)等效體積模量同時(shí)存在的頻率范圍，分別是[760.2,1 013.7]和[404.2,423.4] Hz，具有雙負(fù)特性，相較于單負(fù)聲學(xué)特性的結(jié)構(gòu)，可以帶來(lái)更多新穎的物理現(xiàn)象。計(jì)算出的負(fù)等效聲學(xué)參數(shù)出現(xiàn)的頻率范圍，與帶隙分布的頻率范圍相一致，驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

3.2 傳遞矩陣法

周期排列后的分形結(jié)構(gòu)可以使聲波發(fā)生全透射，還可以產(chǎn)生零相位差傳輸效應(yīng)以及其它的新奇物理效應(yīng)，可以用于新型聲學(xué)功能器件的設(shè)計(jì)。其理論依據(jù)為，當(dāng)超材料的動(dòng)態(tài)質(zhì)量密度ρe→0時(shí)，結(jié)構(gòu)中等效聲速ce→∞，這意味著背景聲場(chǎng)中的聲波經(jīng)過(guò)超材料介質(zhì)后，相位不會(huì)發(fā)生變化。由于多個(gè)分形單元之間存在共振耦合的作用，會(huì)影響其等效質(zhì)量密度近零頻率點(diǎn)的選取，因此，需要以周期排列的多個(gè)結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象進(jìn)行計(jì)算。周期排列后的結(jié)構(gòu)，不再滿足于S參數(shù)法中的長(zhǎng)波長(zhǎng)尺寸條件，此時(shí)可采用一種評(píng)價(jià)均勻和各向同性材料的聲學(xué)特性的方法：傳遞矩陣法，來(lái)分析周期性排列的分形結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量密度[23]。

(a) 等效質(zhì)量密度

如圖9(a)和10(a)所示，5×5排列的一階分形結(jié)構(gòu)在頻率為786.3 Hz和977.7 Hz處質(zhì)量密度接近于0。如圖9(b)和10(b)所示，相應(yīng)頻率處存在聲壓透射峰值，透射系數(shù)接近于1，表明該頻率下的聲波經(jīng)過(guò)分形結(jié)構(gòu)時(shí)發(fā)生了全透射，沒(méi)有能量的損耗，可以證明該頻率點(diǎn)為質(zhì)量密度近零頻率點(diǎn)。

(a) 等效質(zhì)量密度

計(jì)算多胞等效質(zhì)量密度曲線，不僅可以找出其質(zhì)量密度近零頻率點(diǎn)，也可以用于驗(yàn)證帶隙分布。如圖10所示，在977.7 Hz之后的頻率范圍內(nèi)，分形結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)等效質(zhì)量密度逐漸降低成負(fù)值，并且在相應(yīng)的透射系數(shù)圖中可以看到，透射聲壓逐漸降低，這一頻率范圍與一階分形結(jié)構(gòu)的帶隙區(qū)域[1 008.4,1 158.2]Hz是一致的。

(a) 等效質(zhì)量密度

如圖11(a)和12(a)所示，5×5排列的二階分形結(jié)構(gòu)在頻率為423.0 Hz、435.8 Hz和850.8 Hz、867.8 Hz處質(zhì)量密度接近于0。圖11(b)和12(b)表示的是，二階結(jié)構(gòu)在對(duì)應(yīng)頻率處存在聲波透射系數(shù)峰值，透射系數(shù)接近于1。需要指出圖12中，在845.0 Hz之前的頻率范圍內(nèi)，二階分形結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量密度為正值，但其聲壓透射系數(shù)接近于0，其原因在于二階分形結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)等效體積模量為負(fù)值，也就是產(chǎn)生了單負(fù)聲學(xué)響應(yīng)，從而出現(xiàn)了禁聲帶隙，這一頻率范圍對(duì)應(yīng)于上文中分析的二階結(jié)構(gòu)的禁聲帶隙[813.4,845.8] Hz。

(a) 等效質(zhì)量密度

(a) 等效質(zhì)量密度

4 聲波調(diào)控

通過(guò)以上分析可知，5×5排列的一階、二階分形結(jié)構(gòu)，在特定頻率點(diǎn)處動(dòng)態(tài)等效質(zhì)量密度接近于0。為了進(jìn)一步說(shuō)明周期排列的分形結(jié)構(gòu)具有特殊的聲學(xué)特性，可以在不同的單元數(shù)量和排列方式下進(jìn)行聲調(diào)控，在波導(dǎo)中對(duì)分形結(jié)構(gòu)單元以不同位置分布(z型波導(dǎo))、不同排列方式(5×7)的結(jié)構(gòu)中放置障礙物，進(jìn)行仿真分析。

4.1 近零密度傳輸

圖13(a)和(b)分別表示頻率為786.3 Hz和852.0 Hz的聲波，經(jīng)過(guò)一階分形結(jié)構(gòu)后波導(dǎo)中的聲壓分布。其中，圖13(b)作為對(duì)照組來(lái)研究不為近零密度頻率下的聲波穿過(guò)分形結(jié)構(gòu)后的聲壓分布。圖14(a)和(b)表示波導(dǎo)中放置二階分形結(jié)構(gòu)，在頻率分別為867.8 Hz和846.0 Hz處的聲壓分布。同樣，圖14(b)作為對(duì)比圖來(lái)研究分形結(jié)構(gòu)的聲學(xué)特性。圖13(c)和14(c)表示對(duì)應(yīng)頻率附近的聲壓透射系數(shù)。

(a) 786.3 Hz處的聲壓分布

在圖13(a)和14(a)中，聲波穿過(guò)周期排列的一階、二階分形結(jié)構(gòu)后，幅值沒(méi)有發(fā)生改變，近似以平面波的形式傳播，波陣面中沒(méi)有破壞點(diǎn)，很好的保持了平面波特征。而在圖13(b)和14(b)中，不處于近零密度頻率點(diǎn)的聲波經(jīng)過(guò)分形結(jié)構(gòu)后，波形出現(xiàn)了扭曲，對(duì)比結(jié)果可以說(shuō)明分形結(jié)構(gòu)在近零密度頻率點(diǎn)處可以很好的調(diào)控聲波。在圖13(c)和圖14(c)中，結(jié)構(gòu)在對(duì)應(yīng)頻率下的透射系數(shù)接近1，說(shuō)明聲波在傳播過(guò)程中發(fā)生了全透射，沒(méi)有能量的損耗，可以證明該頻率點(diǎn)為近零密度頻率點(diǎn)。需要指出的是，在圖13(a)中，一階分形結(jié)構(gòu)填充的波導(dǎo)入射和出射兩側(cè)出現(xiàn)了零相位差效應(yīng)，相位始終處于連續(xù)的狀態(tài)，而在圖14(a)中，二階分形結(jié)構(gòu)的兩側(cè)存在微小的相位改變。其原因在于，一階分形結(jié)構(gòu)的阻抗與空氣阻抗不完全匹配，從而有反射波的存在，聲波的疊加會(huì)產(chǎn)生相位的畸變[24]。

(a) 867.8 Hz處聲壓分布

4.2 波前整形

圖15和16表示的是，在波導(dǎo)的入射端口與分形結(jié)構(gòu)前表面之間，放置兩個(gè)尺寸不一的圓形塊來(lái)模擬不均勻散射聲場(chǎng)，研究其對(duì)散射聲場(chǎng)的整形作用。其中，圖15(b)和圖16(b)表示，在波導(dǎo)中不放置周期排列(5×5)的分形結(jié)構(gòu)，近零密度頻率下的聲波的聲場(chǎng)分布，可以看出，平面波受到圓形障礙物的干擾而變成雜亂無(wú)規(guī)律的散射聲波，經(jīng)過(guò)一段距離的傳播后，在波導(dǎo)內(nèi)仍然處于紊亂的狀態(tài)。相對(duì)應(yīng)的是，在圖15(a)和16(a)中，散射聲波通過(guò)分形結(jié)構(gòu)后，波陣面重新變得規(guī)整，不再出現(xiàn)斷裂、破壞的現(xiàn)象，并且近似于平面波，說(shuō)明分形結(jié)構(gòu)在質(zhì)量密度近零頻率處可以平整紊亂的聲波，使其變得規(guī)整。

(a) 977.7 Hz處聲壓分布

(a) 850.8 Hz處聲壓分布

需要指出的是，在圖15(c)中，近零密度頻率點(diǎn)處的透射系數(shù)僅有0.65，同樣在圖16(c)中，最大透射系數(shù)也只有0.73。這是由于放置的兩個(gè)圓形障礙物對(duì)聲波起到了很大的反射作用，使得僅有部分聲波傳播至分形結(jié)構(gòu)的表面，從而在計(jì)算出口端與入口段的聲壓之比時(shí)會(huì)出現(xiàn)透射系數(shù)不為1的情況。因?yàn)椴ㄇ罢畏抡媾c傳遞矩陣法找近零密度頻率點(diǎn)時(shí)采用的排列方式(5×5)相同，調(diào)波頻率點(diǎn)一致，故能證明該頻率點(diǎn)為近零密度頻率點(diǎn)。

4.3 聲隱身

在周期排布的分形結(jié)構(gòu)單元中間放置鋼塊，并將有限元分析模型的物理場(chǎng)條件設(shè)置為聲固耦合，以考慮鋼塊振動(dòng)對(duì)聲場(chǎng)的影響作用。圖17(b)和18(b)表示不同頻率下的平面聲波在有障礙物的波導(dǎo)中傳播的聲壓分布圖，這兩個(gè)頻率分別是一階和二階分形結(jié)構(gòu)的近零密度頻率。可以看出，聲波經(jīng)過(guò)鋼塊后，整體出現(xiàn)了散亂的狀態(tài)，也沒(méi)能還原成平面波。

(a) 963.8 Hz處聲壓分布

從圖17(a)和18(a)中可以發(fā)現(xiàn)，分形結(jié)構(gòu)的內(nèi)部存在聲壓分布，結(jié)構(gòu)的兩側(cè)聲波都為平面波，并且相位沒(méi)有發(fā)生畸變，并且在圖17(c)和18(c)中可以找到對(duì)應(yīng)的近零密度頻率處的透射系數(shù)接近于1，表明入射波經(jīng)過(guò)分形結(jié)構(gòu)及其內(nèi)部包含的鋼塊后幾乎發(fā)生了全透射，并且仍以平面波的形式繼續(xù)傳播，波陣面不存在明顯的斷裂和錯(cuò)位移動(dòng)現(xiàn)象，整個(gè)系統(tǒng)變成了一個(gè)純粹的自由空間。仿真結(jié)果有效地說(shuō)明了分形結(jié)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的聲隱身，結(jié)構(gòu)中的聲場(chǎng)強(qiáng)度不為零，隱藏在其中的物體不能被探測(cè)到的同時(shí)能捕捉到外界的信號(hào)，允許物體與外界進(jìn)行信息交流，解決了“盲”隱身的問(wèn)題。

需要說(shuō)明的是，如圖17(a)所示，在頻率為963.8 Hz的聲壓分布圖中，分形結(jié)構(gòu)前、后表面的聲壓分布與平面波傳播特點(diǎn)有所區(qū)別，這是因?yàn)橄鄬?duì)于圖18(a)中852.2 Hz來(lái)說(shuō)，頻率增加以后波長(zhǎng)減小，近場(chǎng)的不均勻性有所增加，聲場(chǎng)存在一定的擾動(dòng)。盡管如此，經(jīng)過(guò)一定的傳播距離后，聲場(chǎng)又逐漸恢復(fù)了初始的波陣面性質(zhì)，放置其中的物體得到了很好的隱藏，從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，仍然很好地體現(xiàn)了聲隱身的特點(diǎn)。

(a) 852.2 Hz處聲壓分布

4.4 聲隧穿

為了說(shuō)明分形結(jié)構(gòu)不僅在定截面的平直波導(dǎo)中可以進(jìn)行聲調(diào)控，而且在突變截面、存在狹窄區(qū)域的曲折波導(dǎo)中，同樣能起到調(diào)控作用，將兩個(gè)波導(dǎo)錯(cuò)位排布，中間以z字形狹窄通道連接，在其中放置分形結(jié)構(gòu)，分析聲波通過(guò)狹窄通道的聲隧穿效應(yīng)。中間的狹窄區(qū)域可以視為一個(gè)聲負(fù)載，不僅可以壓縮聲波而且會(huì)引起部分聲波的反射。圖19(b)和20(b)表示，在不放置分形結(jié)構(gòu)的波導(dǎo)中，聲波經(jīng)過(guò)變截面的通道后被擠壓和彎曲，進(jìn)而變得散亂。而對(duì)比于圖19(a)和20(a)，可以很明顯的看出經(jīng)過(guò)分形結(jié)構(gòu)后的聲波，其波陣面得到了很好的保持，進(jìn)一步從透射系數(shù)圖19(c)和20(c)中可以得到，該頻率下的聲波在傳播過(guò)程中發(fā)生了全透射，能量近乎于零損耗，整個(gè)過(guò)程可以認(rèn)為是一個(gè)解壓還原的過(guò)程。證明了分形結(jié)構(gòu)的聲學(xué)特性完全不受通道的曲折度、截面的變化影響，可以應(yīng)用于不同形狀的通道。并且在這一部分中，選用的是二階分形結(jié)構(gòu)422.7 Hz的近零密度頻率點(diǎn)來(lái)進(jìn)行仿真計(jì)算，經(jīng)過(guò)上述的比對(duì)分析，完全可以說(shuō)明二階分形結(jié)構(gòu)獨(dú)特的低頻調(diào)波特性?？偟膩?lái)說(shuō)，二階分形結(jié)構(gòu)的調(diào)波頻段要低于一階分形結(jié)構(gòu)，因此可以通過(guò)增加分形結(jié)構(gòu)的階數(shù)，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)低頻聲波的調(diào)控。

(a) 982.0 Hz處聲壓分布

綜上所述，(1) 在波前整形中，將一階、二階結(jié)構(gòu)5×5排列，分形結(jié)構(gòu)可以在質(zhì)量密度近零頻率點(diǎn)及其附近頻率下規(guī)整聲波；(2) 在變截面的波導(dǎo)如z型波導(dǎo)中排列分形結(jié)構(gòu)，同樣產(chǎn)生了近零密度傳輸現(xiàn)象，說(shuō)明分形結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)能夠適應(yīng)于不同的場(chǎng)景，有潛在的廣泛應(yīng)用前景；(3) 在5×7排列的分形結(jié)構(gòu)中放置鋼塊，入射的聲波經(jīng)過(guò)整個(gè)系統(tǒng)后仍然保持著平面波的特征，說(shuō)明分形結(jié)構(gòu)能在低頻下起到聲隱身的作用，為聲隱身提供了一個(gè)新的方法。(4) 進(jìn)行聲隧穿和聲隱身仿真模擬時(shí)，選用了不同的分形結(jié)構(gòu)單元數(shù)目，通過(guò)與5×5排列方式的比較，說(shuō)明分形結(jié)構(gòu)的聲調(diào)控可以不受單元數(shù)量的限制；

(a) 422.7 Hz處聲壓分布

對(duì)比上文中一階、二階分形結(jié)構(gòu)的透射系數(shù)曲線，可以看出二階分形結(jié)構(gòu)的聲透射峰值多于一階分形結(jié)構(gòu)，表明隨著分形階數(shù)的增加，近零密度頻率點(diǎn)數(shù)量增加，并且出現(xiàn)在更低頻的范圍內(nèi)。

此外，在進(jìn)行聲波調(diào)控的過(guò)程中，以一階分形結(jié)構(gòu)為例，計(jì)算等效密度時(shí)選取的近零密度頻率點(diǎn)為977.7 Hz，仿真中聲隱身963.8 Hz，聲隧穿982.0 Hz，質(zhì)量密度近零頻率點(diǎn)不一致。主要原因在于，不同數(shù)量、排列方式的多個(gè)單元之間存在共振耦合，造成了頻率點(diǎn)不同程度的偏移[21]。

5 試驗(yàn)分析

如圖21(a)所示，為了驗(yàn)證文中有限元分析方法的有效性，采用環(huán)氧樹(shù)脂材料打印出一階分形結(jié)構(gòu)的三維模型，結(jié)構(gòu)底部采用94 mm×99.8 mm×2 mm的基體板起固定支撐的作用?？紤]到樣品表面并非光滑界面，存在黏滯摩擦，因此仿真分析中選擇了壓力聲學(xué)-熱黏性聲學(xué)模塊下進(jìn)行分析。圖21(b)表示用于試驗(yàn)的阻抗管測(cè)試系統(tǒng)，其內(nèi)部截面尺寸為100 mm×100 mm。

(a) 結(jié)構(gòu)樣品

圖21(c)表示分形結(jié)構(gòu)的試驗(yàn)測(cè)量與仿真計(jì)算的結(jié)果對(duì)比。可以看出，兩條曲線總體趨勢(shì)符合良好，說(shuō)明了本文采用的有限元分析方法的有效性。但是，兩條曲線存在幅值上的偏差和透射系數(shù)峰值頻率的偏差，其中熱黏性損耗只影響透射系數(shù)的幅值，并不會(huì)引起透射系數(shù)峰值頻率的移動(dòng)。仿真中三個(gè)峰值所在的頻率分別是532 Hz、1 006 Hz和1 202 Hz，試驗(yàn)測(cè)試中則為540 Hz、1 050 Hz、1 262 Hz，對(duì)比三個(gè)峰值位置處的頻率偏移大小，可以看出移動(dòng)偏差最大位置在1 200 Hz附近，產(chǎn)生了60 Hz的偏移，但偏差只有5%。

通過(guò)多次的試驗(yàn)測(cè)量，峰值頻率在低頻范圍內(nèi)移動(dòng)的原因可以歸結(jié)于：① 模型底部的基體板的影響：基體板的存在阻礙了部分聲波的傳播。本文取基體板厚度初始值為2 mm，其作用為輔助構(gòu)建分形聲通道，而且由于打印模型時(shí)采用的材料為樹(shù)脂材料，質(zhì)量較輕，所以這一尺寸可以進(jìn)行適度的調(diào)整，從而降低對(duì)實(shí)際測(cè)量的影響；② 3D打印過(guò)程的誤差，即聲通道的寬度存在一定量的偏差。

6 結(jié) 論

在[0,1 600] Hz頻率范圍內(nèi)，一階、二階分形結(jié)構(gòu)在各自的單極共振頻率附近產(chǎn)生負(fù)體積密度，在偶極共振頻率附近產(chǎn)生負(fù)體積模量，當(dāng)結(jié)構(gòu)的體積模量和質(zhì)量密度中任意一個(gè)參數(shù)為負(fù)時(shí)，聲波無(wú)法在其中傳播，產(chǎn)生傳播帶隙。隨著分形階數(shù)的增加，分形結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的帶隙數(shù)量增加，帶隙面積從20.3%增加到21.6%，并逐漸向著更加低頻的范圍內(nèi)移動(dòng)，可以用于低頻下的濾波。在質(zhì)量密度接近于0的頻率點(diǎn)處，周期排列的分形結(jié)構(gòu)可以進(jìn)行聲波調(diào)控，如近零密度傳輸、波前整形、聲隱身以及聲隧穿，調(diào)控后聲波以近似平面波的形式傳播，且透射系數(shù)接近于1，聲能量接近無(wú)損耗。