巧用旋轉(zhuǎn)法解正方形問(wèn)題

高冬

旋轉(zhuǎn)是平面幾何中重要的圖形變換之一，在幾何問(wèn)題中通過(guò)圖形旋轉(zhuǎn)可以將分散的條件聚合在一起，進(jìn)而將隱含條件顯現(xiàn)化. 本文以正方形為背景，探究旋轉(zhuǎn)變換在解題中的應(yīng)用.

[例題引入]

例1 （2022·山東·泰安，改編）如圖1，在正方形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)P，連接AP，BP，DP. 若AP = 1，BP = [5]，DP = [3]，則S△APD = _______.

思路分析：題目中已知條件分散，不能直接求出△APD的面積，可以考慮通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形和直角三角形，將AP，BP，DP這三條線(xiàn)段轉(zhuǎn)化、聚合，挖掘隱含條件. 如圖2，將線(xiàn)段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線(xiàn)段AE，連接BE，EP，作AF⊥EP于點(diǎn)F. 易證△AEB ≌ △APD，所以AE = AP = 1，EB = PD = [3]. 根據(jù)勾股定理可得EP = [2]，根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠PEB = 90°，所以∠APD = ∠AEB = 135°，點(diǎn)E，P，D三點(diǎn)共線(xiàn). 在△APF中根據(jù)勾股定理可求得AF = [22]，進(jìn)而可得S△APD = [64].

反思：上述解法以AB = AD，∠BAD = 90°為切入點(diǎn)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)AP，構(gòu)造“手拉手”全等和等腰直角三角形AEP，進(jìn)而將AP，BP，DP這三條毫無(wú)關(guān)聯(lián)的線(xiàn)段聚合到一起解決問(wèn)題. 當(dāng)然此題也可以將△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，或?qū)⒕€(xiàn)段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（如圖3）求解. 如果以BA = BC，∠ABC = 90°為切入點(diǎn)，將線(xiàn)段BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（如圖4）能否解決此題呢？很明顯，盡管構(gòu)造了“手拉手”全等和等腰直角三角形BPE，但是不能將AP，BP，DP這三條線(xiàn)段有效“聚合”，因此不能求解. 由此可見(jiàn)，應(yīng)用旋轉(zhuǎn)思想構(gòu)造輔助線(xiàn)應(yīng)以“聚合”“解決問(wèn)題”為標(biāo)準(zhǔn).

[模型歸納]

旋轉(zhuǎn)的總體思路：確定旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角→旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖→分析新圖→解決問(wèn)題.

旋轉(zhuǎn)條件：具有公共端點(diǎn)的等線(xiàn)段. 旋轉(zhuǎn)中心：等線(xiàn)段的公共端點(diǎn). 旋轉(zhuǎn)角：有公共端點(diǎn)的兩條等線(xiàn)段的夾角.

基于正方形的對(duì)稱(chēng)性，正方形對(duì)角線(xiàn)上的任意一點(diǎn)都可以作為旋轉(zhuǎn)中心. 常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)圖形如圖5～7.

簡(jiǎn)單歸納為：共頂點(diǎn)等線(xiàn)段，條件分散思旋轉(zhuǎn).

[典例辨析]

例2 （2022·四川·達(dá)州）如圖8，在邊長(zhǎng)為2的正方形[ABCD]中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為[AD]，[CD]邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接BE，BF，分別交對(duì)角線(xiàn)[AC]于點(diǎn)P，Q. 點(diǎn)E，F(xiàn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終保持∠EBF = 45°，連接EF，PF，PD. 以下結(jié)論：①PB = PD；②∠EFD = 2∠FBC；③[PQ=PA+CQ]；④[△BPF]為等腰直角三角形；⑤若過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF，垂足為H，連接DH，則DH的最小值為[22-2]. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____________.

總體思路：共端點(diǎn)等線(xiàn)段 + “半角”，條件分散思旋轉(zhuǎn).

方法解析：結(jié)論①：易證△APB ≌ △APD（或△CBP ≌ △CDP），或連接BD，根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)性質(zhì)和線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理可證，故①正確.

結(jié)論②：如圖9，將射線(xiàn)BF以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，連接AG. 易證∠ABG = ∠CBF，∵∠GAB = ∠FCB，AB = CB，∴△ABG ≌ △CBF，∴∠G = ∠BFC，BG = BF，∠GBE = 45° = ∠FBE. ∵BE = BE，∴△GBE ≌ △FBE，∴∠G = ∠BFE，∴∠EFC = 2∠BFC，∴∠EFD = 180° - 2∠BFC = 180° - 2（90° - ∠FBC） = 2∠FBC. 故②正確.

結(jié)論③：如圖10，將線(xiàn)段BQ繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線(xiàn)段BM，連接AM，PM，先證△BAM ≌ △BCQ，∴∠BAM = ∠BCQ，AM = CQ，∴∠MAP = 90°，再證△BPM ≌? △BPQ，∴PM = PQ，∵AM 2 + AP2 = MP2，∴CQ2 + AP2 = PQ2. 故③錯(cuò)誤.

結(jié)論④：只需證明∠BFP = 45°或∠BPF = 90°，先證明△BPQ∽△CFQ，再根據(jù)“兩邊成比例，夾角相等”證明△PQF∽△BQC，∴∠PFQ = ∠BCQ = 45°. 故④正確.

結(jié)論⑤：如圖11，同①可證△GBE ≌ △FBE，∴∠BEA = ∠BEH，作BH⊥EF于點(diǎn)H，連接DH，則當(dāng)點(diǎn)B，H，D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)DH有最小值. ∵BH = BA = 2，BD = 2[2]，∴DH的最小值為[22-2]. 故⑤正確.

綜上所述，答案為①②③⑤.

[拓展變形]

例3 在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，點(diǎn)O為射線(xiàn)CA上的動(dòng)點(diǎn)，作射線(xiàn)OM與直線(xiàn)BC相交于點(diǎn)E，將射線(xiàn)OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到射線(xiàn)ON，射線(xiàn)ON與直線(xiàn)CD相交于點(diǎn)F.

（1）如圖12，點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線(xiàn)段BC，CD上，請(qǐng)直接寫(xiě)出CE，CF，CA的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖13，當(dāng)點(diǎn)O在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且OA = [13]AC時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)和線(xiàn)段CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，請(qǐng)寫(xiě)出CE，CF，CA三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

總體思路：共端點(diǎn)等線(xiàn)段 + 截長(zhǎng)補(bǔ)短，聯(lián)想旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等.

方法解析：（1）根據(jù)菱形性質(zhì)可證AB = AC（共端點(diǎn)等線(xiàn)段），∠BAC = 60°（旋轉(zhuǎn)角），再證明△ABE ≌ △ACF或證明△ACE ≌ △ADF.

（2）如圖14，已知點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，猜想OM = OF（共端點(diǎn)等線(xiàn)段），再結(jié)合截長(zhǎng)補(bǔ)短，將射線(xiàn)OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°交射線(xiàn)CF于點(diǎn)G，證明△OCE ≌ △OGF.

答案略.

綜上所述，當(dāng)解決條件或結(jié)論中有“共端點(diǎn)等線(xiàn)段”的問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們要記住一句話(huà)：條件分散思旋轉(zhuǎn).