方程神劍之雞兔同籠

盧聲怡

上一期，蘆果和青鳥見到了白發(fā)仙人，并學(xué)到了二元一次方程組的定義。故事的最后，他們前去追蹤黑鳥。這黑鳥到底是什么來歷，蘆果和青鳥又會(huì)面臨哪些挑戰(zhàn)？

這是一個(gè)嚴(yán)肅的問題——黑鳥與烏雞有什么區(qū)別？

蘆果認(rèn)為，如果身形矯健，能在天空中自如飛翔，那自然就是鳥；如果身材笨拙，只會(huì)在地上踱來踱去，空有翅膀卻飛不起來的，就只能叫作雞。

青鳥一聽籠子里的是烏雞，就有點(diǎn)兒失望，再順著蘆果手指的方向一看，又覺得有點(diǎn)兒奇怪。這個(gè)籠子大得像一個(gè)谷倉，里面堆著一些廢舊的家具。看來，這里原本是個(gè)雜物室。正對著他們的區(qū)域，有一只矮胖的烏雞正走來走去，一會(huì)兒啄一下地上的谷粒，一會(huì)兒歪著頭看他們。

那只烏雞似乎發(fā)現(xiàn)了蘆果在盯著它看，一轉(zhuǎn)身就跑到了一張舊沙發(fā)后面。過了一會(huì)兒，一只黑兔子居然跑了出來。這只黑兔子長得瘦，它不像其他兔子那樣一蹦一跳，而是像烏雞一樣往前邁步，走起路來晃晃悠悠的。

對了，那腳就和烏雞腳一模一樣。

仿佛是為了增加難度，一大群烏雞與黑兔子呼啦啦地從舊沙發(fā)后面跑了出來，在蘆果和青鳥面前搖搖擺擺，像是在開音樂舞蹈會(huì)?？蓻]等他倆看清楚、數(shù)清楚，這些烏雞與黑兔子又跑回舊沙發(fā)后面去了。蘆果和青鳥只能看到舊沙發(fā)底下那不停走動(dòng)的雞腳，還有它們不時(shí)探出的好奇的腦袋。青鳥想知道它們的數(shù)量，數(shù)得頭都暈了。

蘆果揉了揉眼睛，說：“如果我們能數(shù)清楚到底有多少個(gè)頭，有多少只腳，就能知道烏雞和黑兔子的數(shù)量了?！?/p>

蘆果說完，烏雞和黑兔子的頭上閃爍出一串?dāng)?shù)。正好一個(gè)頭一個(gè)數(shù)，從1標(biāo)到了24，看來有24個(gè)頭。

青鳥俯下身子，開始數(shù)舊沙發(fā)下腳的數(shù)量。就在他數(shù)的時(shí)候，從第一只腳到最后一只腳也標(biāo)上了數(shù)，分別是1到64?！坝?4只腳?！鼻帏B說道。

“你數(shù)得真快?！碧J果表揚(yáng)青鳥。

青鳥撇撇嘴：“那還不是因?yàn)槟阏f了‘如果，用上了數(shù)學(xué)的魔力。”

“現(xiàn)在我們知道烏雞和黑兔子的頭共有24個(gè)，腳共有64只，這是典型的……”說到這兒，蘆果與青鳥不約而同地說：“雞兔同籠問題！”

在數(shù)題國游歷這么久，蘆果和青鳥對雞兔同籠問題并不陌生。他們不僅可以用畫圖的辦法“湊”出答案，也可以用列表法試出答案，還可以用假設(shè)法分析推理出正確答案。甚至，他們還可以用“方程大法”。青鳥從蘆果的眼里看出了她的想法。

蘆果指著沙發(fā)，說：“設(shè)烏雞為x只，那黑兔子就有（24-x）只。再根據(jù)腳的只數(shù)，得出方程2x+4×（24-x）=64。接下來，讓我們用上解方程三招——算、拆、移。”

“沒得算，先拆括號(hào)，得2x+96-4x=64?，F(xiàn)在可以計(jì)算這2個(gè)含x的項(xiàng)了，得96-2x=64。移一移，變成96-64=2x?？梢运憷?，是32=2x，x=16。原來，烏雞有16只?！边@是青鳥的分析。

“我們來檢驗(yàn)一下，那黑兔子有24-16=8（只），它們的腳共有16×2+8×4=32+32=64（只），算對啦?！弊鐾甓家?yàn)算，這是蘆果的好習(xí)慣。

“噗哧……”突然從舊沙發(fā)后傳來一陣笑聲，青鳥和蘆果愣了一下，再回頭看時(shí)，那沙發(fā)后面沖起一股黑煙。黑煙把整個(gè)大籠子沖翻了。蘆果反應(yīng)很快，沒有往青鳥身上跳，而是往里面直沖過去，兩個(gè)跳躍，就來到了舊沙發(fā)背后。她定睛一看，舊沙發(fā)后面哪里還有烏雞和黑兔子，只有2行算式。

解：設(shè)烏雞有x只，黑兔子有y只，則有

蘆果激動(dòng)地說：“太棒了，這2個(gè)方程用了2個(gè)字母，那就是二元方程。2個(gè)方程又形成一組，就是二元一次方程組。”青鳥也到了蘆果身邊，問道：“你覺得這樣的二元一次方程組好，還是一元一次方程好？”

“各有好處，這種用2個(gè)字母的方程看起來更清楚，可是這樣的方程組怎么解呢？”蘆果虛心地向青鳥請教。

青鳥匆忙說：“我只是見得多，未必懂得多。這種由2個(gè)方程組成的‘組，看來也不復(fù)雜。你何不多思考、多試試，沒準(zhǔn)兒就找到辦法了?！?/p>

為何青鳥的語氣聽起來這么著急？蘆果從舊沙發(fā)背后收回目光，正好看到青鳥翅膀一振，又飛上天追黑鳥去了。

蘆果來不及坐上青鳥的背，只能留在原地琢磨題目。

比較上下2個(gè)方程，如果從下面方程中拿掉“x+y=24”，那么就剩下“x+3y=40”。蘆果忍不住把這個(gè)結(jié)果寫在地面上，再一看，發(fā)現(xiàn)x前面的系數(shù)變少了，從2x變成了x。那再拿一次，豈不是更少？

從“x+3y=40”中再去掉一次“x+y=24”，就得到了只有y的方程：2y=16。蘆果又寫下這個(gè)結(jié)果。

從這里可以看出y=8。那根據(jù)第一個(gè)方程，可以算出x=24-8=16，說明烏雞有16只。

蘆果寫完這個(gè)結(jié)果，馬上跳起來，興奮地說：“這種2個(gè)字母的二元一次方程組，我喜歡！看起來清楚，解起來也不難?！?/p>

正當(dāng)她說到這兒，突然眼前一閃，“青鳥”不知從哪里飛了回來，站在她面前?？戳丝吹孛嫔纤鶎懙乃闶?，“青鳥”笑著說：“2個(gè)方程也不一定好，我演示給你看看?！?/p>

“青鳥”把蘆果推開幾步，然后躲到舊沙發(fā)后面。不知他在搗鼓什么，突然就彌漫起一股黑煙，然后舊沙發(fā)后面就影影綽綽地閃現(xiàn)一些身影。

“你再數(shù)數(shù)，有多少個(gè)頭？”

蘆果定睛一看，覺得舊沙發(fā)頂上冒出的數(shù)似乎比剛才多了，剛才是24個(gè)頭，現(xiàn)在呢？32個(gè)頭。她不假思索地彎腰又去看舊沙發(fā)底下的腳，還好還好，腳仍然是64個(gè)。

蘆果笑了：“這不難啊，只要在剛才的方程組里改一兩個(gè)數(shù)字就行。無論是用整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)出的數(shù)學(xué)題，結(jié)構(gòu)都是不變的?！?/p>

她低下身來，在地面上重新寫了2個(gè)方程，組成一個(gè)方程組。

蘆果站直身子，指了指地上的這2個(gè)方程，“剛才我從系數(shù)大的方程里減去系數(shù)小的方程，減一次方程的系數(shù)就小一些，連減2次就得出結(jié)果了?！?/p>

“青鳥”交叉著雙手，從舊沙發(fā)背后冒出來，說：“那你試試呀?！?/p>

“好，如果減一次，2x+4y=64里面去掉x+y=32，就得到x+3y=

32。這個(gè)方程好眼熟，如果再減一次呢，左邊x-x就沒了。右邊32-32得0……啊，全沒了！”蘆果指著地面上的算式大叫起來，當(dāng)蘆果說“全沒了”的時(shí)候，地上一個(gè)方程、一個(gè)字母都沒有剩下。

都沒東西了，這方程可怎么解？蘆果情不自禁地說：“看來這方程組也不一定好用?！?/p>

旁邊的“青鳥”雙手一拍，說：“那就對了嘛，方程組用的字母又多，求解又麻煩。我看我們還是不要考慮方程組了，把簡單的方程學(xué)完就行了。”

“咦，你什么時(shí)候變得這么消極了？”蘆果懷疑地看著“青鳥”。這時(shí)候，頭頂上傳來一聲鳥鳴，一道青色的身影從天而降，正好落在“青鳥”的旁邊，還一把攥住他的手，大喝一聲：“大膽，居然敢假扮我青鳥?！?/p>

“哈哈，不好用就是不好用，你們別追著我了?！蹦侵幌麡O的“青鳥”使勁一掙，往后退了幾步，雙翅一拍，沖天而起。蘆果急忙望天，正看到黑色的身影。原來，這位“青鳥”其實(shí)就是黑鳥。

“快，我們追上去！”在青鳥的招呼聲中，蘆果跳上他的背，一人一鳥往黑鳥消失的方向急沖而去。

青鳥請你漫游數(shù)題國

請你研究一下，同樣是由2個(gè)二元一次方程組成的方程組｛x+2y=32；2x+4y=64｝，蘆果用她成功過的觀察試算的辦法來計(jì)算，為什么不能解決了呢？怎么方程減啊減，都減不見了呢？

蘆果和你對答案

上期答案：故事中的方程組，2個(gè)方程中x的系數(shù)是一樣的，都是3。所以，只要比較y的系數(shù)情況，就可以算出x=6了。但青鳥出的這道題中，x與y前面的系數(shù)都不一樣，所以我們可以把第一個(gè)方程擴(kuò)大一下，變成2x+2y=54。新的方程與原來的第二個(gè)方程對比，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，左邊多了一個(gè)y，右邊多了66-54=12，說明y=12。再把y=12代入到第一個(gè)方程中，就能得到x=15。