應(yīng)用曲線積分的地震勘探多纜定位算法

段楚峰 張昊楠 匡翠林* 余文坤 阮福明 戴吾蛟

(①中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南長沙 410083；②中海油田服務(wù)股份有限公司物探事業(yè)部，天津 300451；③海洋油氣勘探國家工程研究中心，北京100028)

0 引言

海上地震拖纜勘探是由勘探船拖拽槍陣與電纜沿測線航行，通過槍陣震源激發(fā)模擬地震波，并由拖纜上安裝的檢波器陣列接收海底反射的地震波信號以獲得海底的構(gòu)造地質(zhì)信息，從而達到油氣勘探的目的[1-4]。現(xiàn)階段海上地震拖纜勘探一般采用多纜作業(yè)模式以提高施工效率。拖纜定位是海上地震勘探作業(yè)的關(guān)鍵步驟之一，其精度將直接影響地震數(shù)據(jù)的成像精度與可靠性[5-6]。

拖纜具有非剛體特性，一般長達數(shù)千米。水下環(huán)境復(fù)雜多變，如何對拖纜建立合理的數(shù)學(xué)模型并利用特定的算法對模型進行解算，是拖纜獲得高精度纜形和位置的關(guān)鍵[7-8]。

國外較早開展拖纜建模和定位算法研究，Gilbert于1981年利用羅盤觀測值對拖纜平面坐標(biāo)之間的多項式系數(shù)進行估計，確定單纜的纜形和位置[9]；又于1982年以拖纜里程為因變量，分別對單纜的三維坐標(biāo)分量進行多項式擬合建模，并利用極大似然估計確定多項式系數(shù)[10]；Zinn等[11]將拖纜視為若干段相連的圓弧，以羅盤節(jié)點確定每段圓弧的圓心、直徑等參數(shù)，并按照圓弧的幾何性質(zhì)進行拖纜坐標(biāo)推算；Combier[12]根據(jù)羅盤提供的方位對單纜的坐標(biāo)進行推算，再通過尾標(biāo)的精確位置對拖纜進行定位修正；Goutorbe等[13]利用羅盤觀測值擬合整條拖纜的方位角，并沿曲線對坐標(biāo)積分獲得單纜上各點位置。中國于20世紀(jì)90年代開始對拖纜建模和定位方法進行了探討[14]，姚宜斌等[15]先通過近似曲線積分的方法對拖纜進行坐標(biāo)推算，獲得初始纜形，再通過聲學(xué)測距網(wǎng)絡(luò)的約束平差和擬穩(wěn)平差確定聲學(xué)節(jié)點的精確位置，然后通過分段旋轉(zhuǎn)、縮放的方式使初始纜形與平差后的聲學(xué)節(jié)點相吻合，該方法在多纜定位中取得了較好的效果；易昌華等[16]介紹了弧段模型與曲線積分模型，并對比分析了二者的適用場景和計算效率；易昌華[17]提出了利用近似曲線積分派生出前、中、后聲學(xué)網(wǎng)絡(luò)之間的虛擬距離觀測值，并進行聲學(xué)網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)一平差的方法。

上述拖纜定位算法大致分為兩類：第一類是對拖纜建立特定的數(shù)學(xué)模型，并利用拖纜定位觀測值對數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)進行估計，拖纜的纜形和位置由模型直接導(dǎo)出。此類方法缺點是大部分拖纜模型只針對單纜定位，在多纜勘探場景下不能較好地利用距離觀測值。第二類是先利用部分觀測值進行近似曲線積分推算，得到一個近似的拖纜纜形，再通過聲學(xué)測距網(wǎng)絡(luò)平差的結(jié)果對拖纜進行調(diào)整。此類方法應(yīng)用較為廣泛，缺點是建立的拖纜模型不夠嚴(yán)密，不能較好地利用羅盤觀測值，且測距網(wǎng)絡(luò)平差時通常需估計上百個聲學(xué)節(jié)點的坐標(biāo)，計算量較大。

針對以上存在的問題，本文建立了一種基于曲線積分的拖纜數(shù)學(xué)模型，通過模型參數(shù)描述拖纜的形狀和位置，并基于模型充分利用拖纜定位網(wǎng)絡(luò)中的觀測值進行參數(shù)估計，從而實現(xiàn)多纜定位和精度評估，最后通過仿真與實測數(shù)據(jù)對算法進行驗證。

1 基于曲線積分的拖纜數(shù)學(xué)模型

在進行海上地震勘探時，拖纜在水下呈現(xiàn)“光滑的曲線”形態(tài)，其上安裝有深度控制傳感器，用于控制拖纜的沉放深度，實際作業(yè)時拖纜各處檢波器的深度差一般在1m之內(nèi)。由于拖纜長度通常為3～10km，檢波器深度差可忽略不計。以單條拖纜為例，其數(shù)學(xué)描述如圖1所示，其中α(s)為拖纜任意位置s處切線方位角的函數(shù)。

圖1 拖纜數(shù)學(xué)模型示意圖

設(shè)拖纜位置s0處坐標(biāo)為(x0,y0)，以該點為基準(zhǔn)點，則拖纜上任意點s的平面坐標(biāo)(x,y)可表示為

(1)

如圖1所示，拖纜上任意點的坐標(biāo)(x,y)與其對應(yīng)位置s之間存在如下微分關(guān)系

(2)

將式(2)代入式(1)可得拖纜上任意位置s處的坐標(biāo)

(3)

通過該模型，若能確定(x0,y0)和α(s)，即可通過曲線積分導(dǎo)出拖纜上任意里程處點的坐標(biāo)，確定整條拖纜的纜形。式(3)中x0、y0可看作拖纜的位置參數(shù)，函數(shù)α(s)中的參數(shù)可看作拖纜的形態(tài)參數(shù)。

2 基于曲線積分模型的多纜定位算法

2.1 拖纜導(dǎo)航定位設(shè)備及定位模型

海上地震拖纜勘探中使用的導(dǎo)航定位設(shè)備(圖2)有：①勘探船上安裝的差分全球定位系統(tǒng)(Differential Global Positioning System，DGPS)和電羅經(jīng)。其中，DGPS用于獲取船的絕對位置，電羅經(jīng)用于獲取船的姿態(tài)。②槍陣與拖纜尾部掛載了GPS相對定位系統(tǒng)(Relative Global Positioning System，RGPS)浮標(biāo)，用于測量其與拖船上RGPS參考站之間的基線向量，確定它們相對于拖纜的位置(有時拖纜頭部也掛載RGPS)。③水下拖纜安裝有聲學(xué)設(shè)備和羅盤。其中，聲學(xué)設(shè)備用于測定聲學(xué)節(jié)點之間的距離，拖纜上的聲學(xué)設(shè)備與槍陣、尾標(biāo)上的聲學(xué)設(shè)備一起組成聲學(xué)測距網(wǎng)絡(luò)，羅盤用于確定拖纜在各羅盤節(jié)點處的切線方位[18-22]。

圖2 拖纜導(dǎo)航定位系統(tǒng)示意圖

海上地震勘探作業(yè)時，DGPS和RGPS的觀測值精度較高，RGPS可將拖船的位置基準(zhǔn)傳遞到槍陣與拖纜尾標(biāo)，位于槍陣與拖纜尾標(biāo)上的聲學(xué)節(jié)點因此可獲得較高的位置精度，可作為拖纜定位網(wǎng)絡(luò)中的已知點。拖纜的α(s)是未知的，受勘探船修舵、海浪以及洋流的影響，拖纜在水下的纜形隨之變化，因此，可以使用一個多項式對α(s)進行描述

α(s)=a0+a1s+a2s2+…+ansn

(4)

式中：n為多項式階數(shù)；α0，α1，…，αn為多項式系數(shù)，即待估計的拖纜形態(tài)參數(shù)。

多項式曲線具有良好的幾何特性，可以較準(zhǔn)確地擬合出不同的拖纜形狀。拖纜基準(zhǔn)點的選取對于最終的拖纜定位結(jié)果有直接影響，且基準(zhǔn)點最好位于拖纜上。盡管拖纜尾標(biāo)具有較高的位置精度，但由于其漂浮于水面之上，和拖纜之間有一定的高差，將其作為拖纜基準(zhǔn)點進行積分計算會帶來較大的系統(tǒng)誤差。因此，可選取拖纜尾端的聲學(xué)節(jié)點作為拖纜基準(zhǔn)點，它與尾標(biāo)之間存在聲學(xué)距離觀測值，將其坐標(biāo)(x0,y0)作為待估計的拖纜位置參數(shù)，與拖纜形態(tài)參數(shù)一起參與平差，進行整體估計。這樣既可使拖纜基準(zhǔn)點獲得較高的位置精度，又可避免積分過程中產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。

2.2 誤差方程的建立

拖纜上的定位傳感器羅盤和聲學(xué)測距安裝位置已知。羅盤觀測值和聲學(xué)距離觀測值的誤差方程推導(dǎo)如下。

2.2.1 羅盤觀測值誤差方程

羅盤的觀測值為拖纜該節(jié)點處切線的磁方位角，拖纜上位于s處的羅盤方位觀測值觀測方程為

As=α(s)+m+εa

(5)

式中：As為s處的羅盤觀測值；m為磁偏角改正量；εa為方位觀測隨機誤差。該觀測方程為線性，結(jié)合式(4)、式(5)可寫為誤差方程形式

(6)

2.2.2 聲學(xué)距離觀測值誤差方程

聲學(xué)設(shè)備的距離觀測值分為同纜觀測值和異纜觀測值。其中，同纜距離觀測值兩端對應(yīng)的聲學(xué)節(jié)點位于同一條拖纜，異纜觀測值的聲學(xué)節(jié)點則位于不同拖纜上。為不失一般性，先對異纜觀測情況下的誤差方程進行推導(dǎo)，同纜觀測可看作異纜觀測的一種特殊情況。設(shè)G纜與H纜為相鄰的兩條拖纜，i點位于G纜里程SG,i處，j點位于H纜里程SH,j處，i、j兩點間的距離觀測值為

(7)

式中：xG,i與yG,i、xH,j與yH,j分別為i、j兩點的平面坐標(biāo)；εd為距離觀測值隨機誤差。對式(7)進行線性化，得到

(8)

(9)

將式(9)代入式(8)，得

(10)

式(10)即為距離觀測誤差方程的一般形式。對于同纜觀測的情況，式(10)可簡化為

(11)

2.3 拖纜參數(shù)估計

據(jù)式(6)、式(10)可確定設(shè)計矩陣A和閉合差向量L。隨機模型P由觀測值先驗信息確定，目前一般采用經(jīng)驗定權(quán)的方法。根據(jù)最小二乘估計確定待估參數(shù)

(12)

(13)

3 實驗驗證與分析

為驗證本文算法的應(yīng)用效果，設(shè)計了如下的仿真實驗與實測數(shù)據(jù)實驗。

3.1 仿真實驗

分別選取正弦函數(shù)和對數(shù)函數(shù)作為拖纜方位角函數(shù)的真值，并據(jù)此生成了兩套不同纜形的拖纜仿真數(shù)據(jù)(圖3)。每套仿真數(shù)據(jù)均為6纜配置，纜間距為100m，每條拖纜長為7km，且槍陣與拖纜尾標(biāo)的位置已知。測線走向為正北。拖纜上包含有羅盤觀測值和聲學(xué)距離觀測值，同一拖纜上的羅盤間距為300m，聲學(xué)測距網(wǎng)絡(luò)為前—后網(wǎng)絡(luò)配置。其中，仿真數(shù)據(jù)1(圖3a)模擬拖纜多段彎曲的情況，仿真數(shù)據(jù)2(圖3b)模擬拖纜整體彎曲的情況。

圖3 仿真數(shù)據(jù)拖纜配置示意圖

仿真數(shù)據(jù)1和數(shù)據(jù)2采用的方位角函數(shù)分別為

(14)

(15)

方案1：采用本文基于曲線積分的多纜定位算法對拖纜參數(shù)進行估計，并導(dǎo)出拖纜的纜形和位置信息。其中，拖纜方位角函數(shù)選用7階多項式，這里的7階為經(jīng)驗值。

方案2：采用傳統(tǒng)的測邊網(wǎng)平差算法進行計算，即先利用羅盤觀測值對拖纜纜形進行近似曲線積分推算，再使用測邊網(wǎng)平差的結(jié)果對拖纜纜形進行調(diào)整。

將仿真數(shù)據(jù)1和仿真數(shù)據(jù)2的解算結(jié)果與實際纜形進行對比，如圖4、圖5所示。由圖可見，使用本文算法得到的拖纜纜形在整體上與實際纜形更加吻合，而使用測邊網(wǎng)平差算法得到的拖纜在空間位置上存在更大的偏差，且其纜形多處不平滑。這是由于測邊網(wǎng)平差算法是對拖纜上離散的聲學(xué)節(jié)點進行較為精確的位置估計，位于聲學(xué)節(jié)點之間的拖纜纜形只能通過羅盤觀測值進行確定，而羅盤觀測值沒有參與平差，加入至其中的隨機誤差未能被較好地消除或減弱。其次，測邊網(wǎng)平差算法中的拖纜需要通過分段調(diào)整以吻合平差后的聲學(xué)節(jié)點位置，導(dǎo)致其各段的連接處出現(xiàn)纜形過渡不平滑的現(xiàn)象，不符合拖纜實際物理特性。本文算法使用一系列的拖纜參數(shù)描述拖纜的纜形和位置，并且將羅盤觀測值和聲學(xué)距離觀測值共同納入平差計算，直接對拖纜參數(shù)進行估計，再通過曲線積分導(dǎo)出拖纜任意里程處的坐標(biāo)，更好地利用了拖纜上的不同類型的定位觀測值，估計得到的纜形更加平滑，精度更高。

圖4 仿真數(shù)據(jù)1兩種方案拖纜纜形對比

圖5 仿真數(shù)據(jù)2兩種方案拖纜纜形對比

計算各拖纜位于任意里程處的位置偏差，并將其位置偏差投影到沿測線方向(Direction Along Line，DA)和垂直測線方向(Direction Cross Line，DC)，這是因為勘探作業(yè)中更關(guān)心拖纜上檢波器陣列在這兩個方向上的位置偏差。由于拖纜數(shù)量較多，這里僅給出各拖纜在DA與DC方向上的平均偏差DA與DC對比。如圖6、圖7所示，由圖可見，本文算法的拖纜定位精度整體上明顯高于測邊網(wǎng)平差算法。由于仿真數(shù)據(jù)均采用前—后聲學(xué)網(wǎng)絡(luò)配置(圖3)，拖纜前中部缺少聲學(xué)距離觀測，測邊網(wǎng)平差算法的定位誤差在拖纜中部迅速增加，而本文算法在拖纜各處的定位精度均較為穩(wěn)定。

圖6 仿真數(shù)據(jù)1兩種方案拖纜位置偏差對比

圖7 仿真數(shù)據(jù)2兩種方案拖纜位置偏差對比

表1給出了兩種方案計算結(jié)果與實際纜形之間的平均點位偏差、DA方向平均偏差以及DC方向平均偏差。結(jié)果表明，方案1的定位精度顯著優(yōu)于方案2。其中，方案1的DA方向平均偏差均小于1m，DC方向平均偏差均少于3m。針對仿真數(shù)據(jù)1，方案1相較于方案2，點位偏差減小了63.8%，DA方向偏差減小了79.5%，DC方向偏差減小了61.1%。針對仿真數(shù)據(jù)2，方案1相較于方案2點位偏差減小了84.1%，DA方向偏差減小了77.4%，DC方向偏差減小了84.5%。

表1 不同方案偏差結(jié)果統(tǒng)計

3.2 實測數(shù)據(jù)實驗

實測數(shù)據(jù)來自于2019年中國南海某測線拖纜定位數(shù)據(jù)，該測線為東南走向，方位角為149°，全長38km。如圖8所示，該次作業(yè)為6纜配置，拖纜長約7km，纜間距約為100m，每條拖纜掛載檢波器564個，間距為12.5m；掛載羅盤25個，間距約300m；掛載聲學(xué)設(shè)備15個，采用前—后聲學(xué)網(wǎng)絡(luò)配置。該套數(shù)據(jù)包含1600個響炮歷元，響炮間隔為12～13s。使用本文算法對該套數(shù)據(jù)進行逐個歷元解算，拖纜方位角函數(shù)根據(jù)經(jīng)驗選擇為7階多項式，并將解算結(jié)果與國外拖纜勘探導(dǎo)航定位數(shù)據(jù)處理軟件SPRINT的解算結(jié)果進行對比分析。

圖8 實測數(shù)據(jù)拖纜配置示意圖

將SPRINT軟件的解算結(jié)果作為參考值，計算本文算法得到的拖纜檢波器坐標(biāo)與SPRINT解算結(jié)果之間的差值，將坐標(biāo)偏差投影到DA、DC方向，并統(tǒng)計每個歷元6條電纜上共3384個檢波器的平均DA、DC偏差。由表2和圖9可以看出，本文算法的結(jié)果與SPRINT總體上非常接近，且各歷元的檢波器平均DA、DC偏差一直維持在一個較小的水平。這表明本文算法在應(yīng)用于實測數(shù)據(jù)時可以獲得較為正確、可靠的結(jié)果，且算法具有良好的穩(wěn)定性。與SPRINT的解算結(jié)果相比，本文算法1600個響炮的歷元平均DA偏差為0.79m，其中，99.6%的歷元DA偏差小于2.00m，80.6%的歷元DA偏差小于1m，標(biāo)準(zhǔn)差小于0.50m；平均DC偏差為1.73m，其中，99.8%的歷元DC偏差小于3.00m，85.4%的歷元DC偏差小于2.00m，標(biāo)準(zhǔn)差小于0.50m。

圖9 檢波器平均位置偏差隨時間變化

表2 檢波器位置偏差結(jié)果統(tǒng)計 m

計算各拖纜上處于相同里程處檢波器的平均DA、DC偏差，并統(tǒng)計1600個響炮歷元的平均值，如圖10所示?？梢钥闯?，檢波器平均DA偏差沿拖纜里程變化平緩，拖纜上99.1%的檢波器平均DA偏差優(yōu)于1.00m；檢波器平均DC偏差在拖纜前中部與拖纜尾部都出現(xiàn)了峰值，拖纜上97.3%的檢波器平均DC偏差優(yōu)于3.00m，70.1%的檢波器平均DC偏差優(yōu)于2.00m。由于該條測線作業(yè)時采用了前—中后聲學(xué)網(wǎng)絡(luò)配置(圖8)，拖纜前中部存在約3.7km長的部分沒有聲學(xué)距離觀測，導(dǎo)致檢波器DC偏差在拖纜前中部會出現(xiàn)一個峰值，仿真實驗的結(jié)果也驗證了這一點。而在拖纜尾部出現(xiàn)的DC偏差的快速增長，可能是由于SPRINT軟件在定位解算時對拖纜尾部采取了某些不同的處理。

圖10 檢波器平均位置偏差隨拖纜里程變化

計算羅盤方位觀測值與聲學(xué)距離觀測值各個歷元的殘差RMS值并進行統(tǒng)計，結(jié)果如表3所示。其中，羅盤方位觀測值殘差RMS小于0.6°，聲學(xué)距離觀測值殘差RMS小于1.3m，說明本文算法的建模效果較好，所建立的拖纜模型內(nèi)符精度較高。

表3 定位觀測值殘差RMS統(tǒng)計

4 結(jié)論

高精度拖纜定位算法是海上地震勘探作業(yè)的重要保障，是后續(xù)地震波數(shù)據(jù)高精度成像的關(guān)鍵，且該技術(shù)長期以來受到國外的封鎖。為解決現(xiàn)有定位算法數(shù)學(xué)模型不嚴(yán)密、定位觀測值利用不充分的問題，本文針對水下拖纜光滑的物理特性，建立了一種基于嚴(yán)密曲線積分的拖纜數(shù)學(xué)模型，使用一系列位置參數(shù)與形態(tài)參數(shù)描述拖纜，并基于該模型提出了一種多纜定位嚴(yán)密平差算法，該算法能充分利用不同類型的定位觀測值估計拖纜參數(shù)。

仿真實驗表明了本文算法顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的測邊網(wǎng)定位算法，驗證了新算法在理論上的可行性、優(yōu)越性。實測數(shù)據(jù)實驗表明了本文算法的定位結(jié)果與國外成熟商業(yè)軟件SPRINT的定位結(jié)果較為接近，驗證了新算法在實際應(yīng)用中的有效性、可靠性。綜合各實驗數(shù)值結(jié)果，本文提出的基于曲線積分的多纜定位算法在測線和垂直測線方向上的定位精度分別小于1m和3m，滿足現(xiàn)代海上地震勘探對于拖纜定位精度的需求。

需要指出的是，文中拖纜方位角多項式階數(shù)是一個經(jīng)驗值，并未考慮海洋流態(tài)環(huán)境的影響。階數(shù)是否合理以及如何顧及海洋流態(tài)環(huán)境優(yōu)化階數(shù)，還需結(jié)合實際數(shù)據(jù)開展進一步的研究與驗證。