方次數(shù)是3的capable 3群

李志秀

(晉中學(xué)院數(shù)學(xué)系,山西 晉中 030600)

對于一個給定的群G,若存在另一個群H,使得H/Z(H)?G,即群H的中心商群同構(gòu)于G,則稱G可以充當(dāng)中心商,或稱G為capable群．中心商問題與覆蓋群的Schur理論及射影表示都有聯(lián)系,capable群在各種群論問題的研究中都起著核心作用,許多學(xué)者從不同的角度對capable群進(jìn)行研究,已獲得豐富成果[1-4]．Seifi等[1]指出導(dǎo)群是p階的capablep群;Alamshahi等[2]證明了四元數(shù)群不是c-autocapable群;Monfared等[3]給出了類2的二元生成的capable 2群;Baishya[4]給出了p2q階的capable群．一個群G須滿足什么條件才能成為capable群?這仍然是值得探索的有趣問題．借助群的擴(kuò)張理論,通過復(fù)雜的換位子計算,筆者得到一些特殊的3-群為capable群[5],以及一些極大類3-群為capable群[6]．本文擬討論一些方次數(shù)是3的35階群G是capable群需要滿足的條件,并給出方次數(shù)是3的35階capable群的分類,為深入研究p群結(jié)構(gòu)及其他一些相關(guān)數(shù)學(xué)問題提供了參考．

1 預(yù)備知識

引理1設(shè)有限交換群G=〈a1〉×〈a2〉×…×〈an〉,n>1,o(ai)=mi,o(ai+1)|o(ai),i=1,2,…,i-1,則存在群H,使得H/Z(H)?G當(dāng)且僅當(dāng)m1=m2．

定義2設(shè)群G為p群,則

1) 稱群G為特殊的,如果群G滿足以下條件之一:i) 若群G為初等交換群;ii)G′=Z(G)=Φ(G)是初等交換的．

2) 稱非交換的特殊p群G為超特殊的,如果群G又滿足|Z(G)|=p．

引理3[7]設(shè)群G是超特殊p群,則群G是capable群當(dāng)且僅當(dāng)G?D8或G?Mp3,其中Mp3是p3階方次數(shù)為p的非交換群．

引理4[8]若群G是capable群,則G×Zp是capable群．

引理5[9]設(shè)35階群G,且G的方次數(shù)是3,則群G同構(gòu)于以下群之一:

學(xué)生在中學(xué)階段甚至小學(xué)階段就開始接受我國的應(yīng)試教育，這種傳統(tǒng)的應(yīng)試教育很容易使學(xué)生把英語學(xué)習(xí)定位為工具型和外部動機(jī)，而不是對于英語這門語言本身的喜愛，這正是限制其英語水平發(fā)展的核心因素。

1)G?C3×C3×C3×C3×C3;

2)G?〈c,d〉×〈a,b,e〉,其中〈c,d〉?C3×C3,〈a,b,e〉是方次數(shù)是3的33階非交換群;

3)G=〈c〉×〈a,b,d,e〉,其中〈c〉?C3,〈a,b,d,e〉滿足〈a3=b3=d3=e3=1,[b,a]=d,[d,a]=e,[d,b]=[e,a]=[e,b]=[e,d]=1〉;

4) 特殊3群G=〈a,b,c,d,e|a3=b3=c3=d3=e3=1,[b,a]=[d,c]=e〉,其中[c,a]=[c,b]=[d,a]=[d,b]=[e,a]=[e,b]=[e,c]=[e,d]=1,且同于〈c,d〉*〈a,b〉;

5)G=〈a,b,c,d,e|a3=b3=c3=d3=e3=1,[b,a]=c,[c,a]=d,[c,b]=e〉,其中[d,a]=[d,b]=[d,c]=[d,e]=[e,a]=[e,b]=[e,c]=1;

6)G=〈a,b,c,d,e|a3=b3=c3=d3=e3=1,[b,a]=c,[b,e]=d=[c,a]〉,其中[d,a]=[d,b]=[d,c]=[d,e]=[e,a]=[e,c]=[b,c]=1;

7)G=〈a,b,c,d,e|a3=b3=c3=d3=e3=1,[b,a]=d,[c,a]=e〉,其中[d,a]=[d,b]=[d,c]=[d,e]=[e,a]=[e,c]=[b,c]=[b,e]=1．

對這些群逐個考查可以發(fā)現(xiàn),群(1)是交換群．由引理1可知,該群是capable群．由引理3可知,超特殊3群(4)不是capable群．

引理6[10]設(shè)G是群,a,b,c∈G,則:i)[ac,bc]=[a,b]c;ii) [ab,c]=[a,c]b[b,c]=[a,c][a,c,b][b,c];iii) [a,bc]=[a,c][a,b]c=[a,c][a,b][a,b,c]．

本文若無特別說明,所用的符號和概念均取自文獻(xiàn)[10]．

2 主要結(jié)果

引理7設(shè)H1?G1/Z(G1),H2?G2/Z(G2)．令G?G1×G2,則H1×H2?G/Z(G)．

證明 考慮G?G1×G2到G1/Z(G1)×G2/Z(G2)內(nèi)的映射:σ:(g1,g2)→(g1Z(G1),g2Z(G2)),其中g(shù)1∈Z(G1),g2∈Z(G2),易證σ是同態(tài)映射,且Kerσ=Z(G1)×Z(G2)．由同態(tài)基本定理,得G1/Z(G1)×G2/Z(G2)?G/Z(G)．

定理8群(2)G?〈c,d〉×〈a,b,e〉,其中〈c,d〉?C3×C3,〈a,b,e〉為方次數(shù)是3的33階非交換群,則群G是capable群．

證明 〈a,b,e〉為方次數(shù)是3的33階非交換群,為超特殊3群．由引理3可知〈a,b,e〉是capable群,由引理1知〈c,d〉是capable群,故由引理7知群G是capable群．

定理9若G是群(3)G=〈c〉×〈a,b,d,e〉,其中〈c〉?C3,〈a,b,d,e〉滿足〈a3=b3=d3=e3=1,[b,a]=d,[d,a]=e,[d,b]=[e,a]=[e,b]=[e,d]=1〉,則群G是capable群．

證明 〈a,b,d,e〉為34階capable群,事實(shí)上,存在35階群H=〈a,b,c,d,e|a3=b3=c3=d3=e3=1,[b,a]=c,[c,a]=d,[d,a]=e〉,其中[c,b]=[d,b]=[d,c]=[e,a]=[e,b]=[e,c]=[e,d]=1,Z(H)=〈e〉,H/Z(H)?〈a,b,d,e〉,由引理4可知群G是capable群．

定理10若G是群(5)G=〈a,b,c,d,e|a3=b3=c3=d3=e3=1,[b,a]=c,[c,a]=d,[c,b]=e〉,其中[d,a]=[d,b]=[d,c]=[d,e]=[e,a]=[e,b]=[e,c]=1,則群G是capable群．

證明 從34階初等交換群出發(fā),作循環(huán)擴(kuò)張可構(gòu)造出群H,使得H/Z(H)?G．設(shè)交換群A=〈c,d,e,f〉?C3×C3×C3×C3,并令映射σ:c→ce,d→df,e→e,f→f,將其擴(kuò)充到整個A上,易證σ是A的3階自同構(gòu)．設(shè)〈b〉是3階循環(huán)群,且在A上的作用與σ相同．令B=A〈b〉=〈b,c,d〉,則|B|=35．在B中規(guī)定映射γ:b→bc,c→cd,d→d,并擴(kuò)充到整個B上,易證γ是B的3階自同構(gòu)．設(shè)〈a〉是3階循環(huán)群,且a在〈B〉上的作用與γ相同．令H=B〈a〉,有H=〈a,b,c,d,e,f|a3=b3=c3=d3=e3=f3=1,[b,a]=c,[c,a]=d,[c,b]=e,[d,b]=[e,a]=f〉,其中[d,a]=[d,c]=1,Z(H)=〈f〉,H/Z(H)?G．

定理11若G是群(6)G=〈a,b,c,d,e|a3=b3=c3=d3=e3=1,[b,a]=c,[b,e]=d=[c,a]〉,其中[d,a]=[d,b]=[d,c]=[d,e]=[e,a]=[e,c]=[b,c]=1,則群G不是capable群．

證明 若群G是capable群,即存在群H,使得H/Z(H)?G．設(shè)H=〈a,b,e,Z(H)〉,由于[b,c]在中心內(nèi),故[b,c]=[b,c]e=[be,ce],有[bd,c]=[b,c][d,c],[d,c]=1．又[b,c]=[b,c]a=[ba,ca],[bc,cd]=[b,d][b,c][c,d],有[b,d]=1．因?yàn)閇c,e]在中心內(nèi),故[c,e]=[c,e]a,有[ca,ea]=[cd,e]=[c,e][d,e],[d,e]=1．由于a3∈Z(H),1=[b,a3],[b,a3]=[b,a]3[c,a]3[d,a],其中[c,a]3=[c,a3]=1．又因b3∈Z(H),[b,a]3=[b3,a]=1,故[d,a]=1,d與c,b,e,a皆交換,d屬于中心．矛盾．

定理12若G是群(7)G=〈a,b,c,d,e|a3=b3=c3=d3=e3=1,[b,a]=d,[c,a]=e〉,其中[d,a]=[d,b]=[d,c]=[d,e]=[e,a]=[e,c]=[b,c]=[b,e]=1,則G是capable群．

證明 從36階初等交換群出發(fā),作循環(huán)擴(kuò)張可構(gòu)造出群H,使得H/Z(H)?G．設(shè)交換群A=〈b,c,d,e,f,g〉?C3×C3×C3×C3×C3×C3．作3次可裂擴(kuò)張可得37階群H=〈a,b,c,d,e,f,g|a3=b3=c3=d3=e3=f3=g3=1,[b,a]=d,[c,a]=e,[d,a]=f,[e,a]=g〉,其中[d,b]=[d,c]=[b,c]=[b,e]=[e,d]=[e,c]=1,則Z(H)=〈g,f〉,H/Z(H)?G．群G是capable群．

綜上所述,方次數(shù)是3的35階群G共有5個群(即引理5中群 (1),(2),(3),(5),(7))是capable群．