二極大子群的G邊界因子對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響

許 麗,陳心丹,繆 龍,2*,劉 威

(1.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002;2.河海大學(xué)理學(xué)院,南京 210098)

眾所周知,極大子群和2-極大子群在群論研究中占有重要的地位,許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究并取得大量成果[1-3]．同時(shí),利用子群的正規(guī)性研究群結(jié)構(gòu)也是有限群理論的重要課題,如群G冪零當(dāng)且僅當(dāng)G的任意極大子群正規(guī);若群G的任意2-極大子群正規(guī),則G超可解等．隨著研究的深入,不少學(xué)者通過(guò)對(duì)子群的正規(guī)性進(jìn)行限制,給出了廣義正規(guī)子群的概念．特別地,1996年,王燕鳴[4]提出c-正規(guī)子群的定義,并證明了群G可解當(dāng)且僅當(dāng)G的每個(gè)極大子群c-正規(guī)．隨后,呂玉博等[5]在c-正規(guī)的基礎(chǔ)上引入cp-正規(guī)子群的概念,從而給出了p-可解群的一些新刻畫．此外,利用主因子來(lái)研究群結(jié)構(gòu)也受到廣泛關(guān)注,如若群G的每個(gè)主因子為素?cái)?shù)階的循環(huán)群,則G是超可解群．郭文彬等[6]通過(guò)限制主因子,給出了子群的G-邊界因子定義;吳珍鳳等[7]利用G-邊界因子性質(zhì)研究了p-可解群的結(jié)構(gòu)．

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[5]設(shè)H是群G的子群,p∈π(G)．若G中存在一個(gè)包含HG的正規(guī)子群K,使得G=HK且H∩K/HG是p′-群,則H在群G中cp-正規(guī)．

定義4[6]設(shè)H是群G的真子群,則G的任意主因子K/HG稱為H的G-邊界因子．

定義5[11]設(shè)N是群G的正規(guī)子群．稱G的子群H為N在G中的補(bǔ)充,如果G=NH．稱補(bǔ)充子群H為N在G中的極小補(bǔ)充,如果對(duì)于H的任意真子群H1都有H1N

定義6[12]設(shè)N是群G的正規(guī)子群,M不是群G中的p-子群,但滿足p∈π(M)．稱子群M為N在G中的極小p-補(bǔ),如果滿足MN=G并且對(duì)于M的任意極大子群M1都有M1N

引理2[5]設(shè)G是群,則G是p-可解當(dāng)且僅當(dāng)G的每個(gè)極大子群在G中cp-正規(guī)．

引理7[14]設(shè)G是群,p∈π(G)．若對(duì)于任意P∈Sylp(G)都有NG(P)冪零,則G冪零．

引理8設(shè)G是群,若G?S′p,則T′13(G)∩X′2(G)≠?．

2 主要成果

定理1群G∈S′p當(dāng)且僅當(dāng)任意H∈T′13(G),H的G-邊界因子K/HG滿足((K/HG)p)′=1．

證明 根據(jù)S′p的定義,必要性是顯然的．下面證明充分性．假設(shè)結(jié)果不真且設(shè)G是極小階反例．如果T′13(G)=?,由引理8知G∈S′p,矛盾．設(shè)T′13(G)≠?,顯然G不是單群．若否,由K/HG=G/1和條件可知G∈S′p,矛盾．

綜上所述,命題的充分性得證．

推論2群G∈S′p當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)G的任意二極大子群H,H的G-邊界因子K/HG滿足((K/HG)p)′=1．

定理2群G∈S′p當(dāng)且僅當(dāng)任意H∈X′2(G),H的G-邊界因子K/HG滿足((K/HG)p)′=1．

證明 根據(jù)S′p的定義,只要考慮充分性．假設(shè)結(jié)果不真且設(shè)G是極小階反例．若X′2(G)=?,由引理8知G∈S′p,矛盾．若X′2(G)≠?,不妨設(shè)G是單群,則HG=1且K/HG=G/1,從而對(duì)任意H∈X′2(G),有H的G-邊界因子滿足(Gp)′=1,進(jìn)而G∈S′p,矛盾．下面討論G不是單群的情況．

情形2(M3)G≠1．由引理6知M3=H2L

綜上所述,命題的充分性得證．

定理3群G∈S′p當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意H∈T′13(G)∩X′2(G),H的G-邊界因子K/HG滿足((K/HG)p)′=1．

證明 由S′p的定義,必要性是顯然的．下面證明充分性．假設(shè)結(jié)論不成立并令G是極小階反例．如果T′13(G)∩X′2(G)=?,由引理8有G∈S′p,矛盾．因此,不妨設(shè)T′13(G)∩X′2(G)≠?,則G不是單群．若否,由K/HG=G/1和條件知G∈S′p,矛盾．

情形2(M3)G≠1時(shí),由引理6知M3=H2L

綜上所述,命題的充分性得證．