抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，引發(fā)深度思考
——淺析有關(guān)“田忌賽馬中的對策問題”的教學(xué)實(shí)踐與思考

李 桃

(廣德市實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán)西校區(qū) 安徽宣城 242200)

引言

“田忌賽馬中的對策問題”屬于“數(shù)學(xué)廣角”領(lǐng)域，這個領(lǐng)域的教學(xué)主要是通過一些較簡單的事例滲透一些重要的數(shù)學(xué)思想與方法。在教學(xué)實(shí)踐中，有的教師把這類課上成了簡單的游戲活動課，課堂活動過程形式化，熱鬧的背后實(shí)質(zhì)上是學(xué)生缺乏思考、歸納，收獲甚微。筆者曾在安徽省小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會學(xué)術(shù)年會教學(xué)觀摩研討活動中執(zhí)教過這節(jié)課，并且制作的微課曾獲得安徽省一等獎。2021年，筆者又將本節(jié)課濃縮精華，攝制的精品課獲評省級精品課。結(jié)合對本課的多次研究，筆者現(xiàn)將自己的教學(xué)思路進(jìn)行整理，并與同行共研。

【課前思考】本課以田忌賽馬的故事為教學(xué)藍(lán)本，引導(dǎo)學(xué)生通過游戲探究、體驗(yàn)對策，積累相應(yīng)的活動經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生通過課外閱讀已經(jīng)了解這個故事，但并沒能用數(shù)學(xué)的眼光去分析故事。如何抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，引發(fā)學(xué)生深度思考，讓課堂更具有“數(shù)學(xué)味”，筆者設(shè)計如下教學(xué)情境。

課前游戲：逃牌游戲

游戲規(guī)則：大牌可以壓小牌，也可以選擇不壓牌，大的一方繼續(xù)出牌，先出完者獲勝。(雙方牌分別是3、10、K和7、10、大王)

若生選大牌，師就先出。師先出10，生不管怎么出牌結(jié)果都是教師贏。

師生再戰(zhàn)。(先出10是關(guān)鍵)

【思考】課前師生體驗(yàn)“逃牌”游戲，通過“逃牌”游戲激活學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)游戲策略，學(xué)會思考，認(rèn)識到在比賽或游戲中策略的重要性，激發(fā)學(xué)生的策略意識。

一、游戲?qū)?，初步感?/h2>

(一)直觀演示，明確規(guī)則

1.師：想不想繼續(xù)玩撲克牌游戲？要思考怎樣在游戲中獲勝。

2.宣布游戲規(guī)則。

師：接下來的這個游戲的規(guī)則和課前游戲的規(guī)則是不一樣的，怎么玩呢？(利用多媒體出示游戲規(guī)則，見圖1)

師：紅牌和黑牌選哪種顏色的三張牌會贏？為什么？

師：猜一猜，哪方會獲勝？(學(xué)生討論)

3.出示：紅牌10、7、4，黑牌3、2、A。(見圖2)

師：如果你選黑牌，你覺得你會贏嗎？

得出結(jié)論：紅牌和黑牌雙方大小懸殊明顯，勝負(fù)分明，這樣的比賽是不公平的。

(二)變化點(diǎn)數(shù)，繼續(xù)感知

師：實(shí)力懸殊太大，這樣的比賽不公平，那么將牌換一換，黑牌換成9、6、3。繼續(xù)思考，黑牌有贏的可能嗎？觀察比較紅牌和黑牌的三張牌的點(diǎn)數(shù)，你們有什么發(fā)現(xiàn)？(學(xué)生得出黑牌略小的結(jié)論)

師：這樣換過后，黑牌略小，結(jié)果又會如何？你認(rèn)為哪方能獲勝？說說你的理由。

【思考】以撲克牌游戲替代田忌賽馬故事情境，激活了學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生可以自主體驗(yàn)，積累活動經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)探究、歸納做好鋪墊。

二、再次游戲，探究對策

(一)拋出問題，突破思維定式

師：有沒有其他的應(yīng)對策略？有的話，一共有幾種？在這些策略中黑牌是不是一定沒有機(jī)會獲勝？(利用多媒體出示學(xué)習(xí)任務(wù)單)

同桌合作，填寫學(xué)習(xí)任務(wù)單。(見圖3)

第一局第二局第三局獲勝方紅牌1074黑牌1黑牌2黑牌3黑牌4黑牌5黑牌6

(二)分層反饋，感受有序思考

1.匯報不完整的、無序的方法。

2.匯報完事的、有序的方法。(預(yù)設(shè)從無序到有序)

生：紅牌出10，黑牌出9，后面3和6交換位置是兩種方法；紅牌出10，黑牌可以先出6，3和9交換位置也是兩種方法；紅牌出10，黑牌出3，后面6和9交換位置又是兩種方法，一共是六種方法，列式為2×3=6。

(三)感受黑牌(弱方)取勝的策略

1.初步感受策略

師：請看表格，在這么多策略中你發(fā)現(xiàn)了什么？(見圖4)

第一局第二局第三局獲勝方紅牌1074黑牌1963紅黑牌2936紅黑牌3693紅黑牌4639紅黑牌5396黑黑牌6369紅

師：思考一下，黑牌贏的那一次有什么高明之處？

生:用最小對最大。

師:你這拿最小敵最大，不是拿雞蛋碰石頭嗎？

生:我是要留著大牌放后面呢！

生:用黑牌中的9對紅牌中的7黑牌贏，用黑牌中的6對紅牌中的5又是黑牌贏，三局兩勝，黑牌勝。

2.感受有序思考、擇優(yōu)選用思想

師：我們是怎樣發(fā)現(xiàn)且確定只有這一種方法才能取勝的？

預(yù)設(shè)：排列法，有序地以一張牌固定開頭……

得出方法：有序列舉。

【思考】在游戲中，引導(dǎo)學(xué)生體會有序思考的運(yùn)用，使學(xué)生在對比、交流中初步感受取勝策略的本質(zhì)特征。引導(dǎo)學(xué)生有序排列、列舉填表、相互對比，經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析實(shí)踐、尋求最優(yōu)策略的過程，積累活動經(jīng)驗(yàn)。

三、多次體驗(yàn)，總結(jié)取勝策略

(一)再次體驗(yàn)，初步提煉

課件出示(見圖5)：

師：為什么6和9只能換成5和8，不能再換小，3卻可以換成2和1甚至再小也行？

生:黑牌最大的牌對紅牌中等的7，要比7大，所以最小是8。黑牌中等的牌要對紅牌最小的4，比4大是5，所以最小也是黑牌5，才能保證黑牌后兩局贏。

(二)提煉最優(yōu)策略

師：要想黑牌在比賽中獲勝，該怎樣做？

師：最小的黑牌與最大的紅牌PK，結(jié)果肯定是輸，這是一種應(yīng)對策略，這一步的目的是什么？(板書：全盤考慮)

師:那如果將黑牌換成8、5、1，你覺得黑牌能贏嗎？

師生比賽，學(xué)生從實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，要求教師先出牌。

師：從再次比賽中，你又有了什么新的發(fā)現(xiàn)？(板書：知己知彼)

【思考】為了能更好地引導(dǎo)學(xué)生理解比較抽象的策略方法，教師為學(xué)生搭建好探究活動的“腳手架”，讓學(xué)生全員參與探究，真正提高教學(xué)的有效性。通過不斷嘗試，學(xué)生逐漸明晰使用策略能獲勝的前提、方法、特征，教師在潛移默化中滲透了數(shù)學(xué)方法。

四、解析“田忌賽馬”，內(nèi)化對策略的理解

(一)課件出示“田忌賽馬”視頻

1.引導(dǎo)學(xué)生思考

思考：第一次比賽，為什么田忌全都輸了？并觀看馬速對比圖(見圖6)。

2.引導(dǎo)學(xué)生思考

思考：田忌怎樣出馬才能贏？師生運(yùn)用Flash動畫軟件進(jìn)行比賽演示，再現(xiàn)田忌賽馬贏的場景(見圖7)。

3.總結(jié)分析

分析發(fā)現(xiàn)：調(diào)換出場順序以弱勝強(qiáng)的策略稱為“田忌賽馬”策略。

(二)比較玩牌游戲和田忌賽馬的共同點(diǎn)

師：回憶一下剛才的玩牌游戲與田忌賽馬的故事，其有什么共同之處？

對比分析：弱者后出，以最小對最大，以最大對中等，以中等對最小。

【思考】通過對比“田忌賽馬”和玩牌游戲，不同的比賽用的是相同的對策，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上認(rèn)識到二者的“同”，對策略有了更高層面的理解和內(nèi)化。

五、鞏固應(yīng)用，拓展深化

出示巧兵布陣(課本107頁第3題)。

師：生活中也會用到這樣的對策，你有用過或聽過嗎？(學(xué)生自由舉例)

課件出示(見圖8)：

師：根據(jù)數(shù)據(jù)你了解到什么？

學(xué)生用連線法分析對陣情況。

學(xué)生展示討論結(jié)果，提出將名字用字母或數(shù)字符號代替，簡化解決問題的過程。(見圖9)

師：方法多樣，只要保證五局三勝即可。

【思考】有效利用教材資源。本題設(shè)計不僅是方法的鞏固，更體現(xiàn)了方法的多樣性。通過本題練習(xí)鞏固學(xué)生對“田忌賽馬”策略的掌握，使學(xué)生再次感受到策略的重要性。同時學(xué)生提出用字母或數(shù)字符號代替學(xué)生姓名，簡化解決問題的過程，說明學(xué)生具有符號意識，抽象推理能力得到提高。

六、課堂總結(jié)，延伸課外

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，各位同學(xué)有什么收獲想和大家分享嗎？

師：生活中我們面對的問題并不是一成不變的，還有許多不同于“田忌賽馬”式的對策。當(dāng)我們面對一場比賽或競爭時，我們要善于觀察、勤于思考、學(xué)會分析、講究策略，這樣才能取得最終的勝利。

拓展延伸：搶王牌游戲。

師：今天的這節(jié)課就要結(jié)束了，但我們的游戲還將繼續(xù)，老師之后還會和大家PK，你們敢不敢接受挑戰(zhàn)？課后和同學(xué)玩一玩，看誰能找出搶到王牌的必勝策略，老師等著你來挑戰(zhàn)。

課件出示(見圖10)：

【思考】到此，本節(jié)課的學(xué)習(xí)即將結(jié)束，學(xué)生在親身體驗(yàn)中深刻感受到“田忌賽馬中的對策問題”，然而，生活中的對策是變化多樣的，通過拓展游戲的設(shè)計讓學(xué)生將學(xué)習(xí)引向縱深，激發(fā)學(xué)生探究的欲望。搶王牌游戲是根據(jù)課本中的內(nèi)容改編的，其中的策略不盡相同，相信學(xué)生一定能在探索搶到王牌的必勝策略中提升思維，體會到學(xué)習(xí)的樂趣，以及對策思想的應(yīng)用價值。

七、總結(jié)

(一)板書設(shè)計(見圖11)

(二)教學(xué)思考

1.尊重學(xué)習(xí)起點(diǎn)，加深體驗(yàn)力度

教學(xué)之前，筆者做了前測，從前測分析結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，大約90%的孩子已經(jīng)知道田忌賽馬的故事，知道兩次比賽的結(jié)果，大約10%的孩子能用連線的方式表達(dá)比賽策略?？墒谴蟛糠值暮⒆邮熘适拢瑓s沒有從數(shù)學(xué)的角度分析和思考。如果僅僅局限于故事，忽略學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，那將是沒有數(shù)學(xué)味的數(shù)學(xué)課。因此，只有將“做”與“思”有機(jī)結(jié)合，讓全體學(xué)生參與到游戲過程中，讓學(xué)生在體驗(yàn)中探究策略，將外化的“做”濃縮為內(nèi)隱的“思”，這樣學(xué)生的個性才能得到發(fā)展，才能提高課堂教學(xué)的有效性。

2.精選學(xué)習(xí)素材，提高探究有效度

學(xué)習(xí)素材是師生共同研討的文本，針對這節(jié)課的教材內(nèi)容筆者進(jìn)行了大膽的處理。首先，對教材內(nèi)容進(jìn)行改造、加工，用游戲“比撲克牌的大小”代替故事“田忌賽馬”。其次，將教材中的“拍球比賽”改為“巧兵布陣”，訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、周密的思維，使其體會策略的多樣性，拓展學(xué)生對不同策略的認(rèn)識。最后，為了能更好地實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用的目標(biāo)，將教材第108頁的“報數(shù)”游戲改為“搶王牌”游戲。這樣，整節(jié)課將玩牌游戲貫穿始終，并延伸課外。

3.落實(shí)深度學(xué)習(xí)，巧設(shè)探究坡度

學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)可能會找到獲勝的方法，而我們的教學(xué)不應(yīng)止步于此，而是要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的本質(zhì)(對策思想)。為了能更好地使學(xué)生理解比較抽象的知識，教師有必要為學(xué)生搭建好探究活動的“腳手架”，讓更多學(xué)生參與到探究中來。筆者設(shè)計了多樣化的“撲克牌比大小”游戲，讓學(xué)生在活動中體驗(yàn)、感悟?qū)Σ??！耙馔狻钡氖∽寣W(xué)生“醒悟”，學(xué)生要求老師先出什么牌，然后采用田忌賽馬的對策，最終獲取勝利。學(xué)生有了反偵察能力，說明這節(jié)課他們不僅僅理解了“田忌賽馬”策略，而且策略意識已經(jīng)深深地走進(jìn)了學(xué)生的內(nèi)心深處。通過層層剝筍法，學(xué)生的思維得到發(fā)展，學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)、交流、提煉，在立與破中不斷完善認(rèn)識，對策略的認(rèn)識更為全面、立體、深入。

“數(shù)學(xué)廣角”對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升的作用不容小覷。教師要抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，真正落實(shí)深度學(xué)習(xí)，這樣課堂才能煥發(fā)出生命的光彩，學(xué)生才能學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待問題。