克服變化浮力做功求解的探討

王偉民 辛存良

（1.安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校，安徽 阜陽 236652；2.山東省陽谷縣西湖中學(xué)，山東 聊城 252311）

漂浮于液面的物體，施加外力將其按入液體中時(shí)，物體浸入液體的過程中，浮力不斷增加，確定這一過程中外力對(duì)物體所做的功，就涉及到變力做功問題.

1 浮力是外力作用點(diǎn)移動(dòng)距離的線性函數(shù)

例1.（2020年江蘇省昆山市普通高中自主招生物理卷第14題）如圖1所示，一個(gè)高為20 cm，橫截面積為100 cm2的長方體木塊漂浮在盛水的杯內(nèi)，杯內(nèi)水的深度恰好為20 cm.已知杯子的底面積為200 cm2，水的密度為1.0×103kg／m3，木塊的密度為0.5×103kg／m3，現(xiàn)在用外力將木塊按入杯底，則外力所做的功至少為________J.

圖1

解析：漂浮的木塊原來有部分體積露出水面，將木塊按入杯底的過程可分為2個(gè)階段：第1階段是木塊沒入水中的過程，在這一過程中，施加于木塊上豎直向下的外力是變力，外力隨木塊沒入水中體積的增大而增加，因此，這一階段外力做功屬于變力做功問題；第2階段是沒入水中之后木塊在外力作用下運(yùn)動(dòng)至杯底的過程，屬于恒力做功問題.因?yàn)槟緣K的橫截面積是容器橫截面積的一半，所以，木塊沒入水中的過程中，木塊下降的高度與容器中的水面升高的高度相同，沒入水中的過程木塊位置的變化及水面高度的變化情況分別如圖2（甲）（乙）所示.根據(jù)題目所給條件，第2階段外力做功的求解不存在難點(diǎn)，外力及木塊在外力作用下運(yùn)動(dòng)的距離都容易確定，這道題目的難點(diǎn)是第1階段變力做功的求解.由于容器和木塊都是柱體，所以，第1階段木塊沒入水中的過程中，豎直向下的外力是壓下距離的線性函數(shù)，因此，可以用平均力與木塊壓下距離的乘積作為變力做功的大小，而平均力等于最小壓力（剛開始下壓時(shí)的狀況，壓力為0）與最大壓力（即木塊剛好全部浸沒時(shí)需要施加的壓力，大小等于浸沒的木塊所受水的浮力與木塊重力之差）的平均值.另外，第1階段的變力做功，也可以根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能的變化進(jìn)行確定，即木塊沒入水中的過程，外力（變力）做的功，等于水重力勢(shì)能的增量與木塊重力勢(shì)能減少量之差.

圖2

2 浮力不是外力作用點(diǎn)移動(dòng)距離的線性函數(shù)

那么，木塊的形狀改變之后，還可以采取這樣的方法求解嗎？

例2.如圖3所示，一個(gè)半徑為12 cm的木球漂浮在盛水的圓柱形杯內(nèi)，杯內(nèi)水的深度足夠大.已知杯子的底面半徑為16 cm，水的密度為1.0×103kg／m3，木塊的密度為0.5×103kg／m3，現(xiàn)在用外力將木球按入水中，則從木球原來的漂浮狀態(tài)壓至木球剛好完全浸沒時(shí)，外力所做的功至少為________J（取g＝10 N／kg，結(jié)果保留π）.

圖3

解析：與例1給出的條件相比，木塊的形狀由原來的長方體變?yōu)楝F(xiàn)在的球體，題目只求木球由原來的漂浮狀況到壓入水中的過程中外力所做的功.跟例1不同，漂浮的球體受壓沒入水中的過程，雖然仍然是變力做功，但球體在受力下壓的過程中，壓力不是球體下移距離的線性函數(shù)，所以，球體沒入水中的過程中平均壓力（即壓力相對(duì)壓下距離的平均值）的大小不再等于最大壓力與最小壓力的平均值，因此，繼續(xù)采用平均壓力與壓下距離乘積的方法確定變力做功的大小比較困難.我們不妨改換一下思路進(jìn)行求解.為便于后面的分析，有必要先確定質(zhì)量分布均勻的半球的質(zhì)心位置.

如圖4所示，設(shè)半球過球心O的截面為EF，半球的半徑為r，半球材料的密度為ρ，BC是平行于EF的任意截面，設(shè)球心O到平面BC的距離為OD＝x，則，自D往下取一片厚度為微元dx的均等薄片，設(shè)半球的質(zhì)心到O點(diǎn)的距離為H，則有

圖4

由于木球的密度是水密度的一半，所以，漂浮的木球靜止時(shí)恰好有一半的體積露出水面.考慮到球體的對(duì)稱性，將漂浮木球上面的半球繞其水平直徑翻折180°（注：只翻折上面的半球，下面的半球保持不動(dòng)），使其跟下面的半球重合，翻折情形如圖5（甲）（乙）所示.圖5（甲）是木球原來漂浮的情形，圖5（乙）是上面的半球翻折之后與下面半球重合的狀況.這樣，翻折之后所形成新的半球密度與水的密度相同，將新的半球下移適當(dāng)?shù)木嚯x至圖5（丙）所示的狀況.由于新的半球與水的密度相同，所以，新半球下移過程中無需外力做功.在圖5（丙）狀況下，將新半球重新分開為兩個(gè)密度都是0.5×103kg／m3的半球，并將其中的一個(gè)繞其水平直徑翻折180°（這相當(dāng)于新半球又恢復(fù)到先前完整球的狀況），如圖5（丁）所示.浸沒在水中的新半球球心位置保持不動(dòng)，其形狀恢復(fù)原狀時(shí)，體積要增加到新半球體積的2倍，所以，跟圖5（丙）所示的狀況相比，水面會(huì)上升.由圖5（乙）變化到圖5（丙）所示狀況的過程中，只要半球下移的距離合適，一定可以使得新半球由圖5（丙）恢復(fù)到先前完整球時(shí)，球與水面相切［即圖5（?。┧荆莸臓顩r.顯然，直接將圖5（甲）和圖5（?。﹥煞N狀況相比，相當(dāng)于原來漂浮的木球下壓至剛好完全浸沒的情形.

圖5

由圖5（甲）翻折至圖5（乙）的過程中，容器中水的重力勢(shì)能不變，球的重力勢(shì)能減小，球重力勢(shì)能的減少量等于半球的重力與半球重心下降高度的乘積.

從圖5（丙）到圖5（?。┑倪^程，木球的重力勢(shì)能和容器中水的重力勢(shì)能都增加，其中木球重力勢(shì)能的增加量與圖5（甲）翻折至圖5（乙）的過程中木球重力勢(shì)能的減少量相同，所以，確定木球壓入水中的過程外力做功的結(jié)果，可以不考慮球重力勢(shì)能的變化量，僅考慮由圖5（丙）到圖5（?。┑倪^程中容器中水的重力勢(shì)能的增量即可.

過圖5（丙）和圖5（丁）的球心作一水平線EH.兩圖比較可以發(fā)現(xiàn)，在水平面EH下方，（丙）、（丁）兩容器內(nèi)水的重力勢(shì)能相同，因此，為解決問題，我們只需確定該水平線上方圖（丁）與圖（丙）情形，內(nèi)部水重力勢(shì)能的增量即可.

與圖5（丙）相比，圖5（?。┲兴娴纳吡喀為

可得圖5（丙）半球上面柱形水柱的高度為

所以，將圖3所示漂浮的木球按入水中至剛好浸沒時(shí)，外力做的功等于圖5（丙）、（丁）相比容器中水重力勢(shì)能的增量，即

例3.如圖6所示，底面半徑為R的圓柱形容器內(nèi)盛有密度為ρ水的水，水的深度足夠大，水面上漂浮一個(gè)半徑為r的木球，靜止時(shí)木球上的最高點(diǎn)到水面的距離為h，現(xiàn)在對(duì)木球施加豎直向下的壓力將木球緩慢壓入水中，當(dāng)壓至木球剛好完全浸沒在水中時(shí)，求外力對(duì)木球所做的功.

圖6

解析：例2設(shè)置的物理情境是一種特殊情況——木球密度恰為水密度的一半，所以，我們采用了一種非常巧妙的方法對(duì)問題進(jìn)行求解，即采用將漂浮于水面木球的上半球翻折后跟下半球重合的方法進(jìn)行解析.能夠發(fā)現(xiàn)，與例2相比，例3給出的相關(guān)物理量不再是具體的數(shù)據(jù)，所以，對(duì)應(yīng)的物理情境就由例2的特例推廣至一般情形了，漂浮于水面的木球靜止時(shí)浸入水中的部分只能說是球缺，未必是半球.那么，對(duì)于一般情形下的這個(gè)物理問題，我們還可以采用類似方法求解嗎？

為便于分析，我們有必要先確定質(zhì)量分布均勻的球缺的質(zhì)心位置與球缺半徑和球缺高度之間的定量關(guān)系.

圖7

當(dāng)h＝2r時(shí)，球缺“演變”為球體，.這剛好是球體的質(zhì)心到球面的距離.這兩個(gè)特例也間接說明筆者推出的球缺質(zhì)心公式的正確性.

木球漂浮于水面的情形如圖8（甲）所示，將水面上方的球缺切割掉之后，讓其均勻地分布于下面球缺所占有的空間（注：這與求解例2給出的問題時(shí)，將半球翻折的效果是一樣的，當(dāng)然，例2也可以采用這個(gè)思想來求解），成為如圖8（乙）所示情形，則該上表面與水面平齊新球缺的密度與水的密度相同.將這個(gè)密度與水密度相同的球缺在水中向下平移合適的距離，至如圖8（丙）所示情形，則這一平移的過程無需外力做功.將圖8（丙）所示的新球缺進(jìn)行形變，形變?yōu)樽畹忘c(diǎn)位置不動(dòng)，外形恢復(fù)為原來形狀的球體，如圖8（?。┧?，只要由圖8（乙）平移至圖8（丙）的過程中平移的距離合適，就可以使得由圖8（丙）的球缺形變恢復(fù)原球之后，容器中水的上表面與球相切.

圖8

在圖8（丙）和圖8（?。┲校^下面球缺的平面作水平線EH，則（丙）、（?。﹥扇萜髟撍骄€下方水的質(zhì)量相等，水質(zhì)心的位置等高，所以，這兩部分水的重力勢(shì)能相等.設(shè)圖（丁）容器水平線GH上方除去球缺后那部分水的質(zhì)心為M，GH上方的球缺所占有的空間換成水時(shí)水球缺的質(zhì)心為N.因?yàn)橛桑ū┳兓癁椋ǘ。┑倪^程中球體的重力勢(shì)能的增加量，與由圖（甲）變化到（乙）的過程球重力勢(shì)能的減少量相等，所以，由圖（甲）分別經(jīng)過圖（乙）和圖（丙）最終到圖（?。┑恼麄€(gè)過程中，外力所做的功，等于圖（?。ū﹥蓤D所示情形相比容器中水重力勢(shì)能的增量.若僅將（甲）（?。﹥蓤D所示情形相比，就相當(dāng)于在外力作用下球被壓入水中的過程，所以，球壓入水中的過程壓力所做的功等于（丙）（?。﹥蓤D所示的兩容器中水平線EH之上水的重力勢(shì)能之差.與圖（丙）容器所示情形相比，圖（?。┤萜鲀?nèi)水面上升的高度為

而GH上方水球缺質(zhì)心到GH的距離為

圖（丙）EF上方柱形水柱的質(zhì)心到EF的距離為

所以，將漂浮的球按到球剛好浸沒時(shí)外力對(duì)球做的功為

對(duì)于該表達(dá)式，當(dāng)h＝r時(shí)，有

而當(dāng)h＝r時(shí)球缺“演變”為半球，上面結(jié)果恰為例2最終推理出的將漂浮于水面的體積露出一半的木球按入到剛好浸沒時(shí)外力所做的功，這也間接說明對(duì)于例3我們推理結(jié)果的正確性.