高中數(shù)學(xué)概念課的有效教學(xué)策略

■河北省灤州市第一中學(xué) 何艷麗

近年來(lái)，應(yīng)試教育對(duì)我國(guó)教育界的發(fā)展產(chǎn)生了嚴(yán)重的限制，部分?jǐn)?shù)學(xué)教師將重點(diǎn)放在了講題上，卻忽略了一些概念問(wèn)題，導(dǎo)致解題過(guò)程嚴(yán)重脫離數(shù)學(xué)概念。在新頒發(fā)的《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出了以下要求：教師在教學(xué)中要加強(qiáng)對(duì)基本概念和思想的把握，將核心概念與思想始終貫穿在教學(xué)過(guò)程中，加深學(xué)生的印象與理解。由此可知，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)是最重要的教學(xué)環(huán)節(jié)之一，只有深入引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)概念，才能達(dá)到有效數(shù)學(xué)教學(xué)的效果。那么，怎樣有效提高高中數(shù)學(xué)課程中概念教學(xué)的質(zhì)量呢？這是本文研究的重點(diǎn)內(nèi)容。

一、數(shù)學(xué)概念的定義與劃分

（一）數(shù)學(xué)概念的定義

數(shù)學(xué)研究的過(guò)程是以數(shù)學(xué)概念為出發(fā)點(diǎn)，其研究對(duì)象是通過(guò)概念來(lái)確定的。尤其是對(duì)數(shù)學(xué)這門學(xué)科而言，概念的地位極為重要，因而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念始終是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究課題。但是在數(shù)學(xué)概念上，數(shù)學(xué)界始終沒(méi)有對(duì)其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)的定義。曹一鳴教授提出了“反映對(duì)象的本質(zhì)屬性”的“思維方式論”，即將數(shù)學(xué)概念是思維的載體、科目的基本成分，其自身具有深層次的抽象以及概括的特性。而劉詠梅教授根據(jù)哲學(xué)思想提出了“本質(zhì)屬性反映論”。數(shù)學(xué)的研究對(duì)象大都是抽象的，但是對(duì)象又能夠通過(guò)概念來(lái)確定研究，從而進(jìn)一步分析問(wèn)題、發(fā)展思維，以此來(lái)解決諸類數(shù)學(xué)問(wèn)題。概念的存在，是為了詮釋研究對(duì)象內(nèi)在原有的屬性，即內(nèi)展和外延兩部分，也就是明確它的本質(zhì)屬性。依據(jù)概念的特點(diǎn)，文中定義的數(shù)學(xué)概念是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)反映，涵蓋了數(shù)學(xué)界所有的現(xiàn)象。如此，數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在延展就是反映所有對(duì)象的本質(zhì)屬性，即以“質(zhì)”為主要內(nèi)容。而外延則是指全體的數(shù)學(xué)對(duì)象，即以“量”為認(rèn)知范圍。數(shù)學(xué)概念在人腦中以思維的形式反映，是人類對(duì)現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量和空間的了解和把握。數(shù)學(xué)概念的表達(dá)是通過(guò)定義的形式進(jìn)行的，經(jīng)過(guò)了長(zhǎng)期的思考和修改過(guò)程，最后形成簡(jiǎn)潔而又生動(dòng)形象、定形而又定性的論述內(nèi)容。數(shù)學(xué)概念是基礎(chǔ)內(nèi)容，包括公理、定理、公式和法則等，是開展數(shù)學(xué)運(yùn)算和開發(fā)邏輯思維以及推理判斷的前提條件和基礎(chǔ)內(nèi)容。

（二）高中數(shù)學(xué)概念的劃分

1.原始的概念。原始的概念是一門學(xué)科或者課程體系最初的發(fā)起點(diǎn)，相當(dāng)于萬(wàn)物之始，不能用其他的概念來(lái)定義概括。數(shù)學(xué)概念是一種科學(xué)的概念，其定義必須是準(zhǔn)確無(wú)誤且有一定的意義的，必須是有研究軌跡的，否則會(huì)引發(fā)大問(wèn)題。由此可知，學(xué)者與教師不可以用表意不明的概念去定義新的概念，避免錯(cuò)誤的結(jié)果出現(xiàn)。高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，有關(guān)原始概念的部分，必須依據(jù)公理化的思想明確引入概念的必要。高中數(shù)學(xué)內(nèi)容涵蓋了點(diǎn)、線、面、集合、元素等基礎(chǔ)內(nèi)容，都屬于原始概念，由此可見(jiàn)原始概念的重要性。

2.合取與析取概念。學(xué)界依據(jù)概念反映對(duì)象的數(shù)量與相互關(guān)系，將概念劃分為合取以及析取概念兩種。合取概念在高中數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)可以理解為結(jié)合幾種屬性來(lái)對(duì)概念下定義，彼此之間屬于相互聯(lián)合的關(guān)系。而析取概念則是在多種不同事物的屬性中尋找一種或多種共有屬性對(duì)概念進(jìn)行定義，屬于單一屬性的概念。

3.關(guān)系概念。對(duì)被定義概念反映的對(duì)象聯(lián)系另一對(duì)象的過(guò)程進(jìn)行定義，就是關(guān)系概念。比如，教材中對(duì)單位向量的定義是“長(zhǎng)度等于一個(gè)單位的向量”，即為一種關(guān)系概念，在學(xué)生已有的單位長(zhǎng)度認(rèn)知的基礎(chǔ)上，更容易理解單位向量的意思。從中可以看出，高中數(shù)學(xué)的關(guān)系概念之間的依存性極高，且都不是直接定義，而是通過(guò)將與其有關(guān)系的概念的部分外部屬性進(jìn)行聯(lián)系，以此達(dá)到概念更加明確且具體的效果。在已知的高中數(shù)學(xué)課本中，就有很多直接明確關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，例如，立體幾何章節(jié)中“點(diǎn)、線、面”的位置關(guān)系，其中的各種位置關(guān)系就比較清楚明了。因?yàn)槠渥陨淼某橄筇攸c(diǎn)，學(xué)生并不會(huì)因?yàn)楦拍畹亩x不清而覺(jué)得學(xué)習(xí)困難。又如，在學(xué)習(xí)“直線與圓”的位置關(guān)系一章時(shí)，圓與直線的位置概念是由具體的對(duì)象來(lái)直接對(duì)其關(guān)系直接定義的，教師可以通過(guò)拆分將總體分解，將抽象的內(nèi)容具體化，幫助學(xué)生開展學(xué)習(xí)。

二、高中數(shù)學(xué)有關(guān)概念教學(xué)的基本原則

（一）理論與實(shí)踐相聯(lián)系的原則

數(shù)學(xué)概念作為一種現(xiàn)代社會(huì)中系統(tǒng)化的學(xué)科體系，不僅有廣闊的外延范圍，還與我們的現(xiàn)實(shí)生活有著很深刻的聯(lián)系。數(shù)學(xué)這門學(xué)科有著非常強(qiáng)的應(yīng)用性，特別是高中數(shù)學(xué)，若只會(huì)背誦公式和概念卻不會(huì)使用，那么在解題過(guò)程中會(huì)非常被動(dòng)。所以，教師在建構(gòu)高效教學(xué)的課堂模式時(shí)，必須立足于現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，加強(qiáng)與理論的聯(lián)系，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生研究概念的興趣，積極引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，及時(shí)安排好課后的鞏固練習(xí)。如此可以幫助學(xué)生在實(shí)踐中應(yīng)用所學(xué)的概念，并能夠反復(fù)引用，加強(qiáng)鞏固，有利于學(xué)生形成自己的解題思路。學(xué)習(xí)概念屬于理論知識(shí)層面，而應(yīng)用概念則屬于實(shí)際層面，理論與實(shí)際相結(jié)合，才能實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)概念真正的把握，明確概念的起源以及應(yīng)用概念的方法。在堅(jiān)持理論與實(shí)際相聯(lián)系的原則時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)摒除傳統(tǒng)的說(shuō)教教學(xué)方式，突出學(xué)生的主體地位，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的自由探索，以概念指導(dǎo)實(shí)踐。

（二）結(jié)合抽象與具體的原則

在高中數(shù)學(xué)的概念中，抽象化是一個(gè)很明顯的特征，給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)增添了很大的難度。然而，事實(shí)并非如此，在結(jié)合抽象與具體的原則條件下，抽象化的內(nèi)容完全可以具體化。教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生將感性認(rèn)識(shí)與理應(yīng)思維結(jié)合到一起，相互融合、相互支撐，不可在認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中太過(guò)感性，導(dǎo)致概念錯(cuò)誤。而其他的概念，其應(yīng)用大都區(qū)別于數(shù)學(xué)概念，通常用來(lái)總結(jié)特定視覺(jué)圖像下的抽象思維活動(dòng)。教師應(yīng)該有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生思考，以便直觀地理解這些概念。比如，在“棱柱”一課中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察三棱鏡，并描述棱柱的主要特征，以此簡(jiǎn)單地了解棱柱的概念。經(jīng)過(guò)這一過(guò)程使抽象概念具象化，強(qiáng)化學(xué)生的視覺(jué)圖像認(rèn)知，對(duì)其內(nèi)存的深入把握非常有利，也更便于學(xué)生使用概念。由淺層的理解，到深層的把握與生成，思維以此為起點(diǎn)，這也是抽象事物具體化的基礎(chǔ)。如果缺少了這個(gè)基礎(chǔ)，學(xué)生對(duì)概念的理解把握不到位，在使用效果上也會(huì)事倍功半。

三、有效開展高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略

（一）分析現(xiàn)實(shí)學(xué)情，尋找問(wèn)題的切入點(diǎn)

高中教材里的數(shù)學(xué)概念，大都和“解決問(wèn)題”密切相關(guān)，尤其是概念的形成和推理過(guò)程，更是主要應(yīng)用于解決問(wèn)題方面。由此可知，要想有效開展概念教學(xué)，就要立足于設(shè)計(jì)和解決問(wèn)題。所以，如何在教學(xué)過(guò)程中設(shè)計(jì)問(wèn)題，就成了研究的重點(diǎn)內(nèi)容。下文對(duì)此提出，相關(guān)問(wèn)題的設(shè)計(jì)要立足于學(xué)情，從實(shí)際出發(fā)，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)進(jìn)行分析，教師以此來(lái)制定教學(xué)目標(biāo)，尋找問(wèn)題的正確切入點(diǎn)。

1.設(shè)計(jì)的問(wèn)題需能引起學(xué)生的深入思考。以“偶函數(shù)”一課的教學(xué)為例，教師應(yīng)該先分析學(xué)情，讓學(xué)生熟悉二次函數(shù)y=x2的圖像，并且判斷其圖像關(guān)于豎軸（也就是y軸）對(duì)稱。那么設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)就要以此為基礎(chǔ)，以教學(xué)目標(biāo)為參考，可以設(shè)計(jì)關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)包不包括，因?yàn)榇撕瘮?shù)雖為上面那個(gè)二次函數(shù)的倒數(shù)，但是無(wú)法像y=x2那樣可以直觀判斷。這個(gè)問(wèn)題有待進(jìn)一步探究，所以很容易引起學(xué)生的思考。此時(shí)，教師再借助數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)展開對(duì)軸對(duì)稱的討論，比如“關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)需要滿足的數(shù)量條件”等，再借助解析式來(lái)深入判斷“函數(shù)有關(guān)于軸對(duì)稱的特性”的準(zhǔn)確性。

2.設(shè)計(jì)的問(wèn)題難度要適中。教師設(shè)計(jì)的問(wèn)題應(yīng)該難度適中比較好，而且應(yīng)該有比較強(qiáng)的吸引力，以此來(lái)引起學(xué)生的興趣并引發(fā)學(xué)生自主思考。以“最簡(jiǎn)三角方程”概念為例，問(wèn)題“探究sin x=a的解集”的難度對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)比較大，為了激發(fā)學(xué)生的積極探究欲望，本文建議從解一個(gè)具體的三角方程入手，例如，求sinx =的解集，以此問(wèn)題為框架，引導(dǎo)學(xué)生逐步思考，經(jīng)過(guò)推演計(jì)算得到答案。從最終的教學(xué)效果來(lái)看，如此設(shè)計(jì)問(wèn)題更適合學(xué)生，更能促進(jìn)學(xué)生逐步發(fā)展，以具體可操作的問(wèn)題為切入點(diǎn)，通過(guò)使用已有的知識(shí)來(lái)順利解決問(wèn)題。

3.設(shè)計(jì)的問(wèn)題需能遷移延展。教師要明確一個(gè)事實(shí)，那就是設(shè)計(jì)問(wèn)題并不是單純地為了概念，還有通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生深入研究問(wèn)題的過(guò)程，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生解決并獲得概念的自主能力，為學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)基本知識(shí)和獲取相關(guān)技能奠定基礎(chǔ)，同時(shí)為下個(gè)階段學(xué)習(xí)知識(shí)的類比與遷移做好鋪墊。此處以“設(shè)計(jì)等差數(shù)列的概念教學(xué)”為例，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生把日常解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)和方法遷移到等差數(shù)列的問(wèn)題研究中去，逐步探討等差數(shù)列的概念。教師應(yīng)注意問(wèn)題的設(shè)計(jì)需要滿足前瞻性和系統(tǒng)化的條件，以此保證學(xué)生以往的解題經(jīng)驗(yàn)與方法能夠?qū)π聠?wèn)題進(jìn)行類比遷移。教師在設(shè)計(jì)問(wèn)題過(guò)程中要做好“什么”與“為什么”的小問(wèn)題安排，究根結(jié)底，不斷地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化。

（二）在概念的多重表征中引導(dǎo)學(xué)生深入理解

1.通過(guò)解讀多層次的外在表征了解概念的內(nèi)涵及外延。數(shù)學(xué)概念還有一個(gè)比較重要的特征，那就是具有豐富的表征。在教學(xué)過(guò)程中，大部分經(jīng)驗(yàn)豐富的教師都會(huì)借助大量的示例來(lái)幫助學(xué)生理解或使用概念。若諸多示例都屬于同一類別的表征，那么對(duì)學(xué)生理解概念的實(shí)用性就大打折扣。以“函數(shù)”為例，如果教師將重點(diǎn)都放在公式法的表征上，那么學(xué)生很難理解甚至想象變量之間的動(dòng)態(tài)平衡關(guān)系。若只是使用公式法和圖表法，學(xué)生也很難想到函數(shù)在集合元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。由此可見(jiàn)，教師舉例時(shí)不僅要注意示例的數(shù)量，更要注意不同示例在不同表征中的代表性。豐富示例的表征，有利于學(xué)生打開思路，理解概念的含義和外延。

2.輔助學(xué)生從數(shù)學(xué)符號(hào)中獲取表述的個(gè)體化意義。有相關(guān)專家的研究表明，學(xué)生對(duì)概念表征的表述系統(tǒng)分為內(nèi)外兩個(gè)，聯(lián)系兩個(gè)系統(tǒng)的教學(xué)才更為有效。部分教師能做到為學(xué)生提供自主語(yǔ)言描述概念的示例，效果比較好，屬于聯(lián)系內(nèi)外表征的實(shí)踐教學(xué)的一種有效方式。然而，這種聯(lián)系方式并沒(méi)有發(fā)揮作用在概括的最終階段，這對(duì)學(xué)生的要求過(guò)高了，有脫離現(xiàn)實(shí)之嫌，學(xué)生無(wú)法將內(nèi)外表征的符號(hào)有意義地聯(lián)系到一起。所以，教師強(qiáng)調(diào)內(nèi)外表征聯(lián)系的最好時(shí)機(jī)就是在概念初形成的過(guò)程中。此處以“函數(shù)單調(diào)性”的概念為例，教師可以為學(xué)生提供一個(gè)關(guān)于一天內(nèi)氣溫變更的函數(shù)圖像，讓學(xué)生以此為根據(jù)表述一天內(nèi)的高溫和低溫變化時(shí)間點(diǎn)。這個(gè)問(wèn)題與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)相符，回答時(shí)學(xué)生只需要回答時(shí)間點(diǎn)即可。然后，教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考在數(shù)學(xué)教學(xué)中有關(guān)經(jīng)緯氣溫的上升和下降，分別具體的含義是什么？學(xué)生要回答這個(gè)問(wèn)題，就必須明確自變量時(shí)間和因變量溫度之間的關(guān)系。此時(shí)，教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)表述這一關(guān)系，如此學(xué)生就會(huì)根據(jù)自己的思考以及經(jīng)驗(yàn)，將認(rèn)識(shí)到的關(guān)系用已有的符號(hào)表述出來(lái)。

3.在表征系統(tǒng)中尋找目標(biāo)概念。數(shù)學(xué)最重要的學(xué)科特征就是嚴(yán)謹(jǐn)性。數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性要求其推理過(guò)程嚴(yán)密、得出的結(jié)論要有依據(jù)，還要求各部分內(nèi)容聯(lián)系緊密，相互依存。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，不存在孤單的數(shù)學(xué)概念，其存在必定與諸多概念掛鉤。比如，集合的概念，其與變量、函數(shù)、映射等概念緊密相關(guān)，并不是單獨(dú)存在的獨(dú)立個(gè)體。教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該提供多種示例，包括正例反例等，讓學(xué)生辨析地認(rèn)識(shí)相關(guān)概念，幫助學(xué)生明確目標(biāo)概念與相關(guān)概念之間各種主勢(shì)、受勢(shì)以及上下位的關(guān)系，以此建立清晰的關(guān)系認(rèn)知。

4.重點(diǎn)關(guān)注符號(hào)操作性含義，使內(nèi)在表征精細(xì)化。內(nèi)在表征精細(xì)化是指深入加工概念的內(nèi)伸和外延，搜集多方面、多類型的示例，加深對(duì)概念細(xì)節(jié)的把握，明確其中存在的限制條件，進(jìn)一步全面了解概念，如此學(xué)生才會(huì)獲取更深層次的內(nèi)在表征。概念過(guò)程的二重性是數(shù)學(xué)概念的又一大特點(diǎn)。對(duì)于數(shù)學(xué)概念來(lái)說(shuō)，既可以代表某個(gè)靜態(tài)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，又能代表某個(gè)動(dòng)態(tài)的操作過(guò)程。例如，函數(shù)的單調(diào)性概念中既給出了定義，又明確了證明的方法。在函數(shù)以及其周期性和奇偶性等定義都具有這種特性。這種精細(xì)化的過(guò)程實(shí)際上需要用概念進(jìn)行實(shí)操方能完成。這就要求教師在教學(xué)過(guò)程中重視學(xué)生的自主練習(xí)，既要增強(qiáng)學(xué)生本身對(duì)概念的理解，又要培養(yǎng)學(xué)生使用概念解決問(wèn)題的能力。因此，教師在進(jìn)行概念教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該讓學(xué)生體驗(yàn)初步運(yùn)用概念的各種變式，而非急于解釋如何應(yīng)用概念解決各種復(fù)雜問(wèn)題。

5.在循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，養(yǎng)成概念經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)。對(duì)概念的學(xué)習(xí)不是一步登天的過(guò)程，而理解也不是能用簡(jiǎn)單的懂不懂就可以描述的，它是階段性的、有層次的，是一個(gè)漫長(zhǎng)的學(xué)習(xí)認(rèn)知與積累過(guò)程。教師在開展概念教學(xué)課程時(shí)，要有選擇地給學(xué)生提供示例和學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，可以找比較經(jīng)典的正反示例，如此學(xué)生才會(huì)做到不斷聯(lián)系概念的內(nèi)外表征，并在此過(guò)程中積累與目標(biāo)概念相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)和示例，養(yǎng)成一個(gè)同外部邏輯思維體系相對(duì)應(yīng)的內(nèi)在經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)不斷地對(duì)教學(xué)中的概念教學(xué)進(jìn)行探究，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行學(xué)習(xí)并思考，帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)概念的起源，以此來(lái)增強(qiáng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)和能力，不斷強(qiáng)化和培養(yǎng)學(xué)生新的思維方式，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，注重概念體系的培養(yǎng)，大幅度提升課堂的教學(xué)效率，以此保護(hù)學(xué)生自主研究數(shù)學(xué)的意識(shí)，提高課堂的效率和自由度。