近三年高考數(shù)學開放性試題分析

【摘 要】 近年來，高考數(shù)學命題越來越重視開放性試題的加入——因其具有發(fā)散性、探索性、多樣性等特點，更有利于考查學生的數(shù)學理解能力、探究能力、邏輯思維和批判思維.本文對近三年高考數(shù)學試題中的開放性試題進行統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)試題涉及條件開放、結(jié)論開放、條件和結(jié)論同時開放等類型，了解其教育價值，嘗試提出開放性試題的編制策略，并將其滲透到日常數(shù)學教學中.

【關(guān)鍵詞】 高考數(shù)學；開放性試題；教學啟示

20世紀80年代“數(shù)學開放題”傳入我國，戴再平等學者開始對其進行研究，提出“開放題是指那些答案不唯一，并在設(shè)問方式上要求學生進行多方面、多角度、多層次探索的問題”.2020年發(fā)行的《中國高考評價體系》主要由“一核、四層、四翼”組成，它是新時代高考內(nèi)容改革和命題工作的理論支撐和實踐指南.開放性試題的條件可變性、方法多樣性、結(jié)論開放性等特點，使其解決過程更有利于檢驗出學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，在高考數(shù)學試卷中引入、設(shè)置開放性試題符合考試內(nèi)容改革的要求.本文試圖對近三年高考數(shù)學試題中的開放性試題進行統(tǒng)計分析，以期幫助中學數(shù)學老師對開放性試題有更全面的認識，同時也為中學數(shù)學老師如何編制開放性試題，并將其滲透到日常數(shù)學教學中提供參考.

1 近三年高考數(shù)學試題中的開放性試題統(tǒng)計分析2020年的高考有13套數(shù)學試卷，2021年和2022年的高考均有10套數(shù)學試卷（含全國甲、乙文理卷，新高考Ⅰ、Ⅱ卷，北京卷，天津卷，上海卷，浙江卷）.三年共有33套試卷，其中的開放性試題共計18道（有1道在新高考Ⅰ、Ⅱ卷中均出現(xiàn)，有2道在文理卷中均出現(xiàn)），主要分布在全國卷、新高考卷、北京卷.本文將開放性試題劃分為條件開放、結(jié)論開放、條件與結(jié)論均開放三大類型（開放性試題解題策略在數(shù)學中非常常見，這里不再統(tǒng)計），依此對2020—2022年高考數(shù)學開放性試題的題型、考查知識點、分值、題量等進行統(tǒng)計整理，見表1、圖1、圖2、圖3、圖4.

從以上的圖、表中可以看出近三年高考數(shù)學開放性試題主要特點有：

（1）從試卷角度來看，高考數(shù)學開放性試題一般出現(xiàn)在全國卷、新高考卷、北京卷中，且在北京卷中連續(xù)三年都出現(xiàn)了.

（2）從題型角度來看，高考數(shù)學開放性試題一般是以填空題、解答題的形式出現(xiàn)，且填空題所占比重越來越大.

（3）從開放類型來看，條件開放型一般出現(xiàn)在解答題中（這里的條件開放是半開放狀態(tài)，讓考生在備選條件中選擇后繼續(xù)回答問題，且最終答案唯一）；結(jié)論開放型一般出現(xiàn)在填空題中（答案不唯一，寫出一個即可）；條件、結(jié)論均開放型可能出現(xiàn)在填空題中，也可能出現(xiàn)在解答題中（選擇不同的備選條件，導(dǎo)致產(chǎn)生不同的答案）.

（4）從考點分布來看，2020年高考數(shù)學開放性試題集中考查了三角函數(shù)與解三角形.在隨后的兩年里，陸陸續(xù)續(xù)的開始考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、圓錐曲線、立體幾何等知識點，可以看出高考數(shù)學開放性試題的考查內(nèi)容逐漸豐富起來.

2 2022年高考數(shù)學中的開放性試題賞析

2022年的全國卷、新高考卷、北京卷中都出現(xiàn)了數(shù)學開放性試題.以開放性試題的開放類型為切入點，結(jié)合考查的知識點，對2022年的高考數(shù)學開放性試題進一步賞析，并從學生的角度思考，探討開放性試題的價值.

2.1 條件開放型的高考數(shù)學試題

例1 （2022年北京卷第17題）如圖5，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1為正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB=BC=2，M，N分別為A1B1，AC的中點.

（Ⅰ）求證：MN∥平面BCC1B1；

（Ⅱ）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值.

條件①：AB⊥MN；條件②：BM=MN.

賞析 本題為解答題，分值14分，以常規(guī)的三棱柱為背景，但在設(shè)問上稍做改變，在第（Ⅱ）問中，給出了兩個備選條件供考生選擇，進而完成解答，但殊途同歸，最終求出的正弦值相同，所以這是一道條件開放性試題.

第（Ⅰ）問考查直線與平面平行的判定（可利用線線平行線面平行），第（Ⅱ）問考查線面角，由于條件開放，考生需要在給出的兩個條件中選出一個作為已知，以確定側(cè)面的形狀，這里也考查了學生思維的嚴謹性.在解答第（Ⅱ）問時，可以首先證明在三棱柱ABC-A1B1C1中BC，BA，BB1兩兩垂直，故分別以BC，BA，BB1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，用向量表示線段；再求出平面BMN的一個法向量n;

最后通過計算線面角的向量公式

sinθ=cos〈n，AB〉=n·AB|n|·|AB|來求出解.解答過程中發(fā)現(xiàn)，選擇條件①證明BC、BA、BB1兩兩垂直比較容易，選擇條件②證明起來比較復(fù)雜.

教育價值探視 條件開放型的試題——僅條件開放，不論學生選擇哪個備選條件繼續(xù)作答，都會發(fā)現(xiàn)殊途同歸，最終的結(jié)論明確唯一，所以這種條件自選、結(jié)論唯一的開放性試題也可以稱為“殊途同歸題”.該類型試題的備選條件之間具有等價關(guān)系，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學選擇能力，培養(yǎng)學生分析和解決問題的能力，提高學生的批判性思維，面向所有學生，自行篩選出適合自己的那個條件繼續(xù)解答.

2.2 結(jié)論開放型的高考數(shù)學試題

例2 （2022年全國甲卷文第15題）記雙曲線

C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為e，寫出滿足條件“直線

y=2x與C無公共點”的e的一個值 .

例3 （2022年新高考Ⅰ卷第14題）寫出與圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程 .

例4 （2022年北京卷第14題）設(shè)函數(shù)f（x）=-ax+1，x<a，

（x-2）2，x≥a，

若f（x）存在最小值，則a的一個取值為 ；a的最大值為 .

賞析 這3題都是“舉例”填空題，分值5分，例2是以雙曲線的離心率為載體設(shè)置的試題，例3主要考查直線與圓的位置關(guān)系，例4是通過含參的動區(qū)間分段函數(shù)來設(shè)計的.可以看出考查的知識點精細，條件明確，結(jié)論多樣，都是結(jié)論開放性試題.

教育價值探視 結(jié)論開放型的試題——條件明確，結(jié)論不唯一，增強了試題的靈活性.學生可以根據(jù)自己的思維寫出一個符合題意的答案，有利于不同水平的學生都能發(fā)揮出自己的數(shù)學能力，不同的答案對應(yīng)著不同的思維方案，可以很好地考查學生思維的靈活性.

2.3 條件、結(jié)論均開放型的高考數(shù)學試題

例5 （2022年全國乙卷文第15題理第14題）過四點

（0，0），（4，0），（-1，1），（4，2）中的三點的一個圓的方程為 .

賞析 本題是以圓的方程為載體的條件自選、結(jié)論多樣的填空題，分值5分，要求學生在已給出的四點（不在同一條直線上的點）中選擇其中三點去確定一個具體的圓，共有四種不同的選擇，不同的選擇導(dǎo)致得到不同的答案，學生寫出一個符合題意的答案即可.例6 （2022年新高考Ⅱ卷第21題）設(shè)雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點為

F（2，0），漸近線方程為y=±3x.

（1）求C的方程；

（2）經(jīng)過F的直線與C的漸近線分別交于A，B兩點，點P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1>x2>0，y1>0.過P且斜率為-3的直線與過Q且斜率為3的直線交于點M，從下面三個條件①②③中選擇兩個條件，證明另一個條件成立：①M在AB上；②PQ∥AB；③|AM|=|BM|.

賞析 本題為解答題，分值12分，以雙曲線為背景，第（1）問比較常規(guī)且簡單，求雙曲線C的方程；第（2）問是條件不足、缺少結(jié)論的開放性試題，要求考生在三個備選中選擇兩個作為條件，另一個作為結(jié)論，并證明其成立.共有三種不同的組合，不同的選擇有不同的解題思路，解答的難度也不盡相同.

教育價值探視 條件、結(jié)論均開放型的試題——條件自選，結(jié)論多樣，它既有著條件開放型的優(yōu)勢、又有結(jié)論開放型的優(yōu)勢，從條件的角度來看，根據(jù)試卷提供的備選，選擇出來的條件具有相互獨立性，導(dǎo)致結(jié)論不同，這不僅培養(yǎng)學生的批判性思維，還有利于培養(yǎng)學生進行優(yōu)選的能力；從結(jié)論的角度來看，結(jié)論多樣，學生可根據(jù)自己的數(shù)學水平及思維特點進行選擇，體現(xiàn)了試題的人文關(guān)懷，考查了學生構(gòu)建數(shù)學問題的能力、思維的靈活性.

3 數(shù)學開放性試題編制策略

數(shù)學開放性試題一般是由數(shù)學封閉題改編形成的，常規(guī)的封閉題條件恰當、答案固定，根據(jù)不同開放類型的數(shù)學開放性試題具有不同的特點，可以有以下三種不同的開放性試題編制策略：

3.1 條件開放型——“條件等價”策略

條件開放型試題條件開放、答案固定，如2022年北京卷第17題.

從“條件”入手，在編制條件開放型試題時，先抽出題目中的一個條件，然后尋找與之等價的條件，最后將這幾個等價條件都呈現(xiàn)在題目中供學生選擇，不論學生選擇條件①，還是選擇條件②（或者選擇條件③）都能解出此題，且從不同條件出發(fā)最終得到的答案唯一，當然選擇不同的條件會出現(xiàn)不同的解題切入點.

例7 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且公差d>0，前n項和為Sn，數(shù)列{bn}滿足b1=1，b2=13，（an-1）bn+1=nbn，從下面的條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知條件，求：（1）數(shù)列{an}的通項公式；（2）數(shù)列{bn-1}的前n項和Tn.

條件①a2-b1=2d；條件②2（a1+a6）=a15；條件③S9=36a1.

3.2 結(jié)論開放型——“數(shù)學本質(zhì)”策略

結(jié)論開放型試題條件固定，答案多樣，如2022年新高考Ⅰ卷第14題.

從“知識點”入手，在編制結(jié)論開放型試題時，可以考慮以該知識點為載體得出的答案是否唯一，例如，考查“函數(shù)”相關(guān)知識點——函數(shù)的基本性質(zhì)、含參函數(shù)的參數(shù)取值范圍，往往符合條件的答案多樣.

例8 若函數(shù)f（x）=sin（wx+π6）（0<w<12）在區(qū)間（π，2π）內(nèi)有最值，則w的一個取值為 .

3.3 條件、結(jié)論均開放型——“知識系統(tǒng)化”策略

條件、結(jié)論均開放型試題條件不明確，答案不唯一，如2022年新高考Ⅱ卷第21題.

從“知識系統(tǒng)化”入手，在編制條件、結(jié)論均開放型的試題時，搜尋同一知識背景下的多個題目，它們之間的條件有部分相同、部分不同，結(jié)論也不同——不同的選擇導(dǎo)致解題策略不同、解題難度不同.嘗試將多個題目合并成一題，考查與該知識有關(guān)的題型、解題策略.例如“解三角形”相關(guān)知識點有正弦、余弦定理及其推論，三角形面積公式、常用角；題型有用正弦、余弦定理判斷三角形的形狀，求角、求邊、求三角形面積等.

例9 在△ABC中，a+b=2c，3sinA=2sinB，再從下面條件①、條件②中選擇一個作為已知條件，求：（1）a的值；（2）△ABC的面積.

條件①ab=24；條件②csinC=574.

4 教學啟示

如何恰當?shù)卦谌粘?shù)學教學中引入開放性試題呢？下面筆者從新授課、習題課兩種不同的課型進行探討.

4.1 在新授課中引入開放性試題數(shù)學新授課教學環(huán)節(jié)一般分為“導(dǎo)入—講解新課—鞏固練習—課堂小結(jié)—布置作業(yè)”.

導(dǎo)入環(huán)節(jié)，適當情況下可以采用“開放性問題導(dǎo)入”，例如在人教A版數(shù)學必修第一冊“1.1集合的概念”新授課中，采用結(jié)論開放性問題導(dǎo)入：“在小學和初中，我們已經(jīng)接觸過了一些集合，你能舉出一些例子嗎”.鞏固練習環(huán)節(jié)，例如在人教A版數(shù)學必修第二冊“8.2立體圖形的直觀圖”新授課中，通過改編封閉題，使之變身為“結(jié)論開放性問題”：“在立體圖形6-11中，有相同三視圖的兩個立體圖形是 .”（寫出一組即可）（原題只有一組，改編后有兩組：圖6與圖8、圖7與圖9）

4.2 在習題課中引入開放性試題

以問題為導(dǎo)向的習題課教學模式一般為“創(chuàng)設(shè)情景→嘗試引導(dǎo)→自主解決→反饋梳理”.

創(chuàng)設(shè)一個成功的問題情景，更容易激發(fā)學生的探究興趣. 以相關(guān)知識為背景，設(shè)計開放性試題，通過問題驅(qū)動學生多角度思考、討論，讓學生在解決問題的過程中，掌握知識技能，積累解題經(jīng)驗.例如在人教A版數(shù)學選擇性必修第一冊“2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系”習題課上，設(shè)計一道條件、結(jié)論均開放型的問題：已知圓C1：x2+y2+6x-7=0，從下面條件中選擇一條直線、一個圓，判斷直線與圓C1、圓與圓C1的位置關(guān)系，如果相切，求出切點；如果相交，求所截得的弦長.（不同的選擇，結(jié)論不同）

條件①y=2x-2；條件②y+x+10=0；條件③y=4；條件④x2+y2-4x-6y+12=0；條件⑤x2+y2-4x+3=0；條件⑥x2+y2-2x+4y-4=0.縱觀高考數(shù)學試題，我們可以看到近三年全國卷、新高考卷、北京卷中都有開放性試題的身影，在新的高考命題理念下，教師要及時更新教學觀念，改變教學方式，學會編制數(shù)學開放性試題，讓學生在日常數(shù)學教學中得到練習，獲得解題經(jīng)驗，以便適應(yīng)高考改革.

參考文獻

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［2］任子朝，趙軒，翟嘉祺，徐奉先.高考開放題命制的理論和技術(shù)研究［J］.數(shù)學通報，2021，60（07）：37-41.

［3］任子朝，趙軒.數(shù)學考試中的結(jié)構(gòu)不良問題研究［J］.數(shù)學通報，2020，59（02）：1-3.

［4］黃維靜，陳建華.高考數(shù)學開放性試題解析——以2021年高考題為例［J］.高中數(shù)學教與學，2021（23）：1-4.

作者簡介 馬慧慧（1997—），女，安徽亳州人，碩士；主要研究中學數(shù)學教學.