問題鏈：讓學生經歷概念教學“兩個過程”的有效策略
——以蘇科版九年級上冊“方差”為例*

蔣妍兮

(西安交通大學蘇州附屬初級中學 215021)

1 基于“兩個過程”的數學問題鏈教學理念

1.1 “兩個過程”的合理性

章建躍博士曾多次提到，在數學課堂教學過程中核心素養(yǎng)的滲透需關注“兩個過程”的合理性，即數學知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性和學生思維過程的合理性．[1]前者在于突出核心概念的思維建構，強調知識間的內在邏輯線索，后者更加關注學生的思維規(guī)律以及認知特點，強調思想方法的領悟過程．

1.2 問題鏈教學及其設計思路

數學的發(fā)展是不斷地發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程，而數學學習則是經歷了簡約的數學發(fā)生、發(fā)展的過程，因此問題是數學學習的關鍵．問題鏈是指在課堂上呈現(xiàn)給學生的、有序的主干問題串．[2]基于問題鏈的數學教學則是將這些彼此獨立又相互關聯(lián)的問題串聯(lián)在一起，通過創(chuàng)設合適的問題情境，引導學生經歷知識形成和發(fā)生的過程，在解決問題的過程中不斷實現(xiàn)能力提升和思維迭代．

如何設計合理的問題鏈成為了我們關注的焦點．筆者認為，概念教學中的問題鏈設計首先應確定概念產生的來龍去脈，即根據目標內容構建出知識鏈接，這就需要我們深刻理解教材，不僅著眼于書本知識的習得，更重要的是引導學生感受數學家們用數學的思維思考世界的歷程；其次在主干結構的基礎上設計核心問題，確定“鏈”，注重問題的關聯(lián)性與整體性，保證知識的邏輯順序嚴謹、學生的思維過程自然，做到深入淺出、系統(tǒng)策劃；最后細化完善，針對核心問題有選擇性地設置二級問題，為學生搭建腳手架，使得問題的設計更加豐滿完整．

基于“兩個過程”的概念教學更關注概念產生、發(fā)展的基本過程，因此我們可以問題鏈形式為抓手，以數學概念的發(fā)生發(fā)展為線索，通過環(huán)環(huán)相扣的問題引導學生探索、思考、遷移，從而在理解概念的過程中實現(xiàn)活動經驗的積累和思維能力的提升．

2 基于“兩個過程”的數學問題鏈教學實踐

2.1 深刻理解教材 建立知識鏈接

“方差”是蘇科版九年級上冊[3]第三章“數據的集中趨勢和離散程度”中的內容，旨在讓學生了解刻畫數據離散程度的方法，經歷并感受方差公式得出的必要性、自然性與合理性．數學教學是基于學情的教學，九年級的學生已經學習了“數據的收集、整理、描述”，積累了一定的基礎和經驗．在知識方面，學生對于總體、個體、樣本、樣本容量等概念已有所了解，能夠讀懂各類統(tǒng)計圖表，并從中獲取相關信息；在能力方面，能夠選擇合適的調查方式解決相關問題，并運用文字、統(tǒng)計圖表等呈現(xiàn)、整理、描述數據的結果，具備一定的數據分析處理能力．

學生在學習“方差”的有關概念之前已經學習了平均數、中位數、眾數等概念(圖1)，但是生活中，除了需要關心數據的集中趨勢外，還需要了解數據之間的差異，考察數據的波動情況，即離散程度，這對于學生來說無疑是一個認知的沖突．如何自然地引出、建構、理解方差的概念，是本節(jié)課需要重點關注的部分．

圖1

2.2 梳理概念脈絡 確定核心問題

本節(jié)課以極差概念為起點，將學生的目光聚焦于數據的離散程度(圖2)．通過對方差公式的剖析，制定出本節(jié)課需要解決的核心問題：刻畫數據離散程度的方式有哪些？為何想到求“均差”？為何要計算“均差絕對值之和”或者“均差平方之和”？為何擇優(yōu)選擇后者？為何要求樣本的平均值？……這些問題構成了問題鏈的“骨架”，指引學生進行更深入的探索和思考，從而獲得更深刻的思維體驗．

圖2

2.3 預設課堂生成 細化問題鋪墊

問題1已知乒乓球的標準直徑為40 mm，質檢部門抽取了A廠生產的10只乒乓球，對其直徑進行檢測，結果如下(單位：mm)：

40.0,39.9,40.0,40.1,40.2,39.8,40.0,39.9,40.0,40.1．

問題1-1 可以從哪些視角對問題中的數據進行分析處理？

問題1-2 如何描述這組數據的波動情況？

設計意圖一組數據的離散程度，即變量各個取值之間的差異程度，差異程度越小，說明這組數據越穩(wěn)定．基于學生的最近發(fā)展區(qū)，他們對于刻畫數據波動程度的方式僅停留于最大值與最小值之間的差值——極差，這是學生的初始感受，也是本節(jié)課問題的起點.極差概念的提出在知識層面上為接下來的問題沖突埋下伏筆．

問題2質檢部門又抽取了B廠生產的10只乒乓球，對其直徑進行檢測，結果如下(單位：mm)：

40.0,40.2,39.8,40.1,39.9,40.1,39.9,40.2,39.8,40.0．

問題2-1 通過計算極差，能判斷A,B兩廠生產乒乓球穩(wěn)定性的差異嗎？

問題2-2 還有哪些可以嘗試的方法？

問題2-3 觀察散點圖，說說你對數據的“離散”有何直觀感受？

問題2-4 結合上述的問題探究，你能提出一個新的問題或解決問題的新思路嗎？

設計意圖問題2的設計既是對問題1中概念的鞏固，又是情境的進一步深化——比較兩組數據的離散程度．基于B組數據無論是從樣本容量、極差、平均數都與A組數據相同，自然轉向繪制“散點圖”(圖3)，這既是學生思維的直觀體現(xiàn)，亦是由“數”轉向“形”的智慧表達．問題的逐步推進，使得學生對“離散”一詞有了更深刻的體會，也引發(fā)其提出新問題或新思路．圖表法固然直觀有效，但弊端也顯而易見：隨著樣本容量的增大，肉眼觀察所得的波動情況會欠缺說服力．數學作為一門精確、精細、精準的學科，它的理性思維強調用數據代替感官，因此還需另尋他法．

圖3

問題3如表1所示，你還有何種方法可以判斷數據的波動程度呢？

表1

問題3-1 分別計算A,B兩組數據與其平均值的差，能直觀判斷兩組數據的波動程度嗎？

問題3-2 若將A,B兩組數據的差值分別累加，會出現(xiàn)何種情況？

問題3-3 如何避免此類情況的出現(xiàn)？

設計意圖問題3的設計將學生的思維從“由數到形”向“由形到數”轉換．圖“形”中所謂的波動程度，轉換成“數”即為每一個數據與平均數之間的差值(以下簡稱為“均差”)，均差的大小決定了起伏波動的多少，再將這些差值累加進行比較即可．頗為遺憾的是，兩組數據均差累加之后結果皆為0．因此自然生成了對問題3-3的思考，從避免負號的角度出發(fā)尋找解決之法．這樣的設計巧妙地激發(fā)了學生的思維，充分調動了學生探索的熱情．同時也帶來了新的思考：既然求“均差絕對值之和”與“均差平方之和”都可以作為判斷數據離散程度的依據，那么哪種方式更優(yōu)呢？

問題4判斷表2中兩組數據的離散情況．

表2

設計意圖教材中對于方差公式中的“均差平方和”并未作過多解釋，但基于學生已有的學習經驗，避免負號的方式不止一種，為何方差公式最終選擇求均差平方和，其中必有深意．針對此疑惑，筆者進行了深入思考并設計了問題4．如表2所示，從數據上可以直觀看出第一組數據的波動程度明顯大于第二組，但是通過計算卻發(fā)現(xiàn)均差絕對值之和是相等的，無法區(qū)分它們的波動大小，而“均差平方和”卻有很大差異，更有比較的價值．

問題5如表3數據所示，B廠有4個數據缺失，判斷下列表格中兩組數據的離散情況．

表3

問題5-1 如果A廠數據中的2號、4號樣本也丟失(表4)，判斷下列表格中兩組數據的離散情況．

表4

問題5-2 經過計算發(fā)現(xiàn)兩組數據均差平方和相等，是否說明A廠和B廠數據一樣穩(wěn)定呢？

問題5-3 為什么會造成這樣的結果？如何才能優(yōu)化方法？

設計意圖經過問題4的研究，似乎已經找到了刻畫數據波動程度的好方法，但是相較于最終的方差公式仍有出入，由此繼續(xù)設計了問題5及其一系列子問題．問題5中B組數據的丟失導致其均差平方和小于A組，但同時也會引發(fā)一部分學生的質疑：結果是否受樣本容量的影響？問題5-1將A組數據的樣本容量也作相應的調整，印證了質疑．問題5-1和問題5-2的設計目的在于讓學生發(fā)現(xiàn)僅根據均差平方和來判斷數據離散程度的方式還不夠成熟，通過對失敗原因的不斷思考和探索，反思思維過程中的漏洞，發(fā)現(xiàn)樣本容量的重要影響．

回顧概念的發(fā)生發(fā)展過程，每一個問題的提出，都能促使學生的思維產生一次飛躍，他們積極參與、努力思考，不斷探索改進方法，經歷“求平均數—求均差—求均差平方和—求均差平方和的平均數”的全過程，最終找到解決問題的最優(yōu)方案．這是一個逐步優(yōu)化和完善的過程，學生的思維一次又一次地得到鍛煉，研究的興趣和熱情完全被激發(fā)，利用所學知識還原方差公式的動態(tài)生成過程，無疑是一個了不起的探究體驗．

問題6對于方差公式，你還有什么疑惑嗎？

設計意圖該問題的提出既是總結也是延伸，幫助學生梳理本節(jié)課所學知識的同時，又碰撞出新的火花．例如，學生會對s2產生疑惑：方差是數據的平方，存在單位的不一致．以本節(jié)課數據為例，方差單位為mm2，與檢測值本身單位有偏差，難以直觀感受其差異，如何解決單位問題呢？這便是閱讀材料中提到的——標準差．以開放性的問題作為結尾，不斷推進學生的自我反思能力，從而實現(xiàn)知識與活動經驗的遷移，提升數學核心素養(yǎng)．[4]

3 基于“兩個過程”的數學問題鏈教學思考

3.1 問題鏈的設計有利于形成概念的“生長鏈”

知識就像一棵根基深厚的大樹，“老枝”是已學知識和已有經驗，經歷不斷生長、不斷汲取營養(yǎng)的過程，會逐漸萌發(fā)出“新芽”．如何讓生長的過程自然且順暢，就需要合理的問題牽引．

從實際情境出發(fā)，交代知識的緣起，將研究對象從數學外部遷移至內部；通過起點問題的鋪設，指明研究的方向——數據的離散程度；確立四個核心問題，分別指向均差(問題2)、均差平方和(問題3、4)、樣本容量(問題5)，設計問題時，始終保持兩組參考數據的極差相等以及平均數相等，以保證問題研究的嚴謹性．這些由表及里、層次分明的問題圍繞著方差公式的結構形成了清晰的脈絡(圖4)，勾連起學生的認知起點和目標，前者是后者的鋪墊和引導，后者是前者的深化與遞進，它們共同形成了一個有機整體，以鏈狀結構環(huán)環(huán)相扣，自然地形成了一條牽引鏈，刻畫出概念生長的脈絡，充分展現(xiàn)了數學教學的合理性和嚴謹性[5]，強調內容間的關聯(lián)性和邏輯性，對學生統(tǒng)計觀念的形成有著舉足輕重的作用．

圖4

3.2 問題鏈的設計有利于鍛煉學生的“思維鏈”

以問題鏈為抓手的課堂教學，不是教師單方面的提問，而是師生圍繞著共同的問題和目標進行的多層次、多角度、深刻且全面的探索和發(fā)現(xiàn)．在發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程中，學生的邏輯思維和創(chuàng)造性思維得以發(fā)展和鍛煉．本節(jié)課方差概念的提出很好地彌補了現(xiàn)有統(tǒng)計方法的局限性，但要實現(xiàn)公式的推導，需要涉及到已有的關于數據集中趨勢的統(tǒng)計知識，同時還需綜合考慮樣本容量大小、計算方式不同等諸多因素，思維含量很高．基于教材的問題鏈設計，結合了更加多元的舉措，更能激發(fā)學生的思維活躍度．初中階段是學生智力和心理發(fā)展的關鍵階段，學生的思維從經驗型逐步向理論型轉變，問題鏈的設計，尤其是懸念性問題鏈的設計，能夠不斷制造出認知沖突，以問題催生問題，以思考激發(fā)思辨，使學生經歷“提出問題—解決問題—思考質疑—再次提出問題”的全過程，在這個循環(huán)往復的過程中，思維的收斂性和發(fā)散性都能得以有效鍛煉，認知體系和思維方式也日益完善，逐步實現(xiàn)思維的高階發(fā)展．

在問題鏈背景下的概念教學，關注“生長鏈”和“思維鏈”的形成，與關注“兩個過程”合理性的教學理念不謀而合，更加尊重概念形成的必要性，還原其生成的自然性．它不僅能夠適應知識動態(tài)生成的變化過程，也能追求數學思維的邏輯嚴謹，不失為一種有效的教學方式．