數(shù)學文化視角下信息化課例研究*
——以“長方體直觀圖的畫法”為例

200444 上海師范大學附屬經(jīng)緯實驗學校 顧海萍

200241 華東師范大學數(shù)學科學學院 余慶純

一、 問題提出

《上海市中小學課程標準(試行稿)》提出，數(shù)學教學要有數(shù)學抽象、探索的過程與體驗，能運用數(shù)學的思維方式觀察、分析問題，同時要有一定的數(shù)學視野和數(shù)學文化素養(yǎng)，樹立理性精神，培育對數(shù)學美的感受[1].數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點以及它們的形成和發(fā)展，還包括數(shù)學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關的人文活動[2].數(shù)學文化融入義務教育階段數(shù)學教學，是中小學數(shù)學教育改革的新趨勢.

“互聯(lián)網(wǎng)+教育”時代下，信息技術為數(shù)學文化融入數(shù)學教學提供有力的保障.電子書包是以學生為主體，融合信息終端與網(wǎng)絡學習資源的學習載體，是推動教學方式與學習方式變革的動力來源[3].微視頻輔助教學能激發(fā)學習興趣，提高學習效率.幾何畫板、GeoGebra等幾何軟件是數(shù)學探究和數(shù)學實驗教學的有力工具，能夠?qū)崿F(xiàn)“做中學”[4].數(shù)字媒體下的在線博物館、數(shù)字名畫等突破空間限制，將中華民族五千年悠久歷史積淀下的藝術瑰寶鮮活地展示出來[5].借助信息技術將文化和藝術融入數(shù)學課堂，展現(xiàn)學科底蘊和跨學科聯(lián)系是值得一線教師思考和研究的內(nèi)容，筆者以“長方體直觀圖的畫法”教學實踐為例進行闡述.

“長方體直觀圖的畫法”是滬教版教材六年級下冊第八章第二節(jié)的內(nèi)容，主要闡述平面與長方體的畫法與表示法.學生已學過線段與角的畫法，會用量角器畫任意角，用尺規(guī)二等分線段與角，知道長方體的基本元素及特征.長方體“斜二測畫法”是學生學習的第一個立體圖形的畫法，需要突破從平面到空間圖形的認知跨越，提升直觀想象能力，為后續(xù)學習長方體中元素的位置與數(shù)量關系做鋪墊.傳統(tǒng)課堂教學普遍直接介紹長方體斜二測畫法的規(guī)定，學生對于“斜二測畫法如何產(chǎn)生”“為何要學習斜二測畫法”等問題存在一定的疑惑.

通過查閱數(shù)學史料發(fā)現(xiàn)，用平面圖形表示空間形體有著悠久的歷史，而長方體的畫法變遷過程為“長方體直觀圖的畫法”教學提供創(chuàng)新思路與實踐依據(jù).鑒于此，數(shù)學文化視角下“長方體直觀圖的畫法”信息化課例的教學目標擬定如下.

1.通過課前微視頻，了解繪圖的歷史，知道畫長方體直觀圖的必要性；結合幾何畫板探究“斜二測畫法”規(guī)定的合理性，培育理性精神.

2.借助數(shù)字教材和空中課堂資源，掌握平面和長方體的畫法與表示，學會運用“斜二測畫法”畫出長方體直觀圖，掌握補畫長方體的方法.

3.運用電子書包與數(shù)字媒體等技術賞析《清明上河圖》，體會數(shù)學的社會角色、數(shù)學與藝術的學科聯(lián)系，彰顯數(shù)學文化，增強民族自信.

二、 教學過程

(一)課前準備

課前，教師用微視頻介紹將空間圖形繪制在平面上的歷史，依次呈現(xiàn)約5000年前我國賀蘭山巖畫中的投影畫法、公元前1世紀羅馬建筑師維特魯維(約公元前1世紀)所著《建筑十書》中水平投影、正面投影與等角投影等畫法[6]、我國宋代的工程制圖以及宋徽宗(公元1082年-1135年)《文會圖》中的投影畫法[7].此外，教師還對學生進行了認知前測，問卷內(nèi)容為“請繪制一個長方體，并寫出你認為繪制長方體直觀圖需要畫出哪些元素和特征”.

設計意圖：借助微視頻，學生了解直觀圖在藝術和建筑領域的作用，知道繪制直觀圖的必要性；通過課前測，教師了解學生的認知基礎，為課堂教學做好鋪墊.

(二)復習引入

思考1如圖1所示，編號①-⑥是前測問卷中部分同學繪制的長方體，哪些圖更能體現(xiàn)長方體的元素和特征？請說說理由，并將不合適的圖排除.

圖1

生1：長方體有6個面、8個頂點、12條棱，圖④只展示了兩個面，圖①和圖②只有7個頂點，應排除.

生2：依據(jù)長方體有6個面，每兩個面一組且形狀大小相同的特征，排除圖③.

生3：數(shù)學與美術不同，不需要陰影美化，選擇圖⑤更能體現(xiàn)長方體的元素與特征.

師：長方體直觀圖可以像圖⑤這樣畫.這一畫法有什么規(guī)定嗎？下面進一步研究.

設計意圖：借助課前測結果，復習長方體的元素及其特征，確定作圖要點和元素，了解長方體直觀圖需要體現(xiàn)長方體的元素和特征，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、直觀想象素養(yǎng)以及數(shù)學說理的表達能力.

(三)規(guī)定探究

探究1正方體是特殊的長方體.根據(jù)從特殊到一般的數(shù)學思想方法，我們先研究繪制正方體的規(guī)定.借助幾何畫板，探究對于不同取值的寬所繪制的長方體的差異.

師：在幾何畫板中取長、寬、高都為3cm，平行四邊形中銳角的度數(shù)是45°，像正方體嗎？(如圖2-1所示)

生：寬偏長，不像正方體.

師：寬取實際寬度的一半呢?(如圖2-2所示)

生：像正方體了.

師：寬取2cm呢？(如圖2-3所示)

圖2-1 長方體1

圖2-2 長方體2

圖2-3 長方體3

生1：差別不大.

生2：寬取2更像正方體.

師：如果請你們制定長方體畫法的規(guī)定，你們會如何制定？

生1：如果規(guī)定寬取2，寬就是實際寬的三分之二，計算不方便.

生2：寬取實際的一半方便計算.之前學過畫線段中點，能用尺規(guī)作圖畫線段中點，作圖方便.

生3：寬取實際長度最方便，就是看起來不像.

生4：兼顧視覺直觀和繪制方便，規(guī)定寬為實際寬的一半更好.

探究2長方體直觀圖底面平行四邊形中∠1的夾角是否一定要是45°呢？

教師運用幾何畫板變化參數(shù)，改變底面平行四邊形中銳角的度數(shù)(如圖3所示)，師生共同確定底面平行四邊形長與寬夾角的大小.

圖3 夾角數(shù)變化的長方體

通過觀察討論發(fā)現(xiàn)，角度偏差1°帶來的視覺差異不明顯，夾角在40°到50°之間時都像正方體，考慮尺規(guī)作圖方便和視覺美觀，取45°更好.此外，學生還有補充：看得見的棱用實線表示，看不見的棱用虛線表示，這樣更符合視覺直觀.從而形成水平放置的平面的畫法和長方體斜二測畫法的規(guī)定.

設計意圖：師生借助幾何畫板共同討論、分析繪制長方體直觀圖時長方體中寬與實際寬的數(shù)量關系、底面平行四邊形中銳角的度數(shù)等問題，共同經(jīng)歷長方體直觀圖畫法規(guī)定的形成過程，感受“規(guī)定”的科學性、合理性與必要性.

操作“畫一個長、寬、高分別為4cm、2cm、1cm的長方體的直觀圖”.師生共同實踐操作，經(jīng)歷“閱讀書本圈劃重點—跟隨空中課堂視頻作圖—下載電子書包‘數(shù)字教材’中的‘參考答案’(如圖4所示)—對比答案查漏補缺—交流作圖要點”的過程.

圖4 所求作的長方體

設計意圖：學生經(jīng)歷畫圖過程，掌握斜二測畫法.借助信息技術，明確作圖要點和過程，以核對“參考答案”查漏補缺的形式，培養(yǎng)學生自主學習能力，在交流討論中培育其數(shù)學表達能力.

(四)回顧歷史

思考2如圖5所示是西方早期教材中長方體直觀圖的畫法.想一想，不同時期的長方體畫法是否有不足之處，分別說一說.

圖5 西方早期教材中的長方體

生1：《數(shù)學之源》和《實用幾何》中的長方體沒有畫看不見的棱.

生2：《歐幾里得集》中的長方體沒有使用虛線繪制看不見的棱.

生3：《數(shù)學之源》《實用幾何》中長方體的寬沒有取實際的一半.

生4：《數(shù)學之源》《實用幾何》和《數(shù)學教程》中長方體的長與寬的夾角不是45°.

生5：《立體幾何》中長方體的畫法與斜二測畫法相同.

師：長方體直觀圖的畫法經(jīng)歷了漫長的歷史變遷，不同的畫法各自延續(xù)了一段時間.斜二測畫法因兼具準確和美觀的特點而登上歷史舞臺，最終受到人們的青睞.

設計意圖：通過歷史時間軸，展現(xiàn)西方早期教材中長方體直觀圖的變化過程.以“思考題”的形式依次呈現(xiàn)，引導學生觀察、發(fā)現(xiàn)圖中長方體直觀圖繪制的變化及其優(yōu)缺點，鞏固對畫法規(guī)則的理解，感受長方體畫法的歷史變遷，培育學生的動態(tài)數(shù)學觀，使其感受數(shù)學多元文化之美.

(五)練習鞏固

練習學生打開“電子書包”中的“數(shù)學教材”完成教師編制的配套練習，進一步鞏固平面和長方體的畫法和表示法，通過軟件的批改功能了解知識掌握情況，教師根據(jù)答題情況分析講解.

探究3若要擦去一個長方體的若干條棱，最多可以擦去多少條，至少需要保留哪些棱才能夠補畫出原長方體？分別該如何補畫？

結合幾何畫板中的長方體，師生共同討論，逐步擦除長方體中的棱，發(fā)現(xiàn)至少需要保留長、寬、高各一條棱，即最多擦去9條棱(如圖6所示)，可以通過作平行線、畫相等的線段和角等方法補畫出長方體.

圖6 待補畫的長方體

設計意圖：借助信息技術的習題批改和反饋功能，鞏固基礎知識.通過探究活動進一步掌握長方體斜二測畫法，結合信息技術，夯實“雙基”.

(六)拓展賞析

《清明上河圖》現(xiàn)存于北京故宮博物院，是由宋代畫家張擇端創(chuàng)作的中國古典現(xiàn)實主義繪畫杰作，描繪了繁華富庶的京城居民生活景象[13].依托“電子書包”等技術媒介，打開高清數(shù)字版《清明上河圖》，欣賞并思考以下問題.

思考3畫家是如何繪制平面以及長方體的？是否運用了今天所學的平面畫法或者斜二測畫法？量一量圖中長方體物體長和寬夾角的度數(shù)，將發(fā)現(xiàn)的相關內(nèi)容截圖上傳云端并交流(學生上傳的截圖如圖7-1至圖7-4所示).

圖7-1 田地圖7-2 帳篷頂

圖7-3 房子圖7-4 箱子

學生分別找到了田地、帳篷頂、房子、長方體箱子等，交流并發(fā)現(xiàn)雖然畫家的畫法與今日所學內(nèi)容相似，但畫家沒有統(tǒng)一整個作品中平面和長方體的畫法.故猜測畫家通過生活感知有了繪制平面和長方體畫法的意識，但是并未掌握斜二測畫法，如果能按照今天的規(guī)定繪圖，那么畫出來的田和房子肯定會很整齊.

設計意圖：借助數(shù)字媒體欣賞畫作，感受藝術與數(shù)學的聯(lián)系，體會數(shù)學在生活中的應用價值.借助數(shù)字平臺交流功能，提升學習效率，用數(shù)學的語言表達，用數(shù)學的眼光欣賞.

(七)小結作業(yè)

小結環(huán)節(jié)中，學生回顧了本課中的信息技術應用、斜二測畫法規(guī)定的探究過程、名畫《清明上河圖》賞析.教師布置了數(shù)學寫作作業(yè)：圖文并茂地將今天所學的平面和長方體畫法知識介紹給我國古代的畫家.

設計意圖：通過數(shù)學寫作回顧知識，提升學生數(shù)學表達能力，使其感受數(shù)學與生活的聯(lián)系.

三、 數(shù)學寫作

在數(shù)學寫作中，學生圖文并茂地介紹了斜二測畫法.有學生描述了斜二測畫法繪制長方體的步驟，并說明“斜二測畫法可以將長方體畫得簡潔清晰，簡單實用”(如圖8-1所示).有學生通過繪制不同規(guī)則下的長方體，比較得出“寬取實際寬的一半，因為如果不取一半，看起來就不真實了；長與寬的夾角要為45°，不然不美觀；看不見的地方畫虛線，這是為了更真實”，逐步講解說明斜二測畫法規(guī)則(如圖8-2所示).還有學生通過舉例分步驟繪圖，闡述如何運用斜二測畫法繪制一個長方體涼亭“清水堂”，步驟清晰，有理有據(jù)(如圖8-3所示).另外，也有學生結合文字和圖形，進行古今對話交流：“你好！古代的畫家，我來自一千多年后，看見了您作的《清明上河圖》，感到十分震撼，但仍覺得不夠精確，我為您推薦一種畫法(斜二測畫法)，這種畫法可以使景物井井有條，用斜二測畫法作圖時，要先知道所畫物體的長、寬、高.之后長與高保留原數(shù)(或比例縮小后的數(shù))，寬取原來(或按比例縮小后的數(shù))的一半作圖.作圖時，頂面、底面和側邊的兩個面畫成夾角為45°的平行四邊形.”并舉例繪制由一個長方體直觀圖添加其他裝飾后得到的亭子(如圖8-4所示).

可見，通過數(shù)學寫作的巧妙方式，能夠落實數(shù)學史的多元教育價值：鞏固數(shù)學新知，回顧梳理所學知識；規(guī)范語言表達，提升數(shù)學表達能力；賞析數(shù)學文化，培育理性精神與文化自信.

圖8-1 斜二測畫法步驟

圖8-2 不同規(guī)則的長方體

圖8-3 長方體涼亭“清水堂”

圖8-4

四、 文化內(nèi)涵

依據(jù)“基于數(shù)學史的數(shù)學文化”理論分析框架[9]，筆者對數(shù)學文化視角下信息化課例“長方體直觀圖的畫法”的教學，從五個數(shù)學文化內(nèi)涵維度展開分析.

第一，知識源流.借助微視頻、時間軸了解繪圖的歷史，體會長方體直觀圖畫法的變遷；經(jīng)歷探究斜二測畫法規(guī)定的形成過程，感受知識源流.

第二，學科聯(lián)系.通過《清明上河圖》中平面和長方體的畫法賞析，闡述數(shù)學與藝術的聯(lián)系，再結合數(shù)學寫作，感受數(shù)學對建筑、藝術等跨學科的重要作用.

第三，社會角色.微視頻中的巖畫活靈活現(xiàn)地描繪動物形象，數(shù)字版《清明上河圖》栩栩如生地呈現(xiàn)北宋汴京的繁榮，感受直觀圖的畫法在生活中的應用，領悟數(shù)學源于生活、服務于生活的本質(zhì).

第四，審美娛樂.在幾何畫板動態(tài)演示探究規(guī)定過程中體驗“做數(shù)學”的樂趣，借助幾何畫板呈現(xiàn)的“如何補畫長方體”活動，體現(xiàn)數(shù)學趣味，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、直觀想象素養(yǎng).

第五，多元文化.以經(jīng)典畫作、建筑圖紙、早期教科書中的長方體直觀圖為素材，展現(xiàn)長方體直觀圖畫法的異同，揭示其文化底蘊，感受中西文化交融.

五、 總結與展望

數(shù)學文化視角下“長方體直觀圖的畫法”課例研究，用信息技術輔助“做數(shù)學”探究活動，聚焦“畫法規(guī)定”緣由和歷史演進與文化內(nèi)涵.課前導學中的微視頻助力學生了解畫直觀圖的必要性；新知講解借助幾何畫板、希沃白板等信息技術教材進行探究，培育理性精神；數(shù)字教材中的習題實時反饋，查漏補缺；高清版《清明上河圖》讓學生穿越時空，拓展視野，從歷史到課堂，從數(shù)學到藝術，信息技術融合促進數(shù)學文化融入數(shù)學教學.

未來，數(shù)學文化視角下信息化課例研究需要做好以下幾點.第一，深挖歷史素材，通過查閱早期教材、古代著作、藝術作品等，挖掘契合教學內(nèi)容的數(shù)學史料.第二，蘊含文化內(nèi)涵，梳理“歷史發(fā)生序—數(shù)理邏輯序—心理認知序”，優(yōu)化教學設計，闡發(fā)數(shù)學文化.第三，巧用信息技術，“互聯(lián)網(wǎng)+教育”時代下，將契合的數(shù)學文化內(nèi)容滲透于課堂，提升學生學習效率，擴展視野，豐富知能，培育文化自信.