美英早期解析幾何教科書中的拋物線定義與方程

錢 秦

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 引言

在數(shù)學(xué)新課程理念的倡導(dǎo)下，我國的數(shù)學(xué)教育正不斷地進(jìn)行數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的探索和實(shí)踐，也取得了一定的成效．目前，在圓錐曲線一章，HPM視角下橢圓的課例最為豐富，也有不少學(xué)者進(jìn)行了雙曲線的嘗試．但融入數(shù)學(xué)史的拋物線的課例屈指可數(shù)，筆者在知網(wǎng)上僅搜索到了4篇：文[1]從數(shù)學(xué)史中尋找啟示，利用光學(xué)性質(zhì)自然揭示拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線并建構(gòu)解析定義，使學(xué)生厘清拋物線的來龍去脈；文[2]通過重構(gòu)數(shù)學(xué)史的方式來設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生突破焦點(diǎn)-準(zhǔn)線定義及其由來；文[3]分析了圓錐曲線的歷史，再采用重構(gòu)式給出HPM視角下的橢圓、雙曲線、拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)設(shè)計(jì)；文[4]采用發(fā)生教學(xué)法，從數(shù)學(xué)史、知識邏輯、學(xué)生的認(rèn)知需求和生活實(shí)際出發(fā)，讓學(xué)生在自主探索中將知識“再創(chuàng)造”出來，使拋物線知識自然發(fā)生．但這些課例所用到的歷史素材十分有限．

國內(nèi)現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教科書大多采用拋物線的第二定義(焦點(diǎn)-準(zhǔn)線定義)，且人教A版、滬教版、蘇教版和北師大版教科書均在第二定義的基礎(chǔ)上，以頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系推導(dǎo)拋物線方程．在閱讀材料中，滬教版教科書探究了二次函數(shù)的圖象為什么是拋物線，人教A版和蘇教版介紹了拋物線的光學(xué)性質(zhì)，北師大版教材則呈現(xiàn)了圓錐曲線的截線定義．四個版本的教科書中關(guān)于拋物線的數(shù)學(xué)史元素都較少．

巧婦難為無米之炊，史料的匱乏是阻擋HPM視角下課例開發(fā)的最大障礙．早期教科書既體現(xiàn)了特定歷史時期的教育理論或理念，也蘊(yùn)含著編寫者的智慧，為今日教學(xué)提供了豐富的素材和思想啟迪．鑒于此，本文從有關(guān)數(shù)據(jù)庫選取1820—1959年間出版的95種美英早期解析幾何教科書(75種出版于美國，21種出版于英國，其中1種同時在兩國出版)，對其中拋物線的引入、定義與方程進(jìn)行考察，試圖回答以下問題：關(guān)于拋物線，美英早期解析幾何教科書給出了哪些定義？采用了哪些推導(dǎo)方程的方法？以此思考拋物線的歷史對今日教學(xué)的啟示.

2 拋物線概念的引入

在這95種教科書中，有55種直接給出了拋物線的定義．其余40種則采用不同方法來引入拋物線的概念．

2.1 一般圓錐曲線定義

23種教科書先介紹圓錐曲線的第二定義或截線定義，再引入拋物線：根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律可以產(chǎn)生無數(shù)軌跡，其中有一類尤為重要，這些曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與點(diǎn)到定直線的距離之比始終為常數(shù)，該曲線被稱為圓錐曲線．[5]

2.2 二次方程

有6種教科書從一般的二元二次方程引入：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0為一般的二元二次方程，其中A,B,C,D,E,F均為常數(shù)，這個方程所代表曲線的性質(zhì)會隨著系數(shù)的特定值變化而變化……若B2-4AC>0，方程代表兩條雙曲線；若B2-4AC<0，方程代表一條拋物線；若B2-4AC=0，方程代表一個橢圓．[6]

2.3 軌跡問題

有3種教科書從軌跡方程問題引入．考慮下面的軌跡問題：一個動點(diǎn)到一條固定直線和一個固定點(diǎn)的距離相等，試確定動點(diǎn)軌跡的性質(zhì)．[7]

2.4 二次函數(shù)

有3種教科書通過一元二次函數(shù)引入．形如ax2+bx+c,a≠0的表達(dá)式稱為x的二次函數(shù)，曲線y=ax2+bx+c的縱坐標(biāo)表示一條拋物線的函數(shù)．[8]

2.5 圓錐曲線的歷史

有5種教科書通過圓錐曲線的歷史引入，如Roberts和Colpitts在書中寫道[9]：

橢圓、雙曲線和拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線，這一名稱源于這樣一個事實(shí)，這些曲線都可以由一個平面截圓錐得到．這些曲線的許多性質(zhì)為希臘早期幾何學(xué)家所知，其中主要的研究者是阿基米德和阿波羅尼奧斯．阿基米德計(jì)算了拋物弓型和橢圓的面積，阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)三條曲線都可以從同一個圓錐上截得，并研究了許多雙曲線的特殊問題．許多世紀(jì)以后人們才發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的知識在研究宇宙規(guī)律方面有很大的實(shí)用價值．大約1600年，德國的開普勒發(fā)現(xiàn)了它們在天體運(yùn)動研究中的重要性，與此同時，意大利的伽利略發(fā)現(xiàn)炮彈的軌跡是拋物線．直到人們意識到物理學(xué)、力學(xué)和建筑領(lǐng)域的大量問題都依賴于圓錐曲線的知識來解決，它們的應(yīng)用領(lǐng)域才得到擴(kuò)展．

3 拋物線的定義與作圖

3.1 拋物線的定義

在所考察的95種教科書中共出現(xiàn)了4種拋物線的定義．

第一種是古希臘的截線定義，26種教科書給出了截線定義：平面斜截一圓錐面，當(dāng)截面平行于一條圓錐面的母線(但不過圓錐頂點(diǎn)時)，平面與圓錐的交線稱為拋物線．[10]

第二種是第二定義，86種教科書給出了第二定義：拋物線是一條平面曲線，其上的點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線的距離相等．定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線．[11]

第三種是極限定義，將拋物線視作橢圓或雙曲線的極限，有6種教科書采用了極限定義：給定橢圓的一對頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，假設(shè)它的長軸無限增大，則該曲線最終會成為拋物線．[6]

第四種是特殊的比例定義，只在所考察的3種教科書中發(fā)現(xiàn)．拋物線是一些點(diǎn)的軌跡，這些點(diǎn)到兩條垂直直線的距離滿足這樣的關(guān)系：點(diǎn)到一條直線距離的平方與點(diǎn)到另外一條直線的距離成正比．[12]

95種美英早期解析幾何教科書中所采用拋物線定義如圖1所示．可以發(fā)現(xiàn)在4種定義中，第二定義和今天一樣受人們青睞，出現(xiàn)的頻率最高．而歷史悠久的截線定義也受到了不少教科書的關(guān)注，這與今天截然不同．也有一些教科書給出了拋物線的多種定義，即將截線定義、極限定義和比例定義作為第二定義的補(bǔ)充定義出現(xiàn)，但是20世紀(jì)20年代后的教科書已經(jīng)舍棄了比例定義和極限定義．

圖1 95種早期解析幾何教科書中的拋物線定義

3.2 拋物線的作圖

早期的解析幾何教科書也十分注重拋物線的作圖，共出現(xiàn)3種作圖法．

第一種作法：利用三角尺和繩子構(gòu)造拋物線．先作拋物線的準(zhǔn)線和對稱軸，如圖2，在準(zhǔn)線處放置一把直尺，將Rt△EDG的一條直角邊ED貼緊直尺，并將一條與DG邊等長的繩子一端固定在G處，繩子另一端固定在對稱軸上的點(diǎn)F處．當(dāng)直角三角形沿著準(zhǔn)線上下移動時，放置鉛筆P使得繩子始終保持緊繃，那么鉛筆會畫出拋物線的一部分．當(dāng)然，這只能畫出拋物線的一部分，因?yàn)閽佄锞€可以無限延伸[11]．

圖2 三角尺構(gòu)造拋物線 圖3 平行線構(gòu)造拋物線

第二種作法：平行線和同心圓相交法．如圖3，記DD′為拋物線的準(zhǔn)線，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)．過點(diǎn)F作DD′的垂線GG′，然后過F作HH′垂直于GG′，使得FH=FH′=FG，易知H和H′是該拋物線上的兩點(diǎn)．連結(jié)GH和GH′并延長，構(gòu)造一系列平行于HH′的直線分別交GH和GH′于點(diǎn)a,b,c,d,…和點(diǎn)a′,b′,c′,d′,…．以點(diǎn)F為圓心、dd′為直徑作圓，交dd′于點(diǎn)P和P′，這兩點(diǎn)即為拋物線上的點(diǎn)．采用類似的方法，我們可以找到拋物線與aa′,bb′,cc′,…的交點(diǎn)．用一條平滑的曲線連接所有這些點(diǎn)，就得到了拋物線．[13]

第三種作法：利用拋物線的內(nèi)在性質(zhì)作圖．拋物線具有這樣的內(nèi)在性質(zhì)：拋物線上每一點(diǎn)到對稱軸的距離的平方等于該點(diǎn)到頂點(diǎn)的水平距離乘以2倍焦準(zhǔn)距，這給我們提供了一種作拋物線圖象的方法．如圖4，已知拋物線的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，易找到拋物線的頂點(diǎn)V．在拋物線的對稱軸上任意地選取一點(diǎn)M，我們可以算出VF和4VM的等比中項(xiàng)，過點(diǎn)M以該等比中項(xiàng)的長度作對稱軸的垂線MP，P是以l為準(zhǔn)線、F為焦點(diǎn)的拋物線上的一點(diǎn)．同理，通過選取對稱軸上不同的點(diǎn)，我們就可以得到該拋物線上的許多點(diǎn)．[14]

圖4 利用內(nèi)在性質(zhì) 構(gòu)造拋物線

4 拋物線方程的推導(dǎo)

95種教科書中，有8種或直接給出標(biāo)準(zhǔn)方程，或只研究了拋物線的幾何性質(zhì)而未給出標(biāo)準(zhǔn)方程，其余教科書均對標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)，共出現(xiàn)了4種定義下的推導(dǎo)方法．

4.1 基于截線定義的推導(dǎo)

有1種教科書利用旦德林單球模型聯(lián)系拋物線的截線定義和第二定義．如圖5，圓錐中有一球與圓錐內(nèi)表面相切，M,T是切線上的兩點(diǎn)，用平行于母線VB、外切球于F，且與平面VOB相垂直的平面截取圓錐面，則截線為拋物線．已知平面VOB⊥截面PDE，且平面VOB⊥平面DEM，所以平面VOB垂直于平面DEM和平面PDE的交線DE，那么DE垂直于平面VOB上的EE′．MN∥截面PDE，則MN平行于截面PDE和所有過MN平面的交線，那么MN∥PD∥EE′，所以PD⊥DE．一組平行平面所截的兩條平行線相等，即PD=MN．易知MN=PT，又因?yàn)榍芯€PF=PT，所以PD=MN=PT=PF．因此，我們可以將拋物線定義為這樣一條平面曲線，曲線上的點(diǎn)到一定點(diǎn)(F)與定直線(DE)的距離相等．[15]根據(jù)這個事實(shí)，我們可以用解析幾何的方法推出拋物線方程．

圖5 旦德林單球模型

4.2 基于第二定義的推導(dǎo)

有19種教科書以準(zhǔn)線為y軸建立直角坐標(biāo)系進(jìn)行推導(dǎo)．如圖6，以準(zhǔn)線YY′為y軸，然后過焦點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線(即拋物線的對稱軸)，并將其作為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，令OF=2p．根據(jù)拋物線性質(zhì)知PF=PN=OM，所以PF2=OM2，得FM2+PM2=OM2，即(x-2p)2+y2=x2，故得y2=4p(x-p)．令y=0，我們得到x=p，即拋物線與x軸交于點(diǎn)A(p,0)，若以A為原點(diǎn)，則x=x′+p，于是得新方程y2=4px′．[17]

圖6 以準(zhǔn)線為y軸 圖7 以頂點(diǎn)為原點(diǎn)

圖8 從極坐標(biāo)進(jìn)行推導(dǎo)

4.3 基于極限定義的推導(dǎo)

有4種教科書采用拋物線的極限定義推導(dǎo)其標(biāo)準(zhǔn)方程．

圖9 基于極限定義推導(dǎo)2

4.4 基于比例定義的推導(dǎo)

圖10 基于比例定義的推導(dǎo)

5 結(jié)語

由上可見，美英早期解析幾何教科書中拋物線的定義和方程推導(dǎo)方法均呈現(xiàn)多樣化的特點(diǎn)．早期教科書中給出了拋物線的4種定義，并且從4種定義出發(fā)分別推導(dǎo)了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，在推導(dǎo)過程中綜合運(yùn)用了豐富的幾何、代數(shù)及三角學(xué)的知識．然而，隨著時間的推移，現(xiàn)代中學(xué)教科書中的拋物線定義與推導(dǎo)方法均趨向單一．早期教科書給我們帶來如下啟示：

其一，追本溯源，重視幾何本質(zhì)．眾所周知，圓錐曲線是高中解析幾何部分的重要內(nèi)容，而解析幾何的核心是用代數(shù)的方法來研究幾何問題．通過建立平面直角坐標(biāo)系，復(fù)雜的幾何判斷就可轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算，為幾何的研究帶來了便利．但正是在這種極度的便利下，人們往往將圓錐曲線視為解析幾何概念．但從歷史上看，圓錐曲線是一個幾何概念，最早由古希臘的數(shù)學(xué)家梅奈克繆斯(Menaechmus)用垂直于母線的平面去截頂角為銳角、直角和鈍角的圓錐所得到．后續(xù)人們對圓錐曲線作了不少的探索，但在創(chuàng)立解析幾何這門學(xué)科以前，人們一直采用古希臘人的截線定義，將圓錐曲線放在立體幾何中進(jìn)行研究．因此，拋物線教學(xué)不能僅從解析幾何的角度開展，也應(yīng)從更廣的立體角度對其進(jìn)行探究．截線定義是拋物線的來源，理應(yīng)為學(xué)生所知曉，而極限等補(bǔ)充定義則由教師根據(jù)需要選擇是否講授．

其二，各取所長，展現(xiàn)方法之美．現(xiàn)代教科書中關(guān)于拋物線方程的推導(dǎo)雖然簡潔，但過于單一且理想化．學(xué)生一定能想到以頂點(diǎn)為原點(diǎn)嗎？學(xué)生沒有其他想法了嗎？僅講解書上的一種方法是不夠的，單一的方法限制了學(xué)生思維的發(fā)展．教師可以放手先讓學(xué)生探究，再根據(jù)學(xué)生的思路適當(dāng)作些補(bǔ)充．例如，準(zhǔn)線是拋物線定義中天然存在的一條線，學(xué)生用準(zhǔn)線作為y軸相當(dāng)自然，這也是早期教科書中使用頻率相當(dāng)高的一種方法．教師還可以選擇性地講解歷史上的其他推導(dǎo)方法，讓學(xué)生體會不同方法背后的思想之美．

其三，注重聯(lián)系，構(gòu)建知識之諧．一方面，學(xué)生在初中時期就已經(jīng)對一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象為拋物線了然于心．如何讓學(xué)生理解二次函數(shù)圖象與當(dāng)今課堂學(xué)習(xí)的拋物線同質(zhì)是教學(xué)的一大重點(diǎn)，這里主要涉及坐標(biāo)的平移變換．另一方面，如果向?qū)W生介紹圓錐曲線的來源，也應(yīng)說明截線定義和第二定義的等價性．旦德林單球模型是溝通截線定義與第二定義的良好橋梁，但使用的難度較大．教師應(yīng)根據(jù)學(xué)情，通過搭建腳手架，構(gòu)造實(shí)物模型等方式來降低教學(xué)難度．