問(wèn)題解決視角下中美初中數(shù)學(xué)教材比較
——以“負(fù)數(shù)四則運(yùn)算”為例

黃躍琦 張維忠

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004)

20世紀(jì)80年代，美國(guó)掀起了以數(shù)學(xué)問(wèn)題解決為主題的一系列數(shù)學(xué)教育改革和研究的熱潮[1]，問(wèn)題解決成為21世紀(jì)以來(lái)歷次國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)探討的重要議題．[2]我國(guó)第八次基礎(chǔ)教育課程改革也將培養(yǎng)問(wèn)題解決能力作為主要目標(biāo)之一，問(wèn)題解決成為落實(shí)核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成部分貫穿在各科課程標(biāo)準(zhǔn)中．[3-5]教材是發(fā)展學(xué)生問(wèn)題解決能力的關(guān)鍵性載體，不同國(guó)家、不同版本的教材在問(wèn)題解決編寫(xiě)上存在較大差異．本文將著眼于負(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，運(yùn)用文本分析法對(duì)中美不同版本教材進(jìn)行橫向比較，以期為教材編寫(xiě)落實(shí)核心素養(yǎng)及培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決能力提供借鑒與啟示．

1 研究設(shè)計(jì)

1.1 研究對(duì)象

數(shù)學(xué)教材是“教”與“學(xué)”活動(dòng)的工具，也是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決能力的重要資源．因此，本文選用在中國(guó)使用范圍較廣、時(shí)間較長(zhǎng)，較有代表性的人民教育出版社(以下簡(jiǎn)稱人教版)、浙江教育出版社(以下簡(jiǎn)稱浙教版)、江蘇科技出版社(以下簡(jiǎn)稱蘇科版)2012年出版的初中數(shù)學(xué)教材以及Mc Graw Hill公司2014年出版的美國(guó)中學(xué)主流數(shù)學(xué)教材Glencoe Math(以下簡(jiǎn)稱MGH版)四版教材進(jìn)行文本分析．

負(fù)數(shù)是具體數(shù)學(xué)到形式數(shù)學(xué)的第一次轉(zhuǎn)折，理解有關(guān)負(fù)數(shù)的運(yùn)算(以下簡(jiǎn)稱負(fù)數(shù)四則運(yùn)算)需要有高度的抽象性．鞏子坤的研究指出97%的學(xué)生能正確計(jì)算負(fù)數(shù)相乘，但不超過(guò)12%的學(xué)生能合理解釋負(fù)負(fù)得正[6]．本文聚焦教材編寫(xiě)中負(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則的生成過(guò)程，即從情境引入到給出法則，探討四版教材的編寫(xiě)是否有利于培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決能力，深刻把握負(fù)數(shù)四則運(yùn)算的實(shí)質(zhì)．

1.2 分析比較的依據(jù)與維度

課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫(xiě)的重要依據(jù)．本次分析的數(shù)學(xué)教材對(duì)應(yīng)的課程標(biāo)準(zhǔn)分別為中華人民共和國(guó)教育部2012年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》與全美州長(zhǎng)協(xié)會(huì)于2010年推出的《美國(guó)州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》．在中國(guó)課標(biāo)中，問(wèn)題解決作為總目標(biāo)的關(guān)鍵要素之一貫穿整個(gè)義務(wù)教育階段，強(qiáng)調(diào)問(wèn)題解決思維的經(jīng)歷、體驗(yàn)和探索，積累問(wèn)題解決活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)．[7]在美國(guó)課標(biāo)中，問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)的首要因素，要求學(xué)生理解問(wèn)題并能堅(jiān)持不懈地解決問(wèn)題．綜上所述，中美數(shù)學(xué)課標(biāo)都強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生理解問(wèn)題、分析問(wèn)題并解決問(wèn)題的能力．所以，從問(wèn)題解決的角度對(duì)中美教材進(jìn)行分析是可行的．

杜威認(rèn)為問(wèn)題解決是一個(gè)心智過(guò)程，他將問(wèn)題解決分為五個(gè)階段，即問(wèn)題情境、問(wèn)題設(shè)定、假設(shè)形成、推理與假設(shè)檢驗(yàn)．[8]奧蘇伯爾和魯濱遜從人的認(rèn)知層次出發(fā)提出問(wèn)題解決模式的四個(gè)階段，即呈現(xiàn)問(wèn)題情境命題、明確問(wèn)題的目標(biāo)和已知條件、填補(bǔ)空隙、解答后的檢驗(yàn)．[9]喻平認(rèn)為問(wèn)題解決是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，提出了問(wèn)題解決的認(rèn)知模式．[10]呂傳漢、汪秉彝等從教學(xué)角度出發(fā)將問(wèn)題解決分為四步：設(shè)置數(shù)學(xué)情境(觀察分析)、提出數(shù)學(xué)問(wèn)題(猜測(cè)探究)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題(求解反駁)、注重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用(學(xué)做學(xué)用)．[11]本文從教材編寫(xiě)角度出發(fā)，將問(wèn)題解決分為情境的創(chuàng)設(shè)、問(wèn)題的呈現(xiàn)、問(wèn)題的解決三個(gè)部分．

2 四版教材在問(wèn)題解決編寫(xiě)維度的具體比較

教材編排富有啟發(fā)性的問(wèn)題情境，科學(xué)呈現(xiàn)引導(dǎo)思維活動(dòng)的問(wèn)題，合理運(yùn)用策略進(jìn)行問(wèn)題解決，是培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決能力的關(guān)鍵．本文采用文本分析法，從情境創(chuàng)設(shè)、問(wèn)題呈現(xiàn)、問(wèn)題解決三個(gè)角度比較四版教材在問(wèn)題解決編寫(xiě)維度的異同．

2.1 問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)比較

情境學(xué)習(xí)理論適用于問(wèn)題解決學(xué)習(xí)活動(dòng)[12]．借鑒楊孝曼、汪曉勤提出的負(fù)數(shù)概念情境引入的分類框架[13]，結(jié)合四版教材的具體內(nèi)容，最終將負(fù)數(shù)四則運(yùn)算情境分為以下七種：數(shù)學(xué)情境、距離情境、氣溫情境、生產(chǎn)情境、海拔情境、負(fù)債情境與比賽情境．根據(jù)情境分類，對(duì)四版教材進(jìn)行比較(表1)．

表1 四版教材“負(fù)數(shù)四則運(yùn)算”情境對(duì)比

人教版多用數(shù)學(xué)情境進(jìn)行引入，注重?cái)?shù)學(xué)的內(nèi)部邏輯，減少生活情境的引入，適當(dāng)?shù)厝趸藢W(xué)生與具體背景的互動(dòng)．例如加法法則的引入中，直擊本節(jié)課的核心“引入負(fù)數(shù)之后，怎樣進(jìn)行加法運(yùn)算”，讓學(xué)生馬上進(jìn)入問(wèn)題解決的思考狀態(tài)．

浙教版采取的生活情境豐富，每一節(jié)的導(dǎo)入都先讓學(xué)生經(jīng)歷生活情境，再脫離情境抽象出數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，重點(diǎn)關(guān)注其對(duì)生活經(jīng)驗(yàn)的深化和拓展．

蘇科版采取的情境與浙教版相似，但浙教版更強(qiáng)調(diào)生活數(shù)學(xué)化，蘇科版強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)生活化．例如溫度情境下，浙教版先給出廈門(mén)與哈爾濱的溫度，讓學(xué)生直觀感受溫度的差異后拋出計(jì)算溫差問(wèn)題，使其在體驗(yàn)生活中產(chǎn)生疑問(wèn)，而蘇科版先列舉數(shù)學(xué)中運(yùn)用減法的例子——溫差，再讓學(xué)生計(jì)算某天的溫差，使其體會(huì)數(shù)學(xué)中的生活模型．

MGH版采取的情境載體最生動(dòng)，最能引起學(xué)生的興趣.例如減法引入中，另外三版教材情境載體均為某地溫差，但MGH版情景載體為海豚從水下躍出的距離差，同時(shí)配上海豚躍出水面的圖，大大增加了情境的趣味性．

綜上所述，在情境創(chuàng)設(shè)方面，人教版更關(guān)注數(shù)學(xué)的內(nèi)部邏輯，多用數(shù)學(xué)情境引入;浙教版、蘇科版與MGH版更關(guān)注數(shù)學(xué)的外部需求，多用生活情境引入．在生活情境引入中，浙教版更注重生活數(shù)學(xué)化，蘇科版更注重?cái)?shù)學(xué)生活化，MGH版更注重情境的趣味性．

2.2 問(wèn)題呈現(xiàn)的設(shè)置比較

在現(xiàn)實(shí)情境中，數(shù)學(xué)問(wèn)題呈現(xiàn)的過(guò)程既是分析情境的過(guò)程又是提出任務(wù)的過(guò)程．分析情境時(shí)是否將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化、提出任務(wù)時(shí)采用何種驅(qū)動(dòng)方式，這二者是問(wèn)題呈現(xiàn)部分教材編寫(xiě)應(yīng)該注意的問(wèn)題．

人教版多從數(shù)學(xué)情境中產(chǎn)生疑問(wèn)，因此只討論任務(wù)的驅(qū)動(dòng)方式．人教版以問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)．例如在負(fù)數(shù)加法引入中先提出起點(diǎn)問(wèn)題“如何計(jì)算負(fù)數(shù)的加法運(yùn)算”，再提供“引入負(fù)數(shù)后，加法有哪幾種情況”等一系列子問(wèn)題，將復(fù)雜問(wèn)題拆分成可以操作的子問(wèn)題，最后提煉問(wèn)題，得到普遍性的結(jié)論，以問(wèn)題鏈的形式步步引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題．

浙教版以現(xiàn)實(shí)情境為起點(diǎn)，分析情境時(shí)已經(jīng)將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化，具體表現(xiàn)在將現(xiàn)實(shí)中表示相反意義的量賦予數(shù)學(xué)中的正負(fù)號(hào)，例如“進(jìn)貨表示正，出貨表示負(fù)”，同時(shí)浙教版也以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)．

蘇科版在加法與乘法中未將問(wèn)題數(shù)學(xué)化，需要學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)思考后補(bǔ)充條件才能將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)而求解．此外，蘇科版以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)為主、活動(dòng)驅(qū)動(dòng)并存的形式引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，從問(wèn)題驅(qū)動(dòng)模式來(lái)說(shuō)，難度較低，例如加法的情境引入中已經(jīng)給出比賽結(jié)果，所以重點(diǎn)不在于引導(dǎo)學(xué)生怎么計(jì)算異號(hào)兩數(shù)相加，而在于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯的能力．同時(shí)活動(dòng)驅(qū)動(dòng)作為輔助形式，例如在加法法則的引入中讓學(xué)生體驗(yàn)筆尖左右移動(dòng)的過(guò)程，讓學(xué)生在“做”中探索總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，加深學(xué)生對(duì)加法運(yùn)算法則的理解．

MGH版中多呈現(xiàn)原始現(xiàn)實(shí)情境，即未將問(wèn)題數(shù)學(xué)化．任務(wù)的提出多以活動(dòng)驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)，即讓學(xué)生在“動(dòng)手實(shí)踐”環(huán)節(jié)中解決問(wèn)題．此外，MGH版提出的問(wèn)題關(guān)注方法的總結(jié)，例如“思考怎么從正籌碼中移出負(fù)籌碼”，這道題實(shí)質(zhì)是讓學(xué)生采用正負(fù)抵消的思想，用同時(shí)移入正籌碼與負(fù)籌碼個(gè)數(shù)相等的一組0籌碼來(lái)解決問(wèn)題，讓學(xué)生從籌碼模型來(lái)直觀感受正數(shù)如何減去負(fù)數(shù)．

綜上所述，從情境的分析來(lái)看，浙教版最為詳實(shí)，蘇科版居中，MGH版分析最少，也就是說(shuō)MGH版留給學(xué)生思考的空間更多;從驅(qū)動(dòng)方式來(lái)看，人教版與浙教版用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)，MGH以活動(dòng)驅(qū)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)，蘇科版兩種方式并驅(qū)．特別地，MGH版問(wèn)題提出更指向過(guò)程而非結(jié)果．

2.3 問(wèn)題解決的策略比較

問(wèn)題解決是面臨新的問(wèn)題而又沒(méi)有現(xiàn)成對(duì)策時(shí)尋求處理問(wèn)題的方法和策略的一種思維活動(dòng)．[14]策略的使用也可以反映出教材問(wèn)題解決的編寫(xiě)風(fēng)格．減法是加法的逆運(yùn)算，減法法則生成過(guò)程是將減法轉(zhuǎn)化為加法，除法同理．所以在探討負(fù)數(shù)四則運(yùn)算問(wèn)題解決的策略時(shí)，我們主要考慮加法與乘法．

李單對(duì)比五國(guó)教科書(shū)將“負(fù)負(fù)得正”法則的解釋模型歸納為三類[15]，邵愛(ài)娣則對(duì)比美國(guó)早期教科書(shū)并將解釋方式歸為七類[16].參考以上文獻(xiàn)，將四版教材中的加法與乘法法則的解釋策略歸納為五類：數(shù)軸分析策略、籌碼分析策略、反意建構(gòu)策略、相反數(shù)建構(gòu)模型與歸納推理策略．其中，籌碼分析策略指的是在MGH版中用紅色籌碼表示負(fù)籌碼，黃色籌碼表示正籌碼，加號(hào)表示移入籌碼，減號(hào)表示移出，通過(guò)移動(dòng)籌碼來(lái)觀察最后的結(jié)果，例如(-1)+(-2)表示在一個(gè)負(fù)籌碼的基礎(chǔ)上移入兩個(gè)負(fù)籌碼，觀察得出共有三個(gè)負(fù)籌碼，也就是說(shuō)結(jié)果為-3．根據(jù)以上策略分類，對(duì)四版教材進(jìn)行對(duì)比(表2)．

表2 四版教材“負(fù)數(shù)加法乘法運(yùn)算”策略對(duì)比

人教版使用的問(wèn)題解決策略最少．人教版歸納推理策略使用中利用“保持原有運(yùn)算律仍然成立”的思想進(jìn)行合情推理生成乘法法則，為將來(lái)學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)數(shù)系的擴(kuò)充奠定基礎(chǔ)．由此可見(jiàn)，人教版注重學(xué)科知識(shí)的連貫性．

浙教版先從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，采用反意建構(gòu)策略;再利用學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)——數(shù)軸與相反數(shù)的相關(guān)理論，分別使用數(shù)軸分析策略與相反數(shù)建構(gòu)策略．可以看出，浙教版教材注重對(duì)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)與已有知識(shí)的拓展．

蘇科版在加法和乘法法則的生成過(guò)程中都采用反意建構(gòu)策略，都以現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為背景，對(duì)正、負(fù)號(hào)賦予現(xiàn)實(shí)意義，從現(xiàn)實(shí)角度解釋法則的合理性．可見(jiàn)蘇科版以生活為中心，注重學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)．

MGH版采用的策略最多．其中籌碼分析策略貫穿負(fù)數(shù)四則運(yùn)算，教材提供不同問(wèn)題情境讓學(xué)生多次使用籌碼分析策略，可見(jiàn)MGH版注重學(xué)生使用策略的經(jīng)驗(yàn)遷移，從而讓學(xué)生達(dá)到策略使用的融會(huì)貫通．特別地，在使用策略時(shí)，教材的左邊提供明確可供遵循的步驟，右邊則是圖示版籌碼模型，幫助學(xué)生進(jìn)行理解．

綜上所述，人教版注重學(xué)科知識(shí)的連貫性，浙教版注重對(duì)已有知識(shí)的拓展，蘇科版則關(guān)注生活經(jīng)驗(yàn)的遷移，MGH版注重策略經(jīng)驗(yàn)的遷移．特別地，MGH版教材在策略使用時(shí)為學(xué)生提供了注釋，讓學(xué)生更容易理解．

3 對(duì)我國(guó)初中數(shù)學(xué)教材修訂的建議

3.1 教材編寫(xiě)應(yīng)適量增加不良結(jié)構(gòu)的情境問(wèn)題

四版教材從現(xiàn)實(shí)情境引入的問(wèn)題多為結(jié)構(gòu)優(yōu)良型問(wèn)題，即條件完整目標(biāo)清晰，但現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題多為結(jié)構(gòu)不良型．結(jié)構(gòu)不良的問(wèn)題具有條件模糊、解決方法多樣、結(jié)果開(kāi)放等特點(diǎn)[17]，能為學(xué)生提供理解問(wèn)題、分析問(wèn)題的空間，是學(xué)生提高問(wèn)題解決能力的重要抓手．因此，建議適度增加教科書(shū)中不良結(jié)構(gòu)問(wèn)題，即在呈現(xiàn)問(wèn)題時(shí)提供原始問(wèn)題，留給學(xué)生更多的思考空間．

3.2 教材編寫(xiě)應(yīng)適當(dāng)提供具有思考空間的問(wèn)題鏈

問(wèn)題鏈教學(xué)倡導(dǎo)通過(guò)主干問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生深入思考、建構(gòu)知識(shí)[18]，因此指向問(wèn)題解決的教材編寫(xiě)應(yīng)通過(guò)具有思考空間的主干問(wèn)題，即設(shè)置連貫的、探究的問(wèn)題鏈，讓新知與學(xué)生已有知識(shí)產(chǎn)生意義關(guān)聯(lián)，激發(fā)學(xué)生求知欲，進(jìn)而讓其主動(dòng)參與課堂進(jìn)行深度思考．

3.3 教材編寫(xiě)應(yīng)滲透問(wèn)題解決策略的多樣性

不同的策略從不同的角度對(duì)法則進(jìn)行闡釋，數(shù)軸分析策略從抽象角度、籌碼分析策略從具象角度、反意構(gòu)建策略從生活實(shí)際角度、相反數(shù)建構(gòu)策略從數(shù)學(xué)內(nèi)部角度、歸納推理策略從分配律角度分別對(duì)法則進(jìn)行了解釋，讓學(xué)生從不同側(cè)面理解法則的實(shí)際意義．因此教材編寫(xiě)時(shí)可以采用多種策略或在課后思考題中滲透不同策略的使用，既能讓學(xué)生意識(shí)到問(wèn)題解決策略的多樣性，又可以讓學(xué)有余力的學(xué)生從其他角度認(rèn)識(shí)抽象的法則．

3.4 教材編寫(xiě)應(yīng)注重策略模型的具象性與操作性

Sfard提出，許多代數(shù)中的概念既表現(xiàn)為一種過(guò)程操作，又表現(xiàn)為對(duì)象、結(jié)構(gòu)．概念的形成往往要從操作過(guò)程開(kāi)始，再轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)象的認(rèn)知．[19]這就是說(shuō)，初學(xué)概念時(shí)，要將概念轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢圆僮鞯摹皩?shí)體”，學(xué)生才能理解概念的本質(zhì)．所有策略中只有籌碼分析策略將負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為可以操作的實(shí)體，一個(gè)黃籌碼代表1，一個(gè)紅籌碼代表-1，而表示運(yùn)算符號(hào)的“-”則表示“移出”，這讓學(xué)生很好地區(qū)分運(yùn)算符號(hào)和性質(zhì)符號(hào)．因此，建議我國(guó)初中數(shù)學(xué)教材引入籌碼模型，讓學(xué)生在操作中理解四則運(yùn)算的本質(zhì)．