紙片類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)踐與思考*

李明樹

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東沙湖實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215021)

紙片類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生通過動(dòng)手動(dòng)腦，以“做”為支架的數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動(dòng)方式，是在教師的引導(dǎo)下，借助“紙片”，通過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、剪(拼)等操作，在認(rèn)知與非認(rèn)知因素參與下進(jìn)行的一種理解數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、探索與驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的思維活動(dòng).教學(xué)活動(dòng)中，利用KT泡沫板、打印紙、透明膠片、半透明紙片、“電子紙片”等作為實(shí)驗(yàn)操作的素材，既貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)，又符合學(xué)生的認(rèn)知水平；紙片類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的介入既詮釋了知識(shí)的發(fā)生、形成、發(fā)展的過程，又激發(fā)了學(xué)生主動(dòng)探究問題的興趣.紙片類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式；發(fā)展學(xué)生的幾何直觀想象能力；促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累；達(dá)成提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目標(biāo)．

1 紙片類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是優(yōu)化學(xué)習(xí)方式的常用策略

借助紙片類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可以讓學(xué)生獲得如何探究、如何發(fā)現(xiàn)的方法感悟，實(shí)現(xiàn)接受式、思辨式學(xué)習(xí)向探究式、體驗(yàn)式學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變；學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作、用眼觀察、提出猜想、驗(yàn)證結(jié)論等環(huán)節(jié)，充分體驗(yàn)“知識(shí)從何而來”“知識(shí)是什么”“知識(shí)向何而去”的完整數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程．

案例1蘇科版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)“2.5等腰三角形的軸對(duì)稱性”一課中，教材大致是這樣安排的：學(xué)生經(jīng)歷折疊等腰三角形紙片，猜想、歸納等腰三角形的性質(zhì)，探究證明猜想，尺規(guī)作圖作等腰三角形，例題解析．整個(gè)過程流暢自然，但細(xì)細(xì)品味，又覺得似乎缺點(diǎn)什么，所折疊的等腰三角形從何而來？為何要折疊等腰三角形紙片？如何制作等腰三角形？故筆者進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)：

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：

操作1

材料：一張長(zhǎng)方形紙片、剪刀、直尺(直尺僅用于畫線)、鉛筆.

規(guī)則：只剪一刀得到一個(gè)等腰三角形.

操作2材料：一張非等腰三角形紙片、剪刀、直尺(直尺僅用于畫線)、鉛筆.

規(guī)則：只剪一刀得到一個(gè)等腰三角形.

操作3材料：一張不規(guī)則紙片(紙片邊緣均是“曲線”)、剪刀、直尺(直尺僅用于畫線)、鉛筆.

規(guī)則：只剪一刀得到一個(gè)等腰三角形.

學(xué)生順利地完成操作1和操作2，因?yàn)檫@兩項(xiàng)操作的實(shí)驗(yàn)素材均為規(guī)則紙片，即紙片的邊界為線段.故學(xué)生在線段的軸對(duì)稱的基礎(chǔ)上只需要折疊其中紙片的一邊，從而折出了線段的垂直平分線，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)即可剪出一個(gè)等腰三角形．長(zhǎng)方形紙片操作如圖1:

圖1

操作過程中顯然得到了“雙層”直角三角形，其一條直角邊在第一次折痕上，折痕即為等腰三角形的對(duì)稱軸.學(xué)生的學(xué)習(xí)過程把教材中靜態(tài)的知識(shí)結(jié)果變?yōu)閯?dòng)態(tài)的知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，既回顧了線段的軸對(duì)稱性的探究方法，又初步感受了等腰三角形的軸對(duì)稱性，激發(fā)了進(jìn)一步深度探究等腰三角形性質(zhì)的欲望.非等腰三角形紙片剪裁與圖1操作類似，而學(xué)生在嘗試操作3時(shí)卻屢次失敗，折疊不規(guī)則紙片一次雖得到一條“對(duì)稱軸”，但無法得到線段的垂直平分線(理由是紙片邊緣均是“曲線”)，自然無法得到“雙層”直角三角形，原實(shí)驗(yàn)規(guī)則不可行，從而激發(fā)學(xué)生改變實(shí)驗(yàn)規(guī)則來達(dá)成實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo).具體操作如圖2.

圖2

學(xué)生在操作1和2的過程中獲得了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，會(huì)慣性地用所獲得的經(jīng)驗(yàn)探索操作3，嘗試未果后，會(huì)主動(dòng)思考為何失敗，于是其在“嘗試、失敗、再嘗試”的反復(fù)循環(huán)中經(jīng)歷操作、猜想、再操作的學(xué)習(xí)過程，逐步在解決問題的喜悅中明白問題的原理和本質(zhì).

案例2折紙——探索角平分線性質(zhì)

蘇科版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)“2.4角的軸對(duì)稱性”大致安排如下：(1)沿∠AOB的角平分線OC翻折,得到角的軸對(duì)稱性的結(jié)論；(2)在∠AOB的角平分線OC上任取一點(diǎn)P，分別畫點(diǎn)P到OA，OB的垂線段PC，PD，PC和PD相等嗎？學(xué)生經(jīng)歷操作、猜想，再運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)的方法，利用角的軸對(duì)稱性，證明PC=PD.

促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)之一.傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師注重知識(shí)的系統(tǒng)性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，學(xué)生主要是記住數(shù)學(xué)結(jié)論，然后進(jìn)行題海式的訓(xùn)練.這樣的教學(xué)，并不利于學(xué)生的思維發(fā)展.[1]教材內(nèi)容的設(shè)置雖體現(xiàn)了學(xué)生操作、猜想、驗(yàn)證的學(xué)習(xí)過程，但對(duì)角平分線性質(zhì)的本質(zhì)理解似乎還不夠“立體”，于是筆者在教學(xué)中進(jìn)行了如下嘗試：

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 任取一張三角形紙片，按照?qǐng)D3所示的方法折疊.

圖3

數(shù)學(xué)建模 還原紙片，畫出幾何圖形(圖4).

圖4

數(shù)學(xué)歸納 歸納猜想，你能獲得什么結(jié)論？

結(jié)論：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

數(shù)學(xué)推理 (略)

數(shù)學(xué)表達(dá) 因?yàn)锽D是∠ABC的角平分線,PE⊥BC，PF⊥AB,所以PE=PF.

紙片類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是“做數(shù)學(xué)”的具體實(shí)施形態(tài)之一，是教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索過程，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論和尋找證明方法的一種學(xué)習(xí)方式.案例1、2將動(dòng)手操作、用眼觀察、動(dòng)腦思考有機(jī)地結(jié)合在一起，通過外部實(shí)踐和操作的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展.實(shí)驗(yàn)前、實(shí)驗(yàn)中、實(shí)驗(yàn)后均對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的優(yōu)化和思維的發(fā)展提供了優(yōu)良的學(xué)習(xí)環(huán)境,同時(shí)為學(xué)生創(chuàng)造性思維的培育提供了空間.

2 紙片類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是發(fā)展幾何直觀的重要載體

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)提出，在數(shù)學(xué)課程中應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的幾何直觀.幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果.幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用．[2]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》也明確提出，直觀想象是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一．直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知實(shí)物的形態(tài)和變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路．[3]透明打印膠片作為實(shí)驗(yàn)素材參與圖形的探究，可以直觀地顯現(xiàn)圖形的組成，動(dòng)態(tài)或靜態(tài)地呈現(xiàn)圖形的結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系，有助于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀．

案例3(蘇州工業(yè)園區(qū)2020—2021學(xué)年初三數(shù)學(xué)模擬試卷第18題)如圖5，是小明家客廳地面鋪設(shè)的瓷磚圖案，其中四邊形ABCD是正方形，陰影部分是四個(gè)全等的菱形，且點(diǎn)A，E，F(xiàn)在同一條直線上．已知菱形較短的對(duì)角線長(zhǎng)為20 cm，則正方形ABCD的面積為cm2．

圖5

此題是基于生活(圖6)而被“設(shè)計(jì)”出來的，圖形結(jié)構(gòu)豐富、元素關(guān)系復(fù)雜、解法多元、思維強(qiáng)度大.解決此題時(shí)，選取透明打印膠片作為實(shí)驗(yàn)的工具.事先將原圖打印在透明打印膠片上，通過透明打印膠片的折疊、與原圖的疊放、旋轉(zhuǎn)等發(fā)現(xiàn)對(duì)稱性、特殊點(diǎn)，再從定性分析到定量計(jì)算；設(shè)計(jì)更為復(fù)雜、美麗的圖案,使學(xué)生感受圖案的設(shè)計(jì)與數(shù)學(xué)知識(shí)是密不可分的，體驗(yàn)的過程提高了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法解決真實(shí)情境問題的能力.羅丹說過：“生活中不缺少美，缺少的是發(fā)現(xiàn)美的眼睛.”而生活中不能缺少數(shù)學(xué)，因?yàn)閿?shù)學(xué)可以讓我們知道美在何處.

圖6

案例4折正多邊形結(jié)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 用長(zhǎng)方形紙片按照?qǐng)D7的方式打結(jié)、拉緊、壓平，折出的“五邊形”是正五邊形嗎?

圖7

數(shù)學(xué)思考 各邊相等、各角相等的五邊形是正五邊形.你能證明你的發(fā)現(xiàn)嗎？

上述操作中學(xué)生很難畫出相應(yīng)的幾何圖形，基本是畫出圖形的輪廓(圖8)．不透明的長(zhǎng)方形紙片在打結(jié)、拉緊、壓平之后，重疊部分看不到了，這就給作圖帶來了障礙；用透明長(zhǎng)方形紙片重復(fù)操作發(fā)現(xiàn)“圖形的風(fēng)骨清晰可見”(圖9)，看得見的線條用實(shí)線，看不見的線條用虛線，可以畫出相應(yīng)的幾何圖形(圖10).

圖8 圖9

圖10

幾何直觀所指有兩點(diǎn)：一是幾何，即圖形；二是直觀，不僅僅局限于“看得到的東西”(實(shí)物)，更重要的是要依托現(xiàn)在“看得到的東西”(實(shí)驗(yàn)操作)和以前“看得到的東西”(已有經(jīng)驗(yàn))進(jìn)行思考、想象．綜合起來,這在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力.幾何直觀的培養(yǎng)需要以透明紙片為素材經(jīng)歷數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的體驗(yàn)、抽象，使數(shù)學(xué)的研究對(duì)象變得“看得見、摸得著”.

3 紙片類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是促進(jìn)經(jīng)驗(yàn)積累的關(guān)鍵手段

《標(biāo)準(zhǔn)》在教學(xué)建議中指出：“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的結(jié)果.數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在‘做’的過程和‘思考’的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步積累的……”[2]筆者認(rèn)為紙片類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的有效途徑，可以促進(jìn)學(xué)生不斷經(jīng)歷知識(shí)的來龍去脈，是對(duì)知識(shí)的真探究，形成了真能力，積累并豐富了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

案例5含30°角的直角三角形的性質(zhì)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1 折一個(gè)含30°角的直角三角形

用一張正方形紙片，按如圖11所示的方式折疊，找出含30°的直角三角形，并說明理由.

圖11

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2 探索30°角的直角三角形的性質(zhì)

剪下圖11中含30°角的直角三角形紙片,按 圖12所示的方式折疊，完成對(duì)其性質(zhì)的探究.

圖12

教師引導(dǎo)學(xué)生完成數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)建模(畫出 圖13)、數(shù)學(xué)證明、數(shù)學(xué)歸納、數(shù)學(xué)表達(dá).“第一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得原初經(jīng)驗(yàn)；第二次遇到相同情景時(shí)，經(jīng)驗(yàn)再現(xiàn)，稱為再生經(jīng)驗(yàn)；再次遇到類似情景時(shí)，遷移運(yùn)用先前經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)生再認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)；在形式不同本質(zhì)一樣的新情況下，按照‘模式’重復(fù)運(yùn)用這種經(jīng)驗(yàn)時(shí)，這種經(jīng)驗(yàn)就成為概括性經(jīng)驗(yàn)”.[4]

圖13

4 紙片類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是達(dá)成提升學(xué)生素養(yǎng)目標(biāo)的有效途徑

2014年教育部在發(fā)布的《關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》中提出了發(fā)展核心素養(yǎng).2018年教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中，把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)定義為“學(xué)生應(yīng)具備的、能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的、與數(shù)學(xué)有關(guān)的思維品格和關(guān)鍵能力”，并明確了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要素.新課程改革對(duì)數(shù)學(xué)教育提出的目標(biāo)要求經(jīng)歷了“雙基目標(biāo)”“三維目標(biāo)”“四基四能”“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的過程，這些目標(biāo)的達(dá)成主要是要學(xué)生親自參與其中，需要學(xué)生的獨(dú)立思考和深刻感悟，在發(fā)展能力的同時(shí)，品格和觀念也得到相應(yīng)的發(fā)展．“紙片類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，引起了學(xué)生的好奇心，使學(xué)生以積極的態(tài)度投入實(shí)驗(yàn)探究的活動(dòng)中.